Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 15

С помощью векторных длин эти величины можно представить в виде отдельных формул. Примеры можно найти в гл. Ч! н ЧП. Следующей ступенью анализа размерности длины является различение положительного и отрицательного направления векторов.

Знак н направление вектора являются существенными факторамн. Проводя различие между Е„и Е „и т. д., можно разложить ,[Ц на шесть составляющих. Такой прием не дает преимуществ в решении уже рассмотренных примеров, поэтому он здесь не рассматривается. Однако в примерах гл. Ч1 и ЧП будет показано, что использование еше более «подробных> основных единиц при определенных условиях приносит ценные плоды. Векторные площади.

Отметим еще один аспект преимущества использования векторных длин. Во многих физических формулах размерности направление длины не имеет особого значения. Например, Е з формуле для плотности Е 'М не имеет векторного характера. Однако в некоторых случаях придание векторных свойств единице длины является важным обстоятельством. Рассмотрим, например, сопротивление движению обтекаемого тела, допустим движению торпеды в ваде. Эту задачу можно решить путем анализа размерностей.

Сопротивление движению складывается пз трех составляющих: лобового сопротивления воды, сопротивления трения и вязкостного сопротивления Формула размерности для каждой из этих физических величин включает величину сила/площадь. Лля всех трех видов сопротивления сила является вектором, параллельным линии движения торпеды 0м Так как площадь, на которой проявляется лобо'ое давление, перпендикулярна оси Ох, то формула размерности будет содержать произведение Ь„~~.,~. С другой стороны, сопротивление трения и вязкостное сопротивление проявляются на боковых поверх. ностях, параллельных Ох, ввиду чего в формуле размерности будет присутствовать произведение 1,,'1.„' или 1., 'Е, '.

В силу симметрии системы относительно линии движения торпеды оба предыдущих выражения не обладают каким-либо преимуществом друг перед другом, Поэтому для сохранения условий сим. метрни мы обеспечим их равноценность, если запи. шем формулу размерности для площади таким образом: Итак, мы рассмотрели некоторые преимущества использования векторных величин, «скрытых» в еди. ницах измерения длины (примеры приведены в гл. тг1 и тг11).

Рассмотрим теперь возможность разделения единицы измерения массы 1как основной единицы) на более простые элементы. Двойственный характер массы. С тех пор как начались изучение и применение метода размерностей, существовало единственное обозначение для размерности массы, и это обозначение 1М) использовалось без каких-либо оговорок. В анализе размерностей возмохсность существования более фундаментальной единицы не рассматривалась, И хотя возможность существованця размерных величин более фундаментального характера, чем [М), вполне была признана, в литературе нет указаний на то, что выгода использования таких величин длн решения задач нашла свое практическое выраженне. Такое положение ве. щей довольно странно, так как ученым-физикам давно известен двойственный характер массы.

В физике масса обычно рассматривается с двух совершенно различных точек зрения: 1) как количество ветс)ества и 2) как мера инерции. Хотя между этими двумя величинами сугцествует строгая пропорциональность, онп не идентичны '), В действительно- ') Кзн известно, в общей теории относительности показы. веется, что инертная и грзвптаппонная массы соверщенно иден. тичны. — Призе ред. сти они совершенно разнородны по своей природе, н поэтому пх размерности должны обозначаться различным образом. До снх пор мы рассматривали примеры с инертной массой, однако в задачах, в которых фигурируют теплота и температура, следует ассматривать массу как количество вещества. Наример, составляя формулу размерности теплоемкоти, мы имеем дело с массой в качестве количества ещества, а не инерции.

Чтобы различать эти виды массы в формулах раз:ерности, прпдадим им следующие обозначения: ~МД вЂ” количество вещества, [М,! — инерция. П р и м е р 4. Определить массовый расход вязкой жидкости, протекающей через трубу круглого поперечного сечения. Эту задачу можно решить обычным методом. Озрзнн ~ Формуле Фнннеескнн нелнсн ы серне , реэмерннстн М ?' и м г Г ' м и йчассавый расход Разность давлений Плотность жалкости Коэффиииент внз-, кости Радиус труоы сн Мы убедимся, что такое различие делает анализ размерностей более ясным и эффективным.

