Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (Ким - теория автоматического управления), страница 9

Поэтому Ах = И'(ра) = [И'Оса)[е'го'ч и соответственно А иг(Ь) [Их(уш)[ ей.~ее-х[ й 2 (2.30) Теперь найдем решение уг(Ь), подставив в (2.25) вместо и выражеи„, ние иг = — "" е Э' е. Так как 2 риг(г) = — ре 2 = — "' ( — фы)е У = ( — фы)иг(Ь); 2 2 р игЯ = р(риг(2)) = ( — фаг)'игЯ, иг(Ь) — ( гы) иг(Ь) имеем (аор" +ахр" '+...+аа)уг = [Ьо( — уах) +Ьг( — рг)а' '+ .+Ь )игФ. Частное решение этого уравнения будем искать в виде уг = Агиг(Ь) = Аг — е 2 42 Гл, 2. Математическое описание систем управления Проделав те же выкладки, что и при нахождении частного рещения дз(1), и учитывая, что ~И'( — уы)~ = )Ис(уы)~ и агйИ'( — уы) = = — агя Иг(уо), получим Аз = И'( — усе) = ~Ис( — усоЯе 1"~ 1 = ~Ис(1ыЯе с~1 и соответственно .

= ~И О-И вЂ” '"'-'-" "" 2 Следовательно, д,(1) = уг(1) + дз(1) = (И'Цы)~ и сов (ы1+ се+ ~р(ы)), что и требовалось показать. 2.б. Различные типы звеньев и их характеристики Так как произвольный полипом можно разложить на простые множители, то передаточную функцию системы (звена) ь '" + ь1в"' ' +... + ь„, И'(в) = аов" + а~ в" — ' +... + а, всегда можно представить в виде произведения простых множителей и дробей вида А, в, —, Те~1,, Т в~ ~2~Те+1,, (2.31) в Твх1' Тзвз *2СТв+ 1 Напомним, что 1с называется передаточным коэффициентом, Т .— постоянной времени и с' (О < ~ < 1) коэффициентом демпфирования. Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или дробей, называют элементарными звеньями.

Их также называют типовыми. Однако типовыми называют и другие звенья, которые нс являются элементарными. Системы и звенья и их передаточные функции делятся на минимально-фазовые и неминимально-фазовые. Передаточная функция И" (в) = Р(в)Я(в) называется минимальноо-фазовой, если все сс нули (корни уравнения) Р(в) = О и полюсы (корни уравнения ®в) = О ) располагаются в левой полуплоскости,. и называется неминимально-фазовой, если хотя бы один нуль или полюс располагается в правой полуплоскости.

Система и звено называются минимально-фазовьами, если их передаточные функции являются минимально-фазовыми, и называются неминимально-фазовыми, если их передаточные функции являются неминимально-фазовыми. Передаточные функции и системы (звенья), но являющиеся ни минимально-фазовыми, ни неминимально-фазовыми, будем называть марг ина ьными. Иначе говоря, передаточная функция будет называть- г.6. Различные глины звеньев и их харантнериетнини 43 ся маргинальной, если она имеет нуль или полюс на мнимой оси2 но не имеет их в правой полуплоскости. 2.6.1. Типы элементарных звеньев.

Тип звена определяется видом его передаточной функции. При этом если передаточные функции звеньев отличаются только на постоянный множитель, то их относят к одному типу. Поэтому при определении типа элементарных звеньев будем исходить из передаточных функций, получаемых из (2.31) умножением на константу й (кроме первой). Пропорциональное звено. Так называют звено с передаточной функцией Ит(е) = йэ Его частотные и временные функции имеют следующий вид: Итры) = а2 ~ПьА) = к, Ът()е) = О, А()е) = к, )р()е) = О, А()е) = 201613 Ь)1) = аЦ1), и)11) = йдЯ.

Лифференцирующее звено. Так называют звено с передаточной функцией Ит(е) = Йе, Его частотные и временные функции имеют следующий вид: ИАЦ)е) = ук)е, ь)'()е) = О, $'()е) = к)е, А()е) = к)е, )р()е) = к))2, Х1)е) = 2013й+20!~е), й(ь) = ке12), и)Я = ке12). Форсирующее элене 1-ге верят)ке. Так называя)т звено с переда- точной функцией Ит(э) = ь(Те+ 1). Его частотные и временные функции имеют следующий вид; Итоы) = л)2Туьт+ 1)2 У(ье) = к', )т)2)е) = 1ТТьт, А( ) =АТ)Т ) "7) 2) ) = )22)Т ), 2) ) = 22)22 2 22)2 )Т ) ~ ), А)!) = 2)2)2) 2 2)2)), ю(1) = Й1Те12) + е(1)). Апериоди2)еское звено.

