Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (Ким - теория автоматического управления), страница 5

2.1. Ъ"равнении динамики и статики Система уравнения и любой ее элемент производят преобразование входного сигнала т(г) в выходной сигнал у(г). С математической точкой зрения они осуществляют отображение р(1) = Ая(й), согласно которому каждому элементу л ф из множества входных сигналов ставится в соответствие некоторый вполне определенный элемент у(ь) из множества выходных сигналов.

В приведенном соотношении А называется опероторохс Оператор, определяющий отображение между входным и выходным сигналами системы управления (элемента), называется оператором этой госте.мы (элемента). Задать оператор системы это значит задать правило определения выходного сигнала этой системы по ее входному сигналу. В данной книге будем рассматривать системы, операторы которых могут быть 22 Гл, 2. Математическое описание систем управления заданы с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. Математическая модель системы управления может быть представлена в виде соединения звеньев.

Звено это математическая модель системы или любой ее части, определяемой некоторым оператором. В частном случае звено может быть математической моделью элемента. Пля примера рассмотрим звено, которое задается уравнением г(у,у, у,и,ип и) = О, (2.1) где у — выходная переменная; и и и - входные переменные; точки над переменными обозначают дифференцирование по времени: у= ~ у= дс' ' д1з Пусть при постоянных входных воздействиях и = и" и о = оо процесс в звене установится: выходная переменная со временем принимает постоянное значение у = уо. Тогда производные обращаются в нуль и уравнение (2.1) принимает вид г'~ = г'(у, О,.О,и,б,ио) = О.

(2.2) Уравнение (2.1), описывающее процессы в звене при произвольных входных воздействиях, называется уравнением динамики. Уравнение (2.2) описывает статический режим, т.е. процесс в звене при постоянных входных воздействиях, и называется уравнением статики. В общем случае, когда звено описывается дифференциальным уравнением, значение его выходной величины в момент 1 зависит от предыстории, т.е. от значений входной переменной до момента й В этом случае говорят, что звено обладает динамическим запаздыванием.

Если звено описывается функцией, т. е. значения его выходной переменной в любой момент времени зависят только от значений входной переменной в тот же самый момент времени, то уравнение статики совпадает с уравнением динамики. Статический режим можно описать графически с помощью статических характеристик. Статической характеристикой звена (элемента) называют кривую зависимости выходной переменной от входной в статическом режиме.

Статическую характеристику элемента можно построить экспериментально, подавая на вход элемента постоянные воздействия и измеряя значения выходной переменной после окончания переходного процесса или вычисляя с использованием уравнения статики. 2.2. Линеаризацип. Формы записи дифференциальных уравнений Большинство систем управления описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Но во многих случаях их можно линеаризовать, т. е, заменить исходные нелинейные уравнения линейными. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называют линсаризаиисй. Я,М. Линеариэаиия. Формы вааиеи дифференииаавныя уравнений 23 Назначение систем управления это поддержание некоторого заданного режима.

При этом режиме входные и выходные переменные звеньев системы изменяются по определенному закону. В частности, в системах стабилизации они принимают определенные постоянные значения. Но из-за различных возмущающих факторов фактический режим отличается от требуемого, и текущие значения входных и выходных переменных не равны значениям, соответствующим заданному режиму. Обычно систему управления проектируют таким образом, чтобы реальный процесс мало отличался от требуемого режима, т. е.

чтобы отклонения от заданного режима были малы. Это позволяет производить линоаризацикд разлагая нелинейные функции, входящие в уравнения, в ряд Тейлора в точке, соответствующей заданному режиму, и отбрасывая нелинейные относительно отклонений и их производных слагаемые. Проиллюстрируем сказанное на примере звена (2.1). Пусть заданному режиму соответствуют значения у = уо, у = О, у' = О.

и = ио и = О, о = оо (2 3) Обозначим отклонения реальных значений у., и и о от требуемых через лху, лхи и л1о. Тогда получим у = ус+ лаи, у = лху, у = лау, и = и + лаи, и = Ьи, о = ос+ ело. Подставив эти выражения в исходное уравнение и рассматривая Е(у, у, у, и, и, о) как функцию от независимых переменных у, у, у, и, и и о, разложим ее в ряд Тейлора в точке (2.3): + ( — ) ели + ( — ) лаи + ( — ) лалл +... = О. Здесь многоточие обозначает слагаемые, содержащие произведения приращений и их производных.

Пренебрегая этими слагаемыми как бесконечно малыми величинами более высокого порядка, чем сами приращения и их производные, а также учитывая, что Р~ = О в силу (2.2), последнее уравнение можно представить в виде аол3у+ алКу+ елзблу — Ьолллл — Ьллалл — сол1лл = О, (2.4) где ело= ( ..), ил= (,.), аз= (, ), Ьо= (, ); Ь1 =-( и)': =-( о)' Уравнение (2.4) получено при следующих предположениях: 1) отклонения выходной величины Ллу и входных величин л1и и лао достаточно малы, 2) функция Р обладает непрерывными частными производными по всем аргументам в окрестности точки, соответствующей заданному режиму.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то, строго говоря, линеаризацию проводить нельзя. По поводу условия 1) необ- 24 ргь е. Математическое описание систем упрвввения ходимо отметить следующее: нельзя раз и навсегда установить, какие отклонения считать малыми; это зависит от вида нелиней- ности.

