Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (Ким - теория автоматического управления), страница 8

е. уравнения 0,5у+у = 2 при нулевом начальном условии: у(0) = О. Характеристическое уравнение имеет вид 05Л+ 1 = О. Его корень Лл = — 2. Общее решение однородного уравнения у,(л) = = Се з' и частное решение неоднородного уравнения у,1л) = 2. Поэтому общее решение неоднородного уравнения у = ус1л)+ув1л) = Се л+2. Из начального условия у(0) = С + 2 = 0 имеем С = — 2. Следовательно, переходная функция Ь1л) = — 2е и -ь 2 = 2(1 — е з'). Весовая функция ю(л) = = 4е дйлл) дл Итак, линейная система (звено) может быть задана (оглисана) с помолцью дифференциальных луравненилл, тлредаточных функций в операторной форме и в изображетлях Лапласа, переходной и весовой функциями.

При этом в общем случае дифференциальные уравнения и передаточные функции в операторной форме описывают систему тлри произвольных начальных условиях,, а передаточные функции в изображениях Лапласа и временлльле (переходньле и весовые) функции тполько при нулевых на"лальоых услооиях.

2.5. хтастотные функции и характеристики Важную роль при исследовании линейных стационарных систем играют частотные характеристики. Они представляют собой еще один способ описания систем. В общем случае уравнение линейной системы с одним входом можно записать в виде ао у + ал у + ...

+ аоу = Ьои + Ь, лл + ... + Ь и. (2.25) 1о1 1п — 11 1 1 1„, н 38 Гл. 2. Математическое описание систем управления Ее передаточная функция 'о р"' + у~, ' ->... + о, аор" -~- а1р" ' -Ь... -~- а (2.26) Функцию И'(~ш), которая получается из передаточной функции в изображениях Лапласа при подстановке в = уш: Уо(дш)"' -~- 6Яш)"' ' +...

-~- 6 ао(дш)" -~- а|(дш)" 1 -~-... -(- а„ называют частотной передаточной функцией. Она является комплекснозначной функцией от действительной переменной ш, называемой чистотой. Частотную передаточную функцию можно представить в виде И'(у ~) = о'(ш) + 2И(ш) = А(ш)сутан~, где Если ~ аг8И'(~ш)~ < —, то ~р(ш) = аг8И'(уш) = агсй8 к И(ш) 2 ' У(ш) На комплексной плоскости частотная передаточная функция И'Цш) определяет вектор ОС (рис. 2А), длина которого равна А(ш), а аргумент равен углу уо(ш), образованному этим вектором с положительной действительной полуосью.

Годограф этого вектора, т.е. кривую, описываемую концом вектора И'(у ~) при изменении частоты от О до оо или от — оо до со, называют ам литудна-фазавай частвтРис. 2А. Годограф вектора И'(дш) ной хаРактеРистикой (АФЧХ). АФЧХ, получаемую при изменении частоты от — оо до оо, также называют диаграммой Найквиста. Модуль А(ш) = )И'(уш)( называют амплитудной частно пней функцией, ее график амплитудной часгпотной харантперистикай.

Аргумент оа(ш) = аг8 И"(~ш) называют фазовой частотной функцией, а его график (при изменении ш от О до оо) фазоввй частотной характеристикой. Частотную передаточную функцию И'Ош) называют также амплитудно-фазоввй частотной функцией. Ее действительную (Г(ш) = = Ке И'(уш) и мнимую И(ш) = 1т И (у ~) части называют соответственно вещественной и мнимой частотными функциями., а их графики — кривые зависимостей У = о'(ш) и Ъ = И(ш) называют соответственно вещественной и мнимой частотными характеристиками. е.5. Частотные функиии и характеристики 39 Кроме перечисленных частотных характеристик, имеются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) — .

логарифмические амплитудные частотные характеристики и логарифмические фазовые частотные характеристики. Функцию х,(ы) = 20 18 А(ы) = 2018 ~И'Оы) ~ называют логарифмической амплитудной (частотной) функцией, а график зависимости функции Цео) от логарифма частоты 18ы назыввлот лога1тфмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ). При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают значение частоты в логарифмическом масштабе, при атом на отметке, соответствующей значению 18ео, записывают значение ы; по оси ординат откладывают и записывают значение х,(ы) = 20 18 А(ш). Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называют график зависимости функции р(ео) от логарифма частоты 18ы.

При ео построении по оси абсцисс, как и при построении ЛАЧХ, на отметке, соответствующей значению 18 ее, записывают значение ы. В ЛЧХ единицей х (о>) является децибел, а единицей 18аг декада. декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что частота изменилась на одну декаду. Правило вычисления модуля и аргумента.

