Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 12

вечно, ху является существенной для процесса вели1иной, но, так как капля мала, ускорением силы тяжести можно пренебречь. Гели записать искомую зависимость как Обоан - ~ Формула Фнанчееиаи величина ченне ~ раамерноетн о т- 8 м т- Снорость волны Поверхностное натнжение Плотность жадности Длина волны Уснореанче сплы тн- жеств 3 Я д г-а Имеем о=С 5 р Хд. Формула размерности прн этом имеет вид Т.т '=(Мт 7(К 'и)" Т.'(П' ')'. Отсюда получаем о=с.

УК~ ( — „', )'. В таком виде ответ имеет небольшую ценность; однако если учесть, что ввиду небольшой высота волн можно пренебречь весом жидкости по сравие. нию с силами поверхностного натяжения, то гу можно исключить при а = '~,. Таким образом, о = С ° ~у' — . Оптика. Следующий пример дан как ввиду его эстетического интереса, так и в связи с тем, что оа показывает полезность (в ряде случаев) использо ванна экспериментальных фактов в дополнение к ме тоду размерностей.

этому в приближенном решении можно исключить й пз формулы, если принять а = '/а, в результате полу. чаем тот же ответ, что и ранее. Подооное же рассуждение в отношении д спра. ведлпво н в следующем примере, Пример 12. Найти скорость капнллярных воля в тонком слое жидкости. Составим таблицу существенных физических ве. личин: Обозна. чевве Формула размерности Физичесзаа велвчннз Амплитуда волны рзссеннного света Липлптуда ладонь зпей волны Линейный разазер часрппы Расстоннне от ча- станы Длина волны света Выражая 5 как произведение остальных переменных, возведенных в ту плн иную степень, получаем 3 С А 1~гу.л Отсюда можно получить необычное размерное уравнение ~иТь| Та Очтедовательно, !=ц+Ь+с+ст'. На этом этапе реьцення анализ размерностей следУет, дополнить физическими законами. Во-первых, Пример !3.

Почему небо уозтубого цвета? Голубой цвет неба вызван рассеянием света на пылинках, капельках жидкости и твердых частицах молекулярных размеров, взвешенных в атмосфере. Теория этого вопроса достаточно сложна, однако Резей ~З~ показал, что полезный результат можно получить с помошью метода размерностей в сочетании с некоторыми известными законами оптики. Пусть частипа с линейным размером 1 рассеивает солнечный свет с длиной волны Х и амплитудой А. Амплитуда рассеянной волны уменьшается с увеличением расстояния от частицы. Пусть она равна .Ч иа расстоянии г от частицы.

Требуется определить зависимость 5 от остальных переменных величин, собранных в таблице: амйлитуда рассеянного света пропорциональна ач, плитуде падающего света, поэтому а = 1. Во-вторых амплитуда волны рассеянного света обратно процор циональна расстоянию от частицы. Отсюда с = — 1 а следовательно, д =1 — Ь. Таким образом, Я = С ° А)иг 'Х' или Релей отмечал: «Судя по динамике явления, ! (отно.

шение амплитуд волн падающего и рассеянного све. та) изменяется пропорционально Т (объем рассея вающей частицы)». Поэтому Ь 3 и окончательно лр Я=С. —,. гХ' Поскольку интенсивность рассеянного света пропор. циональна квадрату его амплитуды, эта интенсивность обратно пропорциональна четвертой степени длины волны. Если принять, что длина волны крас. ного света приблизительно в два раза превышает длину волны сапего света, то интенсивность рассеян. ного синего света в !б раз больше, чем красного.

Читатель может заметить, что в этом примере в большей мере использованы «физическая интуициях и знание законов физики, чем анализ размерностей С этим приходится согласиться, но верно также и то, что использование обоих источников привело простыв и изящным образом к интересному результату, который невозможно получить методами элементарного анализа. Волновое движение. Волнообразование в глубокои резервуаре изучалось Релеем [4).

П р и м е р 14. Найти скорость распространению волны в глубоководном резервуаре. Рассматривая вопрос о выборе физических вели. чин, влияющих на скорость волн, мы сразу же вв. днм, что этот случай отличается от предыдущей за. дачи о капиллярных волнах (пример 12), так ках сила тяжести здесь существенна. Поэтому влияние поверхностного натяжения и вязкости можно не учи 70 ~вать. Плотность жидкости может быть уверенно ключена в число переменных величин, а длшту вол- ~ включаем в предварительном порядке.

Глубина оды предполагается достаточно большой для того, „„обы не оказывать влияния на скорость волны; наш „рактическнй опыт показывает, что при небольших иплнтудах этот фактор не влияет на результат. Тани образом, имеются четыре переменные величины: Обозна- чение Формула рззмерности Фнзнчеоазн неличннз Т ' з-з зл и 7-з Скорость волны Плотность жидкости Ускорение силы тяжести Длина волны откуда и=С )уХ~©. 71 Уравнение, связывающее эти переменные, имеет вид ий»7 е откуда найдем уравнение размерности: 1Т-1 (1-31у,)и(1Т-2)» 1о Сразу же ясно, что а = О, и поэтому скорость распространения волны не зависят от плотности жидкости.