У .l Иногда нелинейную зависимость между отдельными переменными, входящими в уравнение звена, задают в виде графика (кривой). В этих случаях о линеаризацию можно проводить граО гги фически. Геометрически линсаризация нелинейной зависимости между двумя А' переменными означает замену исходе ной кривой АВ отрезком касательной А'В' в точке О' (рис. 2.1), соответствующей заданному режиму, и паРис. 2.1. Линеаризация Раллельный перенос начала системы координат в эту точку. Сивгволипесная форма записи дифференциальных уравнений.

При описании систем управления удобно использовать символическую форму записи линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим ее на примере уравнения (2.4). Перепишем его, опустив для сокращения записи знак гг и оставив в левой части только члены, содержащие выходную переменную и ее производные: (2.5) аоу+ а|у+ агу = Ьои+ Ь|и+ сои. Введем для операции дифференцирования по времени обозначение р: ~Р' р= лг Здесь знак тождества обозначает равенство по определению.

Используя введенное обозначение, уравнения (2.5) можно записать в виде аор у + агру + агу = Ьпри + Ь| и + сои. (2.6а) Рассматривая оператор дифференцирования р как сомножитель, а выражение ру как произведение, не обладающее свойством коммутативности (ущ ф ур), уравнение (2.6а) можно записать в виде (аор + а|Р+ аг)у = (Ьор+ Ь|)и + сои. (2.66) Введем обозна юлия Я(р) = аорг + а|р+ аг., гс|1Р) = Ьор+ Ьг, Вг(р) = со.

Используя эти обозначения, последнее уравнение можно записать в виде |е(Р)У -'ег|Р)и+ Вг(Р)т (2.6в) Следует иметь в виду, что уравнения (2.6а) — (2.6в) представляют другую, символическую (операторную) форму записи уравнения (2.5). Иного смысла они не имеют. Пифференциальный оператор при выходной переменной называют собственным оператором, дифференциальный оператор при входной переменной оператором воздейслпввя. В последнем уравнении 25 2.3, Преобразооонио Палласа или Тгу + 2(Тоу + у = кг(Тги + и) + йги, (2.7) г ао аг Ьг Ьо со Т, аг где То= —,Ть= —,йг= — >Тг= — 1йг= —,(= аг ' аг ' аг Ьг ' аг ' 2То 2оlаоа Здось постоянные То, Т, и Тг имеют размерность времени, и их называют постоянными времени, коэффициенты Аг и Йг — переда- точно ми коэффициентами и безразмерный коэффициент ( (при 0 < < ( < 1) — - коэффициентом демпфирования.

Если исходное уравнение (2.5) не содержит у (аг = 0), то в стандартной форме коэффициент при у должен быть равен единице; обо части уравнения делят на аы В символической форме уравнение (2.7) принимает вид (Тор + 2(Тор+ 1)у = Йг(Тгр+ 1)и+ Йггь 2.3. Преобразование Лапласа При рассмотрении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициснтами удобно использовать преобразование Лапласа, так как оно решение дифференциальных уравнений сводит к алгебраическим операциям. Преобразованном Лаггласа называют соотношение.

Х(в) = /х(1)е ' дЬ, о (2.8) ставящее функции х(г) всщостввнного переменного в соотвстствие функцию Х(в) комплексного переменного в (в = а + фа ). При этом х(Ь) называют ориаиналом, Х(в) изображснием или изображением по Лапласу и в переменной преобразовании Лапласа Оригинал обозначают строчной, а его изображение одноименной прописной буквой. собственным оператором являотся Ц(р), а операторами воздействия Лг(р) и ггг(Р).

Стандартпная форма записи уравнении звена. При исследовании систем управления удобно, если уравнение звена, описываемого дифференциальными уравнениями не выше 2-го порядка, представлено в стандартной форме. При стандартной форме записи члены уравнения, содержащие выходную величину и ее производные, располагают в левой части, а все остальные члены -- в правой; коэффициент при выходной переменной делают равным единице. В правой части члены, содержащие одну и ту же входную переменную и ее производные, объединяют в одну группу и коэффициент при соответствующей входной переменной выносят за скобки. Уравнение (2.5) в стандартной форме принимает вид То у + Тг гд + у = )оь (Тги + гг) + Йги 26 Гл.

г, Матсмаюиивсное описание сисиюм управления Предполагается, что функция хЯ, подвергающаяся преобразовании> Лапласа, обладает следующими свойствами: 1) функция хЯ определена и кусочно дифференцируема на интервале (О, оо); 2)хЯ=О при 1<0: 3) существуют такие положительные числа с и Ы, что ~х(г)~ < <Меыпри 0<1<со. Функцию, обладающую указанными свойствами, называют функцией-оригиналом. Соотношение хЯ = — / Х(в)е'~ аг, (2.9) 2нй 3 определязощее по известному изображению его оригинал, нв,зывают обратным преобразованием Лапласа В нем интеграл берется вдоль любой прямой Пе в = о > с.