Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 1. Linejnye sistemy (FML, 2003)(ru)(T)(K)(600dpi)(288s)_MOc_ (Ким - теория автоматического управления), страница 7

Передаточные и временные функции Это уравнение следует рассматривать как еще одну символическую форму записи уравнения (2.13). Формально его можно получить из уравнений (2.14), разделив обе части на собственный оператор. Передаточная функция в операторной форме является оператором. Ее нельзя рассматривать как обычную дробь. В частности, нельзя числитель и знаменатель сокращать на общий множитель, содержащий оператор дифференцирования. Пример 2.3.

Определить передаточную функцию звеньев, описываемых уравнениями: а) 0,1 у+ у = 2и; б) 0,1 у+ 1,1у+ у = 2(и+ и). Р е ш е н и е. В символической форме эти уравнения записываются в виде: а) (0.,1р+ 1)у = 2и; б) (0,1рз+ 1,1р+ 1)д = 2(р+1)и. Их передаточные функции равны соответственно 2 2(р -(- Ц 0,1р-Ь1' ' " 0,1р'-Ь1,1р-Ь1' Передаточной функцией системы (звена) в изображениях Палласа называют имеющее наименьший порядок отношение изображений ее выходной и входной переменных при нулевых начальных условиях.

Согласно определению передаточная функция в изображениях Лапласа не может иметь равные между собой нули и полюсы, так как в этом случае ее порядок можно было бы понизить, сократив числитель и знаменатель на общий делитель. Если система (звено) имеет несколько входов, то при определении передаточной функции относительно какой-либо одной входной переменной остальные входные переменные полагают равными нулю. Найдем передаточные функции (в изображениях Лапласа) для системы, которая описывается уравнением (2.13).

Применим к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа. Тогда, используя свойство линейности преобразования Лапласа, получим (и( (и — 11 (т( (т — Ц ооЦд)+а1Ц у )+...+аиЬ(д)=ЬоТ(и)+Ь1Ц и )+.. 00 (1.-0 .,+Ь„,,Т(и)+соТ( )+с11( )+...+:1(и). Последнее уравнение, учитывая свойство 2о преобразования Лапласа (дифференцирование оригинала при нулевых начальных условиях), можно записать в виде (аоеи + аз во ' +... ч- аи) У(в) = (Ьов" + Ь, вт ' +...

+ Ь )Б(в) + + (сое'+ сзе' '+... + с1)И(в), (2.18) где 1 (. ) = 1,(д(1)), Ь((в) т Т( (1)) ~'(е) = Ч' (')) з д.п. к 34 Гл. е, Математическое описание систем управления Отсюда, положив И(в) = О, находим передаточную функцию относительно входа и(1): ь , -ь ь ' -ь ... + ь и (в) бс(в) аов" е- асв" ' -ь ... -'о а.„ Аналогично, положив сГ(в) = О, находим передаточную функцию относительно входа и(1): У(в) сов~ + ос в~ ' +... + со 1с(в) аов" + а!в" с +... +а„ Как легко заметить, уравнение в изображениях Лапласа (2.18) получается из дифференциального уравнения (2.14а), т.е. дифференциального уравнения, записанного в символической форме, при подстановке Р = в и замене переменных их изображениями. Поэтому передаточная функция И'(в) произвольной стационарной линейной системы связана с ее передаточной функцией (в операторной форме) И (р) соотношением И'(в) = И'(р)~ (2.19) В тех случаях, когда И'(Р) имеет равные между собой нули и полюсы, предполагается, что в правой части (2.19) после подстановки Р = в производится сокращение, и передаточная функции И'(в) не имеет равных между собой нулей и полюсов.

Обратное соотношение И'(Р) = И'(в)~ (2.20) справедливо, если передаточная функция Ис(Р) не имеет одинаковых нулей и полюсов. Пример 2.4. Определить передаточные функции звеньев, описываемых уравнениями: а) у+ у = и; б) р' — у = и — и. Ре ш е н и е . В символической форме эти уравнения записываются в виде: а) (р+ 1)у = и; б) (рг — 1)у = (р — 1)и. Их передаточные функции в операторной форме соответственно равны 1 р — 1 И'о(Р) = —, Исг(Р) = р-Ь1' ,г Передаточные функции в изображениях Лапласа имеют виц И з(в) = И'1(Р)~ = , И'г(,з) = Исг(Р)~ Как видим, они совпадают, хотя рассматриваемые звенья описываются разными дифференциальными уравнениями и общие решения однородных уравнений, описывающие свободные движении систем, различаются между собой: у = Се ', р = Сзе '+ Сге'.