Конечный результат, полученный обычным образом, имеет вид о = С ° )/3,д. Предположим теперь, что глубина воды небольшая н ее влияние уже следует учитывать. Как глубина 1» влияет нз скорость? Представив выражение для скорости в виде 1и»7о колучаем соответствующее уравнение размерности, 1.Т .=- 1.'(1 Т ) 1.', Скорость расп ро. странення колебаний Сила натяжении струны Линейнаи плотность струны Анплнтула колеоа- ний й М Т-т Из выражения 17 = С получим уравнение размерности Е.Т ' =1,! МТ "у (,т. 'М) Ь', откуда ! ! а= —, Ь= — —,, с 0 2' 2' Э поэтому - 1/ — „, (=1) Г р 72 Если иам известен тот факт, что скорость волна на мелководье ие зависит от длины волны, то а =.

!!т откуда о = С )/дЬ. Таким образом, скорость волн и; мелководье пропорциональна корню квадратному н, глубины воды. П р и и е р 15. Найти скорость распространена, колебаний вдоль натянутой струны. Согласно установившейся методике, выпишем все физические величины, от которых предположительна может зависеть скорость, хотя в зависимости от ре. зультата, который будет получен, одну плп две такнт величины но>дно будет впоследствии исключить.

К таким величинам относятся натяжение струпы масса на единицу длины струны и амплитуда коле. баний. Наша интуиция подсказывает, что скорость распространения колебаний не зависит от длина струны. Скорость распространения колебаяий не зависит „; амплитуды. С эгон задачей связаны задачи о скорости распро,транения упругих колебаний в газе или жидкости. Акустика. П ример 16. Найти скорость распространения упругих колебаний в жидкости. На скорость оказывают влияние такие физические величины, как плотность жидкости, объемный модуль упругости или, если идет речь о газе, давление. Обозна.

ченне Формула рззмерностн Фнзнчеснзн велнчнна Скорость распространения колебаний Плотность жндкостя Модуль упругости г-з И Ьг М Тз ьт =(л и) (ь 'мт '), 1 1 откуда и — — ~, 6= —. Следовательно, 1У = С ° 1у — . . -/И Р По этой формуле Ньютон вычислил скорость звука с воздухе: 281 м,'сек. Однако эта величина значительно занижена Лаплас считал, что причина заключается в неправильном значении, приписанном велиэине р. Сжатие п разрежение чередуются в звуковых волнах весьма быстро, ввиду чего изменения давления и объема носят аднабатический, а не изо~ермический характер.

Уточнение, внесенное Лапласом, позволило получить для скорости звука в воздухе значение 332 лг/сек. Это число близко к значению, полученному в результате эксперимента. Во многих учебных лабораториях по курсу элеьгентарной физики в числе стандартного оборудова"на имеются сонометры. Учащиеся экспериментально Уравненщо р' = С ° р'рь соответствует уравнение размерности определяют соотношение между часто~ой колебаний натянутой проволоки, ее натяжением, длиной и ла. нейной плотностью. С помощью метода размерностей легко получить формулу, выражающую зависимость частоты от остальных переменных.

П ример 17. Найти частоту поперечных колеба. ний натянутой проволоки. Обоааа- Флаическз» аеличаиа .челзе Формулз рззмераоети Т-' м т-' Частота колебаиттй Натяженае прово. лаки Длина проволоки Линейная плел ность ! яа проволоки Из уравнения С, ра1в е получаем уравнение размерности т '=(7.МТ ')'7.'18 'М)', ! а=— 2 Ь= — 1 1 Сее —— 2 откуда Следовательно, и = — ьт — 1где С = †). Найдем далее энергию колеолющейся проволоки. Очевидно, это постоянная величпна, равная сумме кинетической и потенциальной энергий проволоки. 7тз Пример 18. Определить энергию натянутой про. волоки, колеблющейся с частотой основного тона.

Предыдущее решение показывает, что если в чис. ло существенных для этой задачи переменных входят частота колебаний, длина проволоки и ее линейная плотность, то можно исключить натяжение, которое является функцией этих переменных, С другой сто. роны, энергия является некоторой функцией амплп обоаиа- чеиие Формула раамериости Фиаичесиаа аеличииа Энергия проволоки Частота колебаний Длина проволоки Линейная плотность проволоки тчатплитуда пучности да М 7-2 Е гл Т ' Ь ' М !1з уравнения Е = С ° у"1алт Аб получаем соответствующее уравнение размерности ВМТ '=(т ')'Е"(~ 'М)'Е", откуда а=2, Ь-3 — с(, с=1, с( А 22 'А'~ Следовательно, Е = С тт(апт'( — ) . Этот результат показывает, что энергия проволоки сономегра пропорциональна квадрату частоты колебаний.

Полного решения получить нельзя, так как число переменных (пять) превышает число основных единиц измерения (три) более чем на единицу, В гл. Ч! (стр. 98) будет показано, что полное ре шение может быть получено с помощью «более основной» единицы измерения, скрытой в понятии ллиньь Пока же воспользуемся экспериментальным фактом, согласно которому Е изменяется пропорционально массе проволоки. Тогда 22 = 2 и окончательный результат имеет вид Е = С тс (т1) Ат. П р и м ер !9. Определить период колебаний ка. мертона, Колебания поддерживаются за счет упругости 'отвей камертона и их инерции.

Отшода следует, что 76 туды. Существенные переменные приведены в следую- ,исй таблице: Обозна- Формула Физическая аелячяаа чееое размермостя е ~й' т Период колебаний Модуль упругости Плотность материала длине ветвей камертона Конфигурация сече- нии м г ' р Ь-' М ьд ' Период колебаний выражается как С, е~разегл чему соответствует формула размерности т = ~ы-'мт ')'(ь-'м)' ь', откуда Ь= — с= 1. 1 2 ' 1 а 2 ' Поэтому г= С ° т' зу — ° г (г)з где г — численная ве.