Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (Ким - теория автоматического управления), страница 10

Весовая функция принимает вид ш11) = — = й е ~']алп(5Й+~Ре) — 55соз()й+~Ре)], ~1~ или,после преобразований, ю]1) = ' ) ех и япЩ. й(а~ + у ) Р5 2.6.2. Немннимально-фазовые элементарные звенья. Рассмотренные выше дифференцирующее и интегрирующее звенья являкзтся маргинальными, а остальные — — минимально-фазовыми.

Здесь мы остановимся на неминимально-фазовых и двух других маргинальных элементарных звеньях. При этом ограничимся рассмотрением только фазовых частотных функций, так как их вычисление вызывает определенные сложности. Так как формула Гя р(ы) = г (ы)5'о'(ы) справедлива при произвольном р(ы), в общем случае фвзовая частотная функция имеет вид ~р(ы) = агсгя + Ьг, 1 = О, х1, ~2, ...

(2.32) Ъ'(ы) Неусгпойчиеое форсирующее звено. Так называется звено с передаточной функцией И'(я) = к(Тя — 1). газовая частотная функ- (2.33) Для получения этой и последующих формул для фазовой частотной функции неминимально-фазовых элементарных звеньев рассмотрим пределы их частотных передаточных и фазовых частотных функций при ы -г 0 и ы -г со.

Для частотной передаточной функции неустойчивого форсирующего звена И'(уы) = ЦТуы — 1) имеем: 4 Д31. К 50 Гл. 2. Мапгемптичесхое списание систем управления 2(Тш — — см1 (Т„)г 1 при ш > — . Т' Неусгаойчивое кояебагаеяьное звено. Так называется звено к с передаточной функцией Иг(е) =,, (О < ( < 1). Час1с тотная передаточная функция Иг(~ш) = ...и фазовая частотная функция, определяемая как разность между аргументами числителя и знаменателя, равна фазовой частотной функции неустойчивого форсирующего звена 2-го порядка с отрицательным знаком: 2(Тш 1 1 — (Тш)г ~ Т' р()= г -~- атоса 2(Тш 1 — (Тш)г 1 при ш > —.

Т при ш — г О И'Ош) + — 1ч и соответственно фазовая частотная функция ггг(ш) э 1к (= к1г к3,...); при ш — э сю Иг(уш) э 1Туигг и соответственно гр(ш) -э я,г2. В силу того, что агс13 = — агсСн(Тш), формула (2.32) бу- И(ш) дет удовлетворять полученным предельным соотношениям при 1 = 1. А при этом значении 1 формула (2.32) совпадает с (2.33). Неустойчивое апериодическое звено. Так называется звено с передаточной функцией Иг(е) = Ц(Те — Ц. Так как частотная передаточная функция Иг(~ш) = Йгг(Туш — 1), фазовая частотная функция по правилу вычисления аргумента дроби имеет вид сг(ш) = = — агу(Туш — 1), т.

е. она равна фазовой частотной функции неустойчивого форсирующего звена с противоположным знаком: р(ш) = — гг + атоса(Тш). Неустойчивое форсируюгцее звено 2-ао порядка. Так называется звено с передаточной функцией И'(е) = й(Тгег — 2(Тз+ 1) (О < ( < 1). Частотная передаточная функция И'Ош) = к(1 — Тгшг — 22(Тш) и Ъ'(ш) 2(Тш ассад = — агс13, г В данном случае при ш -л О Иг(уш) э сг(ш) 1 — Т'ш' -+ к., и соответственно фазовая частотная функция у(ш) -г О, а при ш — г оо Иг(уш) †г ( — 1)гЙТ (уш)~, и соответственно гр(ш) — г Ыг. 2(Тш Формула (2.32), которая принимает вид ггг(ш) = — агсся г, +1гг, Тг г 1 = О, к1, к2, ..., удовлетворяет приведенным предельным соотношениям, и 1с(ш) не терпит разрыва при ш = ЦТ, если 1 = О при ш < 1)Т и 1= — 1 при ш>1гТ: 2(Тиг 1 — агсгк, при ш < —, (2.34) 2.6.

Различные. тяпы звеньев и нх харангпериегаини 51 Консерватпивное звено. Так называется звено с передаточной й функцией Ит1я) = ...которая получается из передаточной тевз + 1 ' функции колебательного звена при ( = О. Поэтому, положив ( = 0 в фазовой частотной функции колебательного звена, получим 0 при ы< ЦТ, — я при ео > 1)Т. Это звено является маргинальным. Еще одно маргинальное элементарное звено с передаточной функциой И'1в) = й1Тгвг + 1) получим, если положим ( = 0 в передаточной функции форсирующего звена 2-го порядка. Из фазовой частотной функции указанного звена при ( = 0 имеем /О при ы < 1~Т, )к при ы>1/Т. 2.6.3. Звено чистого запаздывания.

Некоторые объекты могут обладать запаздыванием. Запаздывание проявляется в том, что при изменении входного воздействия выходная переменная начинает изменяться не сразу, а спустя некоторый промежуток времени т, называемый временем чистого или тпранспортлного запаздывании. К такому роду объектам относятся объекты, содержащие трубопроводы, длинные линии, транспортеры. Математические модели таких объектов включают звено, которое описывается передаточной функцией И'1я) = йе ".

