Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 10

Соответствующее уравнение размерности имеет вид ~МТ-'- И'~.'1,'(~т ')'. Так как оно должно быть однородным по размерно- стям, получаем следующую систему трех уравнений (длина) 1 = Ь+ с+ с(, (масса) 1 = а, (время) — 2 — 2А В итоге а=1, Ь = — с, Вследствие того что в трех уравнениях содер. жится четыре неизвестных показателя степени, вели. чина с остается неопределенной. тс Следовательно, Р С тц ( — ) Натяжение проволоки Масса проволоки Длззна проволоки пронес проволоки Ускорение силы тя- жести д м т' м Ь Ь з'.

П р и и е р 3. Найти натяжение проволочного кольца, вращающегося в собственной плоскости вокруг оси, перпендикулярной плоскости вращения и проходящей череа центр кольца. Краткий анализ условий задачи позволяет уста- повить, что основнымн переменными, от которых зависит натяжение проволоки, являются линейная плотность проволоки, угловая скорость ее вращения и ее радиус. Все эти величины сведены в следующую таблицу: Фвзвчеояая еелачннз Обозна. ченне Формула рззмерноезн Натяжение проволоки Линейная плотность проволоки Радиус проволоки Угловая скорость ь ' М Полагая г" зависимой переменной: Р С. т"г оу', Значение С нельзя определить этим же методом. Однако с можно определить, если воспользоваться усовершенствованным методом размерностей (гл. Ъ'). Примеры, подобные рассмотренным выше, а такжн нижеследующий пример в различных вариантах встречаются в учебниках механики. Их следует регпать обычными математическими методами не только потому, что не существует других способов определения численных коэффициентов, но и потому, что такие методы обеспечивают ясное понимание физической сущности задачи.

С другой стороны, если целью является выявление существенных для данной задачи физических величин пли если необходимо проверить полузабытую формулу, то в этих случаях метод размерностей явно предпочтителен благодаря простоте и скорости получения результата. Краткость решения последующего примера подтверждает это. получаем уравнение размерности ЕМТ а=(Е 'М) Еа(Т ' (длина) 1 = — а + (з, (масса) 1 = а, (время) — 2 = — с. Отсюда и" =С шгзрое= С тоа, где в — линейная снорость элементарного участка кольца, Гидростатика. Ниже рассмотрен пример из области гидростатики, встречавшийся в экзаменационных билетах. Экзаменаторы, конечно, не требовали решать задачу непременно путем анализа размерностей, хотя полное решение (кроме значения численного ьоэффи.

циента) можно получить и этим методом. Обозна. ченне Формула разиерносзи Фнзнческан величина Период колебаний Масса ареоиетра Поперечное сечение стер>вин прибора Плотность ясидкостн Ускорение силы тя- жестн М Ез Е з М Е Т ' При мер 4 Найти формулу для периода колеба. нпй ареометра Никольсона массы М, плавающего в жидкости (например, в воде), при небольшом сме. шенин его вниз от положения равновесия, а зат:и вверх; поперечное сечение стержня прибора равно з, плотность жидкости с(.

Преисде все~о следует решить вопрос: какие физические величины определяют собой период колеба. иий ареометра? Очевидно, в дополнение к переменным, заданным в условии задачи, необходимо ввести ускорение силы тяжести д. В итоге составим сле-- дующую таблицу величин; Представим г как произведение остальных величин, возведенных в ту пли иную стспеньс 1=С. М" «И'д» Соответствующее уравнение размерности имеет внд Т=М'(Ь) (Е М) (СТ ), 0=26 — Зс+Н, О=а+с, 1= — 2А (длина) (масса) (время) за Следовательно, а=и, Ь=- — + — с=-а Н=--, 2 4' ' 2' 1=С М'з зы:+"й т, с.

Значение С нельзя определить с помощью этого метода. Оно равно 2л. Однако значение а можно найти путем анализа размерностей (см. гл. Ч1, стр. 97). Подставив ее величину, равную Чм получим полное решение Г м г=2л у —. У 8нд' В следующем примере показано, что в случае, когда возникают сомнения относительно целесообразности учета какой-либо физнческои величины, разрешается включать ее в рассмотрение (в пробном порядке) и по виду конечной формулы судить затем о том, насколько необходима эта величяна. 57 П р и м е р 5. 13-образная трубка однородного сечения заполнена ртутью на высоту /ь Найти период собственных свободных колебаний столба ртути, выведенного из положения равновесия.