Так называют звено с передаточной функцией И21е) = й((Те + 1). Его частотные и временные функции имеют следующий вид: И21уы) = л У()е) =, 12()е) = — й™ Лт~* 2' ТГТ.2+2 А) ) = ) 2) ) = — 22)Т ), л )Т )*+ 2' Интегрирующее звено. Так называют звено с передаточной функцией Ит(е) = к))е. Его частотные и временные функции имеют следующий вид: И 12ы) = — Ук!)е, ПОе) = О, )т()е) = — й/)е, А(ьт) = й,)ье, )р()е) = — я()2, Ц)е) = 201кй — 201ке), Ь(1) = йс, ю(1) = ь, 44 Гь 2.

Мотемотинееное оииеоние систем управления е( ! =20!еЙ вЂ” 20!! !!!г ! -!1 е(!) = Н!— -е~т Т В рассмотренных выше элементарных звеньях фазовая частотная функция по модулю не превышает я,!2. Поэтому она определяется как агс111 —. Кроме того, в случае интегрирующего и апериоди- Р( ) 1% )' ческого звеньев амплитудную и фазовук> функции можно определить по правилу вычисления модуля и аргумента дроби. Форсирующее звено 2-го порядка. Так называют звено с передаточной функцией Иг(з) = к(Тзез + 2!,Те+ 1) (О < с < 1).

Его частотные функции имеют следующий вид: Иг(уш) = 1[1 — (Ти!) +12ТТи!~), с1(и!) = Й(1 — (Ты)з), 1г(и!) = 2МТ!о, .4(и!) = й 2ЬТ!о (Т,)г 2СТо! я+ агсзя Т(4 = 1 Т' !о <— 1 !о ) при при Циз) = 201яй+ 201я Временные функции не приведены, так как они практически не используются. Фазовая частотная функция 1о(и!) не удовлетворяет условию ~зо(!о)~ < я1!2 на всем диапазоне частот.

поэтому для ее определения рассмотрим амплитудно-фазовую частотную характеристику. Таблица 2.2. Данные для построения АФЧХ В табл. 2.2 приведены значения Г(и!) и г'(и!) в характерных точках, а на рис. 2.5 показан примерный вид АФЧХ. Из этого рисунка Рис. 2.5. АФЧХ форсирующего звена 2-го порядка 2.6. Рвзличные типы звеньев и их хвринтпериетпини 45 видно, что О < Зг(ш) < я/2 при 0 ( ш < 1(Т. Поэтому на этом интервале 1т1ш) 2~Тш р(ш) = несся = агсск У(ш) 1 — (шТ)г При ш > ЦТ (см.

рис. 2.5) у1ш) = т — а, где $'(ш) 2~Тш ~У(ш)~ 1 — (шТ)г Поэтому на этом диапазоне частот гг1ш) = те+ эгс1я 2г,Тш что и доказывает справедливость приведенной выше формулы для ~р(ш). Колебательное звено. Так называют звено с передаточной функй цией Ит1в) = (О < т,' < 1). К такому виду приводитТгвг -о 2СТв -Ь 1 ся передаточная функция И'(в) = ь , если ее полюсы яваввг г'- иге+ аг ляются комплексно сопряженными числами с отрицательной вещественной частью. Частотные и временные функции колебательного звена имеют следующий вид: й 1 — (Тш)г -Ь 22~Тш ' 1т [1 — (Тш)г) 11 — (Т~)г)~ -Ь (2~Т~)' 2~Тш 1 — (Тш) г 2~Тш агссК1Т')г 1 Т' о,г < 1 ог ) Т' при при Л (ш) = 20 )я й — 20 1~ г г+рг тг(1) = й 1 — е ~'яп11го+ ьге) тп11) = ~ ) е "'япг31, ~ф ,Д ~г,Д оег где а= —, Р= '; ~ро=агк4й ' Т' Т Здесь фазовую частотную функцию можно получить, используя правило вычисления аргумента дроби и основываясь на фазовой функции форсирующего звена 2-го порядка.

