Г.И. Хантли - Анализ размерностей, страница 9

9 (1822). 2. Ь а г го о г 3., Уа!иге, 95, 644 (!915). 3. В г о и и В., Ргос. Р(>ра. Яос,, 53, 298, 418. 4, )! а у! е ! 8 Ь, )1 ! а Ь о и с Ь 1 и а Ь у О., Уап>ге, 95, 591 ( 19! 5>), 5. Й а у1е! КЬ, Уо!иге, 95, Магон 18 (1915). б. )1 а у 1 е ! 8 Ь, Уа!оге, 95, 644 (1915). 7. В го>сп с> В., (У и исаи»оп %.

Е., Ргос. Роуз. Бос, 53, 298. 8. Н >1! А, У., Яс>еисе Ргоагеаа, 38, 150. 9 и а у 1 « ! д Ь, Уа(иге, 95, 66 (!915). 1О. Е 8 г) ! п 8(оп А., ТЬе РЬу!оаорЬу о1 РЬуыса( Бс(сисе, рр. 57, 62. Глава Л1 ПРОСТЫЕ ПРИМЕРЫ Для ученого-физика анализ размерностей может играть роль повседневного «инструмента», применяемого для исследования формул и для почленной проверки уравнений.

В этом смысле выяснение философского значения или даже теории вопроса имеетменьшую ценность, чем знание практических способов применения анализа размерностей прц решении конкретных физических задач. В связи с этим читателю целесообразно проштудировать элементарные примеры, которые приводятся ниже. Все они касаются знакомых вопросов физики и рассматриваются с помощью обычных методов.

Можно надеяться, чтостудент, впервые соприкасающийся с данной темой, с помощью этих примеров приобретет неноторые навыки применения метода размерностей как инструмента исследований, даже если его пока не интересуют более сложные задачи, содержащиеся в последующих главах. С целью иллюстрации эффективности метода размерностей примеры были подобраны из нескольких основных разделов физики. Их решение (обычными математическими методами) содержится в большинстве учебников физики. Предполагается, что читатель уже знаком с классическими приемами решения этих примеров.

Интересно отметить в связи с этими примерами, что многие физические законы, покоящиеся на строго экспериментальной основе, могут быть выведены априорно в результате весьма быстрого осознания логической необходимости соотношений, которые должны существовать между физическими перемен.

ными в конкретной задаче. Это легко показать на пРимере задачи с мыльным пузырем. Большинство 4 з«к 599 проверяющих этот вопрос экспериментально бывают удивлены тем, что избыточное давление газа в мыль~ ном пузыре обратно (а не прямо) пропорциональн~ его радиусу. Легко показать, однако, что последне соотношение является необходимым между этими двумя переменными; оно может быть быстро получено при рассмотрении размерностей основных физп.

ческих вели шн, фигурирующих в задаче. Этот пример, подобно ряду других, напоминает о сходной проблеме, а именно: какой эксперименг из ряда возможных следует поставить, чтобы получить наиболее полезную информацию. Если, например, в эксперименте учитываются четыре физические величины (%', Х, У, 2) и предварительно с помощью анализа размерностей установлено, что х (г~' где численное значение показателя степени а неизвестно, то совершенно излишне экспериментально показывать, что Чг пропорционально Х, так как это соотношение обусловлено априорно условиями эксперимента.

С другой стороны, было бы полезно найти зависимость К от У или Х, поскольку тем самым становится определенной величина а. Допустим, было найдено, что )г' обратно пропорционально У; тогда а = †! и )Р' не зависит от г' и равно Х/Х. Мы уже упоминали на стр. 46, что Эддингтон утверждал, что некоторые так называемые законы природы, которые были установлены путем кропотливого экспериментирования, на самом деле обусловлены логически и могут быть сформулированы и результате априорных рассуждений. Таким же образом анализ размерностей показывает, что во многих физических задачах между переменными и размер. ными постоянными имеются обязательные соотношения, благодаря чему постановка экспериментов нужна лишь для нахождения численных коэффициентов (коэффи~1иентов пропорциональности).

Если в физической задаче, где рассматривается и переменных, число независимых основных величин может равняться и — 1, то функциональная связь между и переменными полностью определяется без экспериментов, на основе лишь предварительного анализа размерностей. Эта гочка зрения, которая, возможно, окажется новой для некоторых физиков, дает пищу для некоторых интересных предположений. Однако этому аспекту не будет здесь уделено внимания, так как наша главная пель — помочь читателю приобрести определенные практические навыки. Вывод основных уравнений физики путем рассмотрения лишь размерностей величин является одним пз наиболее интересных применений метода размерностей.