хил. Передаточные и временные функции 35 При ~ — е со первое решение при произвольных начальных условиях стремится к нулин в то время как второе решение при Сз ~ 0 стремится к бесконечности. Таким образом, передаточная функция второго звена в изобразкенаях Лапласа нс мозкгт служить его описанием прв, произвольных начальных условиях. Это связано с тем, что его передаточная функция в операторной форме имеет равные между собой нули и полюсы. 2.4.2. Временные функции.

Помимо дифференциальных уравнений и передаточных функций при описании и исслодовании линейных систем используют переходные и импульсные переходные функции и их графики — временные характеристики. Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, который можно сформулировать следующим образом; реакция системы на несколько одновременно действуюиуих воздействий равна сумме реакций на каькдое воздействие в отдельности.

Принцип суперпозиции позволяет сводить исследование систем при нескольких одновременно действующих входных воздействиях к исследованию системы с одним входным воздействием. Например, пусть требуется найти реакцию системы при двух одновременно действующих входных воздействиях: и = и(~) и о = иф. При этом эти воздействия могут быть приложены в одной точке или в разных точках системы. Находим сначала реакцию системы у ф при действии одного входа и = иф (и = О), затем реакцию системы у„.ф при действии другого входа и = о(й) (и = О). Реакция системы при одновременном действии обоих воздействий (и = иф и и = иф) равна сумме найденных реакций; у = у„ф + уь(1).

Принцип суперпозиции позволяет во многих случаях ограничиться изучением систем только с одним входом. Переходной функцией системы (звена) называют функцию, описывающую реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Переходную функцию будем обозначать ець). График переходной функции кривую зависимости Л(1) от времени 1 называют переходной или разгонной хезракчперистикой.

Импульсной переходной или весовой функцией (функцией веса) называют функцию, описывающую реакцию системы (звена) на единичное импульсное воздействие при нулевых начальных условиях. Физически единичный импульс можно представить как очень узкий импульс., ограничивающий единичную площадь. Математически он описывается дельта-функцией бф. Весову|о функцию будем обозначать ю(~). График импульсной переходной функции --- кривую зависимости функций ю(1) от времени г — — называют импульсной переходной характеристикой.

Переходную и импульсную переходную функции называют временными функциями, а их графики .. временными характеристиками. зб Гл. 2. Математическое описание систем управления 2.4.3. Связь между передаточной функцией и временными функциями. Между передаточной функцией в изображениях Лапласа, переходной функцией и весовой функцией существует взаимно- и = б(1) у = ю(1) И~(р) и =Цс) у=6(И И'(р) а б Рис. 2.3. Определение временных функций: а весовой функции; б - пере- ходной функции (2.22) однозначное соответствие.

Лля установления этого соответствия рассмотрим звено (рис. 2.3), которое описывается уравнением ~п) (л — И (т) (т — И аоу +а1 у +...+а„у=Ьо и +Ь1 и +...+Ьти. В изображениях Лапласа это уравнение принимает вид У(в) = Ит(в)У(в), (2.21) где У(в) = Ь(у(1)), У(в) = Ь(и(1)), Ь,'"+Ь, '+...->Ь, асят з'- а|в" — ' +... в- а„ Из определения весовой функции следует, что у = ш(1) при и = = б(1) (см. рис, 2.3, а). И так как при этом У(в) = Цю(1)) и У(в) = = А(Ь(1)) = 1, то из уравнения (2.21) получаем Ит(в) = ь(ю(1)) = '( ю(1)е "~ й, о т.е. передаточная функция в изображениях Лапласа равна изобра- жению Лапласа весовой функции. Из определения переходной функции следует, что у = 6(г) при и = 1(1) (см. рис, 2.3, б). И так как при этом У(в) = Г(1(1)) = 1/в и 1'(в) = 6(6(1)), то из уравнения (2.21) получаем л (6(г)) = И' (в) —, И'(в) = в6(6(1)).

Если в последнем уравнении произвести обратное преобразование Лапласа, то в силу (2.22) в левой части получим ю(1), а в правой части в силу свойства преобразования Лапласа, связанного с дифференци- рованием оригинала, - производную от 6(1): ю(1) = —. 46(1) (2.23) При произвольном входном воздействии из уравнения (2.21) на ос- новании свойства преобразования Лапласа (теорема свертки) получаем у(1) = '( ю(1 — т)и(т) Йт. (2.24) в 37 2.б.

Частотные функции и характеристики Если известна одна из функций Ил(в), ю(л) и 1л(л), то две другие могут быть определены с помощью формул (2.22), (2.23). Пример 2.5. Определить переходную и весовую функции звена с 2 передаточной функцией И'1р) = 0,5р -е 1 Р е ш е н и е. В соответствии с определением передаточной функции дифференциальное уравнение рассматриваемой системы имеет вид (0,5р+ 1)у = 2и или 0,5 у+ у = 2и. По определению переходная функция есть решение этого уравнения при и = ЦЬ), т.