46 Гл. 2. Математическое описание систем управления Т аб ли ц а 2.3. с!астотные характеристики элементарных звеньов Звено и ее частот- ная передаточная функция Пропорциональное звено, Ис(уы) = й Лифференцируюшее звено, И'Цо~) = Йуы Интегрируюшее звено, И'(!ьа) = ЙДы /дек 20 Форсируюшее звено, Ио ) =чту, +Ц 20! 1 — тз-з+ 12рт.

Апериодическое зве!с но, ИсОзо) = Туса -!- 1 Колебательное звено, И' (уы) = й Амплитудно-фазо- вая частотная ха- рактеристика Логарифмические ампли- тудные и фазовые частот- ные характеристики Г (ы) р( ) н 2 !а(ы) Г (оз) 20 дБ/дек 1/й 2.6. Различные шины звеньев и их харакнзерисгпики 47 Таблица 2.4. Временные характеристики элементарных звеньев В табл. 2.3 приведены частотныс характеристики, а в табл. 2.4 временные характеристики элементарных звеньев. Асимптотические лоеаридзмические амплитудные частотные характеристики.

Логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) пропорционального, диффсренцирующего и интегрирующего звеньев являкзтся прямыми, и их легко построить. Построение ЛАЧХ других элементарных звеньев требует трудоемких вычислений. Поэтому на практике часто ограничиваются построением приближенных асимптотических ЛАЧХ. 48 Гл, е. Математическое описание систем управления При построении асимптотической ЛАЧХ апсриодического звена в р с! ! = 20!ее — 20!! с!у ! ! 1 р ( !!3' «рнем пренебрегают слагаемым (Ты)з, меньшим единицы, а при !о > > ЦТ единицей.

Поэтому уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид ~ ~~ | ! 2018 й при о! ( ЦТ, 201я1 — 201я(Т!о) при а! > ЦТ. При построении асимптотической ЛАЧХ колебательного звена в выражении Т,(а!) = 201як — 201я [1 — (Т!о)з]з + (2!,Та!)з при !о ( ЦТ под корнем оставляют только единицу, а при !о > ЦТ только наибольшее слагаемое (Та!)л. Поэтому уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид 201яй при !о ( ЦТ, ь(а!) = 2018й — 4018(Т!о) при !о > ЦТ.

Аналогично поступают при построении асимптотических ЛАЧХ форсирующих звеньев. Частоты, на которых асимптотические ЛАЧХ претерпевают излом, называются сопряеающими частотами. Переходная и весовая функции. Вычисление временных функций проиллюстрируем на примере колебательного звена. Пример 2.6. Определить переходную и весовую функции колебательного звена.

Р е ш е н и е. По определению передаточная функция колебательно- го звена и соответственно дифференциальное уравнение имеет вид (Т~р~ + 2!,Тр+ 1)у = Йи. Лля определения переходной функции нужно решить это уравнение при входном воздействии и = 1(1) и нулевых начальных условиях (Тзр'+ 2(Тр+1)у = И(1), у(0) = у(0) = О. Характеристическое уравнение имеет вид ТзЛз+ 2(ТЛ+ 1 = О, и его корнями являются сс( ~э Лзз= — —,х 1 — ! — — или Л!з= — — ху Т (т) Т Т Т Положив о = Т)Т и Д = з)1 — !,Я)Т, общее решение однородного дифференциального уравнения можно записать в виде у, = (С! з1п)3!+ Сз созЯе х.6.

Риэлиииме таим звеньев и их харакглерисгпики 49 Частное решение неоднородного уравнения есть у, = к. Поэтому об- щее решение имеет вид У = у:+ у, = (С1 яп535+ Сз оазис)е з+ к. Производная от этого решения-- у = ]53(С1 соз 531 — Сз я1п 551) — а(С1 яп 531 + Сз соя )М)]е Начальные условия принимают вид у(0) = Сз + к = О, у(0) = )ЗСз — аСх — — О. Отсюда Сз = — 5с, Сг = — айР5З. ПоэтомУ пеРеходнаЯ фУнкциЯ есть ИЯ = к 1 — — (аз1пЯ,+,усов~51)е' 5З или, после элементарных преобразований, й(1) = й 1 — зу е 'з1 1531+ ре) где ре = агсгя ф/а).