Некоторые формулы размерности становятся более полными, а анализ некоторых задач — более многосторонним. Примером может служить формула для уделыюй теплоемкости, которая имела размерность НМ-'0-' илн 7.эТ-в0-'. Теперь эти формулы приобретают улучшенный впд, а именно НМи'0 ' и 7,„МтМн~7' з0 1 соответственно. Следующий пример иллюстрирует значение дифференциации понятия массы.

Представим искомую зависимость в виде ш = С р"рат!'гн Мт '=(~. тМт -'7(й 'М)'(~. 'Мт ')'С', или отсюда легко получить следующие значення показателей: ! с ! с 5 Зс и мч — —— Ь= — — —, с=с ~1 = — — — '. 2 2' 2 2 ™ 2 2' Следовательно и'=С' У рр" ( — ") Обозна- чение Формула рааааериосчи Фиаичесиаи аеличкиа г-1 м; г Ми Ь у -! Массовый расход Разность давлений Плотность жидкости Коаффядиент вязко.

стн Радиус трубы р Р Ч Мт т' Из выражения пт = С ° рорьт!сгн получаем М ч -а (у -тМ т-2)а(~ -ам )ь ( -1 у Мы полагаем теперь, что это уравнение однородно по размерностям М„ и ~Чь т. е. мы рассматри- Здесь с имеет неопределенное значение, Поэтому решение является сравнительно мало ценным и на первый взгляд необходимо обратиться к эксперименту. Однако это не так. Принимая во внимание дифференциацию понятия массы, т. е. различая массу как количество вещества и массу как меру инерции, мы найдем, что эксперимент излишен и что между физическими величинами имеется определенная связь, отражаемая их формулами размерности, а также что решение может быть получено априорно. Таблица теперь имеет следу!ощнй вид: заем эти две физические величины как существенно разные и поэтому получаем два дополнительных уравнения: о-1 и а+с=О.

Подставляя эти значения в наши прежние уравнения, получаем а=1, с= — 1, г4=4. В итоге ргс т=С р —. ч ' Мы видим, следовательно, что условие, состоящее в том, что части физического уравнения должны быть однородными по размерностям, и равнозначное по форме общему утверждению о невозможности суммирования разнородных величин, поддается теперь более строгой интерпретации, чем ранее. Необходимыы, но уже не достаточным более является требоваиие, чтобы показатели прп [Ц и [М1 были одинаковыми в каждом члене уравнения. Согласно принципу однородности по размерностям, каждый член должен иметь одинаковый показатель при каждой из величин [1.„"1, [ар[, [1.Д; показатели должны быть одинаковыми также при величинах [МД, [Мг1.

Такие более строгие условия, как мы уже видели, увеличивают эффективность анализа. В следующей главе будут даны примеры, иллюстрирующие эту дополнительную эффективность. ЛИТЕРАТУРА 1. В г о лс и В„Ргос, Раас. оос., 53, 298, 413, 2 В и ига и со и, Ргос. Р1ус. осос., 53, 432. 3. 19 1111 а ~и а '11г., Рди! Мод., 34, 234.

$ М о о и, 5 р е и с е г, Уиг. РгагсИюи Угмг,, 1гее. 1949, р. 495. Глава У1 ВЕКТОРНЫЕ ЕДИНИЦЫ ДЛИНЫ. ПРИМЕРЫ В этой главе демонстрируется высокая эффективность метода размерностей при разложении единиц измерения длины па компоненты, (Преимущества рассмотрения размерности массы с двух точек зре. нпя будут показаны на примерах в гл. ЧШ.) При.

меры, которые даны ниже, представляют для нас существенный интерес. Онп с ясностью показывают, что размерностный состав физических величин в той или иной конкретной задаче может обусловливать единственное соотношение между ними, причем вероят. ность этого значительно больше, чем в случае когда векторные длины не применяются. Эти примеры служат также целям развития практических навыков у читателя прп пользовании улучшенными методамп.

Рассматривая занимательные на вид примеры, учашиеся приобретают привычку размышлять цад уравнениями в категориях размерно. стей; такая привычка нужна для проверки точности формул н уравнений. Кроме того, новый метод обес. печпвает выявление соотношений между физическими переменными в тех задачах физики, которые слишком сложны для решения обычнымн методами; поэтому за неименнем полного решения монсно будет найти частное решение задачи. Предлагаемые здесь примеры несколько сложнее, чем те, которые содержатся в предыдуших главах, но в каждом из них демонстрируется расширение воз.