Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (Ким - теория автоматического управления), страница 6

Условно прямое и обратное преобразования Лапласа записывают соответственно в виде Х(в) = Ц (1)), Я =1 'ЕХ(в)), где А оператор Лапласа, а б ' обратный оператор Лапласа. Основные свойсгава преобразования Лапласа. 1о. Свойство линейности. Лля любых постоянных о и Д И х.(1)+азха(г)) = оГ(х.Я)+бб(х.Я), т.е. преобразование Лапласа от суммы функций равно сумме преоб- разований слагаемых, и постоянные множители можно выносить за знак преобразования. 2".

Дифференцирование оригинала. Если производная хЯ является функцией-оригиналом, то Ь(хи(1)) = вХ(в) — т(0), где Х(в) = Ь(х(1)), .х(0) = 1пп х(1). Здесь запись 1 — г+О обознак-л-го чает, что 1 стремится к нулю, оставаясь положительным (предел справа). Если и-я производная х (1) является функцией-оригиналом, то 1и] и,— 1 и — 2. Ц х (1)) = в"Х(в) — ви х(0) — ви х(0) —... — х (0). 00, 00 Здесь х (0) = 1пп х (1), й = 0,1,...,п — 1. с ао (и — Ц При х(0) = х(0) = ... = х (0) = 0 последняя формула, принимает вид (и) 1А и (1)) = виХ(в). Таким образом, при нулевых начальных условиях дифференциро- ванию оригинала соответствует умножение изображения на в. 27 я.у.

Преобразование Лап.ьаеа 3 . Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сво- дится к делению изображения на в х(у,),)2 ) х)) о 4". Теорема запаздывания. Для любого т > 0 1 )х),1 — т)) = е "ЦХ11)) = е "Х1в). бо. Теорема о свертке. (умножении изображений). Если Х1(1) и хг)1) - — оригиналы, а Х) (в) и Хз(в) — их изображения, то ) ) х() х))= ))„()„( —,),)= 1)„))„) —,).).

О О Интеграл в правой части называкзт соерптой функций х111) и х211), его обозначают х111) * х211)) х1(1) е хз(ь) = ~ х11т)х211 т) дт Гх2 )т)х1(1 — т) Йт. Поэтому Х ( ) Х ( ) = Цх (1) *хз(1)) бо. Теоремы о предельных значениях. Если Х11) а Х(в) --- его изображение, то х(0) = 1йп вХ(в); и если существует предел х(со) = 1ш1 х)1), то 1 — )ж х(оо) = 1пп вХ(в). хпо оригинал, дА(в) Здесь п - степень полинома А(в) и А'(вь) = дв х=хь Формулы (2.10) и (2.11) справедливы при 1 > О. При 1 < 0 по определению функции-оригинала х(1) = О. 7О.

Теорема разложения. Если Х(в) = В(в)))А(в) являетсядробворадиональной функцией (А(в), В(в) . полиномы от в) и степень полинома числителя меньп)е гюлинома знаменателя, то ее оригиналом является функция х — 1 х)1) = ) 1ш1 (Х(в)(в — вг)""е"), (2.10) где вь корни уравнения А(в) = О, пх их кратности и д число различных корней. Если указанные корни простые, то В(вь) (2.11) А'(вь) 28 Гл.

е, Математннеснсе спнсание систем управление Поэтому х(1) = 1+ (21 — Це Изображения Лапласа. В табл. 2.1 приведены изображения Лапласа для часто используемых функций. Рассмотрим их вывод. Ц Дельгпл-функпяя (б-функция). Дельта-функция б(1) является обобщенной функцией, и ее можно определить следующим образом: для любой непрерывной функции уз(1) и бесконечно малого положительного числа е выполняется равенство 1б( = 1б(1 ) = (О.

(2.12) Производные от б-функции определяются следующим образом: От 1м1 б (1)у(1) с1с = ( — Ц" св (0), т = 1, 2,. 1т1 где б (1) . т-я производная по времени от б-функции, уз(1) - обычнал функция, обладающая т-й производной. Если представить преобразование Лапласа (2.8) в виде Х(в) = !пп /х(1)с 'сей, „,04 то согласно определению дельта-функции (2.12) имеем ~(б(1)) 1пп ~б(1)с — вес11 Пример 2.1. Определить функцию х(1), изображение которой 1 имеет вид Х(в) = в(в Е Ц Р е ш е н и е.

В данном случае В(в) = 1, А(в) = в(в+ Ц, А'(в) = 2в+ 1. Полюсами функции Х(в) являются вз = О, вз = — 1, и они являются простыми. Поэтому согласно формуле (2.1Ц х(1) = 1 — е Пример 2.2. Определить функцию х(1), изображение которой 4(в -~- Ц имеет вид Х(в) = в(в 4-2)з Решение. В данном случае В(в) = 4(в+ Ц, А(в) = в(в+ 2)~, А (в) = Зв~+ 8в+ 4. Полюсами функции Х(в) являются вз = 0 и вз = — 2.

Первый полюс является простым, а второй ... кратным кратности пз = 2. Слагаемое, соответствующее простому полюсу, можно вычислить по формуле (2,1Ц: В(в~)/А'(вз) = (4/4)е" = 1. Кратному полюсу согласно (2.10) соответствует слагаемое 1пп — [Х(в)(в — вз) е ~ = 1пп — ~ е ~ = (21 — Це и . л 14(в+ Ц ес1 — 2с е-лес ~Ь е-л — 2 сЬ в 29 Я.З. Преобразование Паиваеа Таблица 2.1. Изображения Лапласа 2) Единичная функция. Единичная функция 1(1) определяется следующим образом (рис. 2.2, и): (1 при 1> О, ) 0 при 1(0. 1(К вЂ” т) 0 т б Рис.