При начальном выявлении переменных физических величин, влияющих на период 1, следует, во-первых, указать на ускорение силы тяжести д. Поскольку от д зависит инерция системы, требуется учитывать ~анже й. Выбор остальных переменных является не столь ясным, Зависит лн период колебаний от массы ьч или плотности р ртути? Влияют ли на процесс пь. чальное вертикальное смещение столба И или поперечное сечение А трубки? В нижеследующей таблице указаны все возможные переменные. Выявим вначале, влияет ли масса ртути илп ее плотность на процесс колебаний? Запишем 7 С. пчьйс откуда уравнение размерности Т = М 7.~(1Т ') . Отсюда ясно, что а = О.

По той же причине следует исключить и плотность р, имеющую размерность 7.-'М. Следовательно, можно считать, что ни общая масса, нп плотность ртути не влияют на период колебаний. Не следует при этом забывать о том обстоятельстве, что некоторые факторы, такие, как вязкость п трение, не учитываются ввиду приближенного чарактера решения. С учетом влияния величины д уравнение будет иметь вид 7 С ~айвас чему соответствует формула размерности Т= 1,'1.~(7,Т ~) . 58 Лутем элементарных алгебраических операций по- лучаем г-С ( — "л) 1Г -", Таким же образом можно показать, что уравнение ~ = С А'Ь'й' принимает вид ~ - с. (-Ат)'~/-", Вязкость, Определим размерность вязкости, так как в примерах, касающихся поведения жидкостей, встречается коэффициент вязкости.

Размерность любой физической величины в общем случае выводится па основании определения этой величины. Вязкость жидкости применительно к потоку, параллельному неподвижной поверхности, определяют как силу, действующую на единицу площади (которая параллельна поверхности) потока и деленную па градиент скорости, который н блюдается в направлении, перпендн«улярном поверхности Таким образом ооозначая коэффициент вязкости как и, получаем его размеростгп ЕМТ а . ЕТ ' — Ха — ', =Е МТ Сала Скорость Площадь Расстанное коэффициент кинематической вязкости жидкости ранен ~/р, где р плотность кидкости; его размерность й'Т '.

В следующем примере рассмотрим вывод формулы Пуазейля для расхода вязкой жидкости в трубе Ввиду того что на данной стадии еше не применяются усовершенствованные приемы, изложенные в гл Ч, метод размерностей не позволяет определить .Iл~ показатель степени безразмерной постоянной ~ — ) илп ~а) 1) — ). Однако, как показывает эксперимент, при ма- А '1 а) лых д имеем а =О, С - и ~/2, и поэтому с точностью до численного коэффициента. трор.

мула справедлива для скоростей ниже критической скорости перехода ламннарного течения в туроу. лентное. П р и м е р 6. Определить объем вязкой жидкости проходящей через трубу круглого сечения в ! сек, Пусть г — радиус трубы и 1 — ее длина. Так кая течение жидкости поддерживается за счет разности давлений иа концах трубы (р1 — рт), то градиент давления т"- составляет ( р' р'), а его размерность можно найти на основе его определения: с ; .

„ ~ж~ Площадь Оаозка- чеине Формула рззмерности Физическая зеличииз тз Т-' Объемныа расход в ! сеи Градиент давления Радиус трусы Вязкость тяидкости а'.з М Тз в м т' Р Г Ч Выражая зависимую переменную как произведение независимых переменных, возведенных в те нлн пвые Пусть У вЂ” объемный расход жидкости в 1 сев. Вместо объемного расхода можно определять мас. совый расход жидкости, однако в этом случае нельзя исключать из числа переменных задачи плотность жидкости. Следует ли включать в число перемспныя еще какне-либо величины? Интуиция подсказывает отрицательный ответ.

Такая «физическая интуицпяз основана на приобретенном практическом опыте. Если, например, напрашивается использование в ка. честве фактора ускорения силы тяжести д, то можно показать, что эксперимент по определению расхода жидкости возмо>кен и в отсутствие гравитационного поля; следовательно, введение и излишне. Итам уравнение, связывающее физические величины, см держит следующие переменные: степени, получаем )7 = С Р"гь"', соответствующее уравнение размерности имеет вид Т. Т =(7- 'МТ ) Л~(Л 'МТ '). В данном случае можно получить почти полное ре- 1аепие задачи, так как три неизвестных показателя степени связаны системой из трех уравнений: (длина) 3= — 2а+ б — с, (масса) О=а+с, (время) — ! = — 2а — с.