Такое звено называется звеном чистого запаздывания. Его частотные и временные функции имеют следующий вид: И'Оы) = Йе е' = Й1сояты — уяшты), Г1ы) = йсоятео, 1т1ы) = — кяшты, А(ы) = к, 1о(ы) = — тео, Ь1ы) = 20!бй, й(г) = И(1 — т), ы11) = *но11 — т). 2.6.4. Построение логарифмических частотных характеристик. Лля построения логарифмической амплитудной 1ЛАЧХ) и фазовой 1ЛФЧХ) частотной характеристик звена с произвольной дробно-рациональной персдаточной функцией Ит1я) нужно ее числитель и знаменатель разложить на элементарные множители и представить Ит1в) в виде произведения передаточных функций элементарных звеньев; 12.35) ж = ПИ'Ля) или в виде и Иго~ ) 12.36) где И'о(в) представляет собой отношение произведений элементарных множителей 1-го и 2-го порядков с единичным передаточным коэффициентом, т.е.

множителей вида Тех 1 и аяз х 5я+ 1 15з — 4а < 0). 52 Гл. 2. Математическое описание систем управления Из (2.35) получаем Г(со) = 2013~И'Оы)~ = ~16 ~Иг(со)(, (2.37а) ,р(ы) = агяИ'Оо~) = ~~ эгйИ';(уло). г (2.376) Из (2.37а) следует, что для построения ЛАЧХ произвольного звена достаточно построить ЛАЧХ элементарных звеньев, на которые оно разлагается, а затем их геометрически сложить. Однако для построения асимптотических ЛАЧХ можно использовать несколько иное, более простое правило. Проиллюстрируем это сначала на частном примере. 100(е -Ь Ц Пусть И'(о) —, . Логарифмическая аме(10 е -~- 1) (0,01 еа + 0,1 е + 1) плитудная частотная функция имеет вид с( )=40 20~с 'Р+1 — 20~с — 20)е /се ) 11— Вычислим сопрягающие частоты и пронумеруем их в порядке возрастания: о~г = 1, соз = — = 10.

0.1 7(ы) — = 40 — 201яы. Это уравнение прямой, которая проходит через точку с координатами ос = 1 и 7 = 40 с наклоном — 20дБ/дек. Прямая имеет наклон — 20дБ/дек (20дБ/дек); это означает, что при увеличении частоты на декаду (т.е. в 10 раз) Ь(со) уменьшается (увеличивается) на 20дБ (рис. 2.6, а). Первая асимптота заканчивается на первой сопрягающей частоте (рис.

2.6, 6). При ыз < о~ < ыз аналогично имеем Б(ы) = 40 — 2016ы — 20!я(10ы) = 20 — 401яы. Это уравнение второй асимптоты. Ее наклон по отношению к первой асимптоте изменяется на — 20дБ/дек и обуславливается апериодическим звеном, т. е. множителем 1-го порядка в знаменателе рассматриваемой передаточной функции. Вторую асимптоту проводят от конца Здесь ыы ыз и ыз сопрягающис частоты апсриодического, форсирующего и колебательного звеньев соответственно. Напомним., что при построении асимптотических ЛАЧХ при частотах, .меньших сопрягающей частоты, под корнем оставляют только ециницу (остальными членами пренебрегают); при частотах, больших сопрягающей частоты, оставляют член с наивысшей степенью со. Поэтому в рассматриваемом примере при ы < ыз 2.6. Различные.

типы звеньев и их хврангнеривгиини 53 й(ю) ь(ю) 60 дБ/дек 40 лБ/дек 40 20 20дЬ/дек — 20дБ/дек — 20 — 40 лЬ/дек — 60 дБ,1дек — 60 0,1 Рис. 2.6. К построению асимптотических ЛАЧХ: в наклоны асимптот; б асимптотическая ЛАЧХ первой асимптоты до второй сопрягающей частоты согласно ее уравнению под наклоном — 40 дБ,1дек. При юз<ю<юз Б(ы) = 20 — 401кю+ 2016ы = 20 — 20 ею. Это уравнение последней, четвертой асимптоты. Ее наклон изменяется по отношению к третьей асимптоте на — 40дБ/дек и обуславливается колебательным звеном, т. с. множителем 2-го порядка в знаменателе. Теперь нетрудно сформулировать правило построения асиматотических ЛАЧХ в общем случае. Правило построения асимптотичесних ЛА ЧХ.

1) Пользуясь представлением (2.36), вычислить 201ьвк и сопрягающие частоты ы, = ЦТ,, которые следует пронумеровать в порядке возрастания: юг < юз < ... 2) На оси абсцисс отметить сопрягающие частоты, а на координатной плоскости точку (1, 201як). Построить первукв асимптоту прямую под наклоном -- и 20дБ/дек, проходящую через отмеченную точку на координатной плоскости. Первая асимптота заканчивается на первой сопрягающей частоте юю 3) Построить вторую асимптоту, которая начинается с конца первой асимптоты и проводится до второй сопрягающей частоты юз. Его наклон изменяется на ~20дБ/дек или *40дБ/дек в зависимости от Это уравнение третьей асимптоты. Ее наклон по отношению ко второй асимптоте изменяется на 20 дБ/дек и обуславливается форсирующим звеном, т.е. множителем 1-го порядка в числителе.

Третью асимптоту проводят от конца второй асимптоты до третьей сопрягающей частоты под наклоном — 20дБ/дек. При ы > ыз Б(м) = 20 — 2016ю — 201я(0,1ю) = 60 — 6016ю. 54 Гл. 2. Математическое описание систем управления того, обуславливается ыз элементарным множителем 1-го или 2-го порядка. Берется знак плюс, если указанный множитель находится в числителе, и знак минус, если этот множитель находится в знаменателе. 4) Построить остальные асимптоты, которые строятся аналогично второй асимптоте: 1-я асимптота начинается с конца предыдущей,. (1 — 1)-й асимптоты и проводится до сопрягающей частоты ыь Его наклон определяется сопрягающей частотой ы, Последняя асимптота представляет прямую, которая начинается с конца асимптоты, закачивающейся на последней сопрягающей частоте,и уходит в бесконочность.