2.2. Графики единичных функций: а — единичная функция; б — еди ничнзя функция с запаздывающим аргументом 3О Гл. е, Математическое описание систем управления Ее изображение согласно (2.8) имеет вид Х(в) =.(1(С)) = /.-"дС = -' о 3) Единичная функция с запаздывающим арзументом. Согласно теореме запаздывания (свойство 4о преобразования Лапласа) Х(в) = Ь(1(С вЂ” г)) = е "А(1(С)) = е 4) Изображение Х(в) функции х(С) = С определяется интегрированием по частям: Х(,) — /С,-мдС вЂ” ' С;в + ' /е-~~дС о о и! То, что изображением функции х(С) = С" является Х(в) = докажем методом математической индукции. 1 При и = 1 эта формула принимает вид ЦС) = —,, и она верна.

а — (й — 1)' Предположим, что она справедлива при н = к — 1; Ь(С~ ~) = в и покажем, что она справедлива при и = к. Так как х(С) = С" = 'а/ т"' сСт, о то согласно интегрированию оригинала (свойство 3о преобразования Лапласа) соз = с(ш(,"-'е,) = -' со'-т о Отсюда, учитывая принятую выше формулу для Ь(СЯ ), получаем искомое соотношение й (й-1)~ й. в вв ввез' 6) Изображение функции х(С) = е с определяется непосредственно из формулы преобразования Лапласа ц - с) / — с — сдС вЂ” / — СаелрдС— в з- о о о 7) Изображение функции х(С) = Се а' получается интегрированием по частям; ЦСе а') = /Се С~т'РсСС = — — ГСде С~т"Д = в+ о 1 (о+ в)" о о 8) Формуладля изображения функции х(С) = С"е с доказывается методом математической индукции так же, как зто было сделано при выводе формулы для изображения функции С".

2,4. Передаточные н временные функции 9) Из формулы Эйлера ег' = саят+ уяшт следует, что я1паг1 равен мнимой части ед"е: яш огя = 1гп ег '. Поэтому 1(я1поге) = /(1шег )е ' Йй а Если рассматривать я как действительный параметр, то это равенство можно записать в виде Ця|поге) = 1ш /ег е ' егй а Отсюда, проинтегрировав и выделив мнимую часть, получим А(яшоге) = ег + а)г ' 10) Из формулы Эйлера получаем, что соя оЛ равен действительной части е'"': соя ог1 = Вес'"'. Поэтому 1.)сояог1) = Ве~ег"'е "е11 = во+ г' а 11) Учитывая, что е ея1пагя = е ~1пгег е = 1ше~г" 1 получаем Це ~'яшаг1) = 1ш ) е~гн а1 е ' е1е = (е + а)г + агг а 12) Так как е есояая= е "Веег"" = Кое~а" ге, то получаем Л1е сояаЛ) = Ве ~е~г Ре 'еду= Е е )г ~ее,г' о Таким образом, справедливость формул в табл. 2.1 доказана.

2.4. Передаточные и временные функции Система или звено с одним выходом и двумя входами в общем случае описывается уравнением (иг (и — и (тг (аг — Ц аоу +аз у +...+а„у=Ьо и +Ьг и +... Ю ...+Ьта+сои +сз о +...+сегь (2.13) В символической форме это уравнение принимает вид Еаоро+игр" +... + ао)у = (Ьорт+ Ьгр"' +... + Ь,„)и+ + (сор~ + сгр~ ~ +... + сг)и, (2.14а) или (2.14б) се(р)у = Рз(р)и+ Р6Р)о. 32 Гл, 2. Математическое описание систем управления где в и — 1 Я(р) = аор + азр +... + аа, Р,(р) = Ь,р'о+ Ь,ро'-'+.,. + Ь (2 1о) Р2Оэ) = сор + с1р + ° ° + сь Наряду с дифференциальными уравнениями при описании линейных систем широко используются передаточные н временные функции. 2.4.1.

Передаточные функции. Пля описания линейных систем используются передаточные функции в операторной форме и передаточные функции в изображениях Лапласа. Передаточной, функцией в операторной форме называется отношение оператора воздействия к собственному оператору. Напомним, что собственным оператором называют дифференциальный оператор при выходной переменной, а оператором воздействия --- дифференциальный оператор при входной переменной.

Степень полинома знаменателя называют порядком, а разность между степенями знаменателя и числителя относительным порядком передапючной функции и соответствующей системы. Нулями и полюсами передаточной функции И (р) = Р1р)(Я(р) называют нули ее числителя и знаменателя соответственно, т.е. корни уравнений Р(р) = О и Ы(р) = О, где р рассматривается как переменная, а не как оператор. В случае системы управления, которая описывается уравнением (2.13) или (2.14), собственным оператором является Я(р), а операторами воздействия оператор воздействия Р,(р) по входу и и оператор воздействия Рэ(р) по входу о. Поэтому в этом случае система определяется двумя передаточными функциями .-- передаточной функцией ~1(р) ор +Ь|р + .

+ Ь Я(р) аор" + а1р" ' +... + а„ относительно входа и и передаточной функцией Рг(,р) сор м с|р е,,. +с~ (2.16б) Ю(р) авр" -Ь а,р.-~ + ... + а„ относительно входа о. Порядок этих передаточных функций равен и, а относительный порядок равен и, — пз для передаточной функции И~„(р) и и — 1 для передаточной функции И',(р). С помощью передаточной функции уравнение рассматриваемой системы управления можно записать в виде у = Иг„(р)и + И<в(р)о = , " и + Ьор -ЬЬ|р + . -ЬЬ аор" -Ь а1р"-' -Ь... + а„ 1 — 1 и (2 17) аар" + а1р" ' Ь... -Ь а 33 К4.