В дальнейшем при вычислении амплитудной и фазовой частотной функций полезно следующее правило вычисления модуля и аргумента произведения и дроби комплексных чисел (функций). 1) Модуль произведения Я = хзхе... хн комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей: ~г~ =~я,Цхз~...~ „~, (2. 27а) а аргумент сумме аргументов сомножителей: (2. 27б) агбх = агкх1+ агбхг+... + агбха. 2) Модуль дроби комплексных чисел (функций) Я = Яз/Уг равен дроби модулей: ~г~ = И,. )7а) ' (2.28а) а аргумент — разности аргументов числителя и знаменателя; (2.28б) аг8 Я = аг8 .м — аг8 Яз. Лействительно, представив х, = ~х,~ ед "'Я ь, имеем ~ — (х1! )хг) ° (хе! е Отсюда получаем формулы (2.27а), (2.27б). Аналогично находим Я = еей'к и' ""Я Я-'1, откуда получаем ~гП ~г,~ формулы (2.28а), (2.28б). 40 Гл. 2.

Математическое описание систем управления Если комплексная функция представляет отношение произведений гт 1 11 и КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ (фуНКцнй) л = ( П 2;)/ ( П 21), тО На ОСНОВа1=1 Я=1 нии приведенных выше формул получаем /Я! = ( П/2,!)у1 ( П /21/), аг5Я = 2 агк'2, — 2 агйгг. (2.29) ~=1 1=.1 — 1=1 Физический смысл частпотных характерисгпик. При гармоническом входном воздействии в устойчивых системах после окончания переходного процесса выходная переменная также изменяется по гармоническому закону с той же частотой, но с другими амплитудой и фазой; амплитуда равна амплитуде входного сигнала, умноженной на модуль частотной передаточной функции, а сдвиг фазы равен ее аргументу.

Иными словами, амплитудная частотная функция показывает изменение оп1ношения амплитуд выходного и входного сигналов, а фазовая частпотная функция сдвиг фазы между нами в завасимотпи от часп1оп1ы. Таким образом, если система (2.25) устойчива, то при входном воздействии и = и сов(а22+св); после окончания переходного процесса выходной сигнал имеет вид у = ! И'Ц1о) ! ив, сов (а1 Г + о + у2(а1) ) . Здесь и„, — постоянная амплитуда входного сигнала; о — — начальный сдвиг фазы; И'(фа) -- частотная передаточная функция рассматриваемой системы; ~р(а1) = агбИ'Оа1). Покажем справедливость приведенной формулы, положив для простоты записи а = О. Общее решение уравнения (2.25) имеет вид у = увР)+ у.(2), где у,(2) общее решение однородного уравнения, у,(1) частное решение неоднородного уравнения (2.25). Общее решение уе(2) описывает свободное движение, т.

е. движение, определяемое начальным условием. В устойчивых системах оно со временем стремится к нулю; у,(С) — г О при 1 — 1 со. Частнос решение ув(С) описывает вынужденное (установившесся) движение, определяемое внешним воздействием. Чтобы найти частное решение при и = итсоза11, используя равенство соваЛ = (ез"' + е 1'ве)/2, представим входное воздействие в ВИДЕ 'а = а1ф + из(в), ГДЕ и1(в) = — Е, и2(в) = — Е 2 ' 2 На основе принципа суперпозиции частное решение рассматривае- мого уравнения можно представить в виде суммы 1Ув (в) — У1 (в) + У2 (2) 2.ас.

Частотные функции и характеристики где ух(2) частное решение уравнения (2 25) при и = иг(2) и уг(Ь) частное решение того же уравнения при а = иг(г). Найдем зти ре- шения. Так как ри,(г) = — ре~ = — (Ж)е = (фах) иг(х), 2 2 р иг(с) = р(рих(Ь)) = р[(уох)их(с)) = (уох) иг(С), Р иг(х) = Р(Рт их(с)) = (Уах) иг(Ь), то при подстановке в уравнение (2.25) вместо и выражения для их(2), получим (аор" + охра +... + аа)уг = [Ьо(уса)т + Ьг(фы) +...

+ Ь ) игЯ. Частное решение этого уравнения будем искать в виде Уг = Агих(2) = Аг — '" ег~'. 2 При его подстановке в (2.25) указанное уравнение принимает вид [ао(уы)" + аг(уы)" '+... + аа) Агиг(Ь) = = [Ьооы)са+Ь (уы) '+".+Ь |и Я. Отсюда Ьо(г' ) '+Ь,(фа)" '+...+Ь„ ао(фд)" -г а1(фд) ' т... + а Очевидно, зто выражение совпадает с частотной передаточной функдией рассматриваемой системы.