Этим объясняется наличие более чем двадцати ирп>перов в этой главе. Конечно, все этн примеры можно найти в учебниках физики и они хорошо знакомы болыпинству читателей. Однако значнтельиьш интерес представляет то обстоятельство, что анализ размерностей позволяет не только быстро и легко получать знакомые ответы, но и позволяет получать весьма значительную по объему информацию, зависящую только от определений и «обязательных» соотношений между физическими переменными, без помощи каких-либо экспериментов. Более того, рассмотрение тех нескольких примеров, которые даны ниже, является, по.видимому, наилучшим способом ознакомления с этой формой анализа и приобретения практических навыков в его использовании.

Однако результатом изучения всех этих многочисленных и разнообразных примеров не должно быть мнение, что при выводе физических формул метод размерностей может заменить собой обычные математические приемы. В данном случае цель заключается не в составлении рецептов легкого решения физических задач. Однако «физика без страха», т. е, без ошибок в уравнениях, без неточного запоминания формул— вполне законное пожелание тех, кто изучает эту пауку. Проанализируем применениеобычного метода размерностей в наиболее общем виде. Допустим, что в данной задаче фигурируют четы.

ре физические величины (>«', Х, У, Л) и нужно найти зависимость >р' от остальных трех величин. Запишем йт= С,Х'У'Х'+С,Х'У г' + ..., где Сь Сь .., — неизвестные численные коэффициенты. Так как все слагаемые имеют одинаковую размерность, рассмотрим лишь первое из них. Пусть размерности 1ро по длине, массе и времени будут соответственно ш, гр и шн то же для Х вЂ” хто х, ху,' ана. логично для У и Л.

Затем приравнивая друг другу показатели степени длины в уравнении йт = с х'1'2', шь хкп + рсй + асс имеем Решая систему трех уравнений, можно определить значения а, Ь и с. Часто, конечно, встречаются примеры, в которых число уравнений на одну, две или более единиц меньше, чем число неизвестных показателей степени. В таких случаях анализ размерностей не позволяет получить полное решение. С другов стороны, он мо. жег обеспечить получение полезной информапни об «обязательных» соотношениях между двумя или несколькимп переменными.

Однако частные примеры дадут более ясное представление о предмете, чем общие утверждения. П р и м е р 1. Найти ускорение точки, движущейся по окружности с постоянной скоростью. Запишем в виде таблппы обозначения и размерности трех переменных: Обоапа. пенне Формула размерности Фнаннеская аелняипа д Т"' Т ' ь Ускорение Скорость Радиус окру кностн у Поскольку требуется установить зависимость ~ от о и у, то можно эту зависимость представить как Таким же образом, приравнивая друг другу показатели степени массы и (отдельно) времени, получаем ну~ к~о + рта + анас' и вру= луп+ Йо+ аус ~р(п, г) и в менее общем виде как ( Сиагз + аналогичные члены. Подставляя формулы размерности переменных величин и исключая С, получаем Т.т-' = Мт-')' Т.".

Приравнивая вначале показатели при основной единице длины, а также показатели при основной единице времени, мы используем тем самым . принцип (впервые сформулированный Фурье (!!), согласно которому каждое слагаемое правильно составленного физического уравнения должно иметь одинаковую размерность основных величин во всех членах. Таким образом, (длина) (время) Поэтому )=а+Ь, — 2= — а, а=2, Ь вЂ” ! чз С ° —. 1 н, следовательно, Значение безразмерной постоянной С не может быть определено с помощью метода размерностей. Известно, что она равиа единице, следовательно, (=в9г.

' Этот пример, который может показаться тривиальным, рассмотрен здесь из-за простоты, а также потому, что иа нем мохсио продемонстрировать возможности метода как средства подкрепления памяти. Однако нельзя переоценивать мнемоническую ценность анализа размерностей, в особенности для студентов младших курсов. Например, в случае когда ! о' ц студент колеблется в выборе формулы ( — вли — ) ( г э) ускорения точки, движущейся по окружности, зто затруднение легко разрешить, если известны размерности физических величин, входящих в формулу, Следующая задача нз области статики указывает ва ограничения, присущие методу размерностей, Пример 2.

Проволока однородного сечения на. тянута между двумя точками, расположенныьги в горизонтальной плоскости. Найти связь между натяжением и провесом проволоки. Определим, во-первых, какие физические величины и размерные постоянные играют роль в данной задаче. Очевидно, к чнс.лу физических величин следует отнести массу проволоки, ее длину, натяжение и пронес. Кроме того, следует учесть ускорение силы тяжести д. Все эти величины сведены в таблицу: Оаазна. ченве Фирмулз рззмерниети Физичесиаи величина В задаче требуется найти Р как функцию остальных вели щн: Р 1(т, 1, з, л). Как и ранее, эту функцию можно представить в виде произведения аргументов, возведенных в степени: Р - С пт'1~э'й"'.