Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU), страница 7

101. Струна ) с жестко закрепленными концами возбуждается ударом острого молоточка, передающего сй импульс 1 в точке хе. Найти колебания струны, если начальное отклонение равно нулю. Вычислить энергию отдельных гармоник. 102. Струна с жестко закрепленными концами возбуждается ударом жесткого выпуклого молоточка ), сообщаюгцего ей начальное распределение скоростей О, 0<х<ха — д, ие = (х, О) = ео соз 1 — .

), хо — й < х < хо + д, 12 6 О, хе+0<У<К Найти колебания струны, если начальное отклонение равно нулю. Вычислить энергию отдельных гармоник. 103. Найти продольные колебания стержня, один конец которого (х = 0) закреплен жестко, а другой (х = 1) свободен, при начальных и(х,О)=Й~., и~(х.,О)=0 при О< <й В В этом и следующих двух пунктах среды предполагаются однородными. з) См.

)7, с. 140-143). Н То же. 4) По поводу возбуждения струны мягким выпуклым молоточком см. задачу 152. Гл, йб Ураоиеиин гиперболического типа 104. Стержень с жестко закрепленным концом х = 0 находится в состоянии равновесия под действием продольной силы Ро = сопз1, приложенной к концу х = й В момент 1 = 0 действие силы Ро мгновенно прекращается. Найти колебания стержня, если начальные скорости равны нулю. 105. Найти продольные колебания упругого стержня со свободными концами, если начальные скорости и начальные смещения в продольном направлении произвольны.

Учесть возможность равномерного прямолинейного движения стержня. 106. Найти колебания упругого стержня со свободными концами, получившего в начальный момент времени продольный импульс 1 в один из концов. 107. Решить предыдущую задачу для случая, когда конец, которому не сообщается импульс, закреплен жестко. 108. Один конец стержня закреплен упруго, а другой свободен. Найти продольные колебания стержня при произвольных начальных условиях. 109. Один конец стержня (х = 1) закреплен упруго, а к другому (х = 0) приложена продольная сила Ео = сопзе, под действием которой стержень находится в состоянии равновесия.

Найти колебания стержня после того,как в начальный момент времени сила Ра мгновенно исчезает, если начальные скорости равны нулю. 110. Один конец стержня (х = 1) закреплен упруго, а другой (х = 0) получает в начальный момент времени продольный ударный импульс 1. Найти продольные колебания стержня, если начальное отклонение стержня равно нулю. 111.

Найти продольные колебания стержня с упруго закрепленными концами при одинаковых коэффициентах жесткости заделки концов, если начальные условия произвольны. 112. Решить предыдущую задачу, если коэффициенты жесткости заделки концов стержня различны. 113. Найти колебания уровня жидкости в кольцевом канале, ширина и глубина которого невелика по сравнению с его радиусом, если начальное отклонение уровня от равновесного состояния и начальная скорость изменения этого уровня заданы. 114.

Доказать аддитивность энергии отдельных гармоник для процесса свободных колебаний струны в среде без сопротивления при однородных граничных условиях первого, второго и третьего рода. 115. Найти поперечные колебания стержня 0 < х < 1 при произвольных начальных условиях, если концы стержня: а) закреплены шарнирно («свободно оперты»); б) закреплены жестко, в) свободны.

116. Решить предыдущую задачу, предполагая, что колебания вызваны поперечным ударом в точке х = хо, передавшим стержню импульс 1. 32 Услоеая задач 2. Свободные колебания в среде с сопротивлением. В задачах 97, 101, 103, 105, 108, 111 колебания струн и стержней рассматривались в среде без сопротивления. Предположим теперь, что в этих задачах среда оказывает сопротивление, пропорциональное скорости, тогда получим задачи 117, 118, 119, 120, 121 и 122 соответственно. Решить задачи 117 — 122, не вычисляя энергии отдельных гармоник. 123.

Изолированный однородный электрический провод 0 < х < 1 заряжен до некоторого потенциала по = согзе1. В начальный момент времени конец х = 0 заземлястся, а конец х = з продолжает оставаться изолированным. Найти распределение напряжения в проводе., если самоиндукция, сопротивление и емкость единицы длины провода известны ). 124. Найти электрические колебания в однородном проводе 0 < < х < з, если конец х = 0 заземлен, конец х = 1 изолирован, начальный ток равен нулю, а начальный потенциал равен О, 0 <х< а, е(х,О)= С(Ь вЂ” а), а<х<Ь, О, 6 <х< В Л С Ограничиваясь случаем, когда > — — —, найти выраже1зУС5 Л С ' ние для напряжения.

125. Найти напряжение в проводе с начальным током и начальным напряжением, равными нулю, если в начальный момент в точке х = хо этого провода помещается сосредоточенный заряд ф. Остальные условия такие же, как в предыдущей задаче. 3. Вынужденные колебании под действием распределенных и сосредоточенных сил в среде без сопротивления и в среде с сопротивлением. В этом пункте сначала рассматривая>тся задачи с постоянными вынуждающими силами, затем задачи с гармонически меняющимися во времени вынуждающими силами и, наконец, задачи с вынуждающими силами, изменяющимися во времени по произвольному закону. 126.

Решить задачу 97 при условии,что колебания происходят в поле силы тяжести в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, а концы страны закреплены на одинаковой высоте. 127. Упругий стержень 0 < т < з расположен вертикально и верхним концом (х = 0) жестко прикреплен к свободно падающему лифту, который, достигнув скорости ее, мгновенно останавливается. Найти продольные колебания стержня, если его нижний конец (х = 1) свободен. 128. Найти продольные колебания стержня 0 < х < ), если один его конец закреплен жестко, а к другому с момента 1 = 0 приложена сила го = сопэС.

') Утечка С = О согласно предположению об изолированности провала. Гв. 11. Уравнения гипероолииееного тпипа 129. В конце х = 1 трубопровода 0 < х < 1 расход жидкости изменяется в момент времени 1 = О скачком на величину А = сопят; конец х = 0 соединен с большим резервуаром, где давление жидкости остается неизменным. Считая, что до изменения расхода в конце х = 1 давление и расход в трубопроводе были постоянными, найти изменение расхода в трубопроводе при 1 > О и изменение давления в сечении х = 1 при 1 > О. 130.

Найти напряжение в однородном электрическом проводе, сопротивление, самоиндукция, утечка и емкость единицы длины которого соответственно равны Л, Ь, С и С, если начальные ток и напряжение равны нулю, конец х = 1 изолирован, а к концу х = О, начиная с момента 1 = О, приложена постоянная э.д.с. Е. 131. Решить предыдущую задачу, предполагая, что конец провода х =! заземлен. 132. В точке хо струны О < х < 1 с момента 1 = 0 приложена постоянная поперечная сила Ес. Найти колебания струны, если ее концы закреплены жестко.

133. К струне О < х < / с жестко закрепленными концами с момента времени 1 = О приложена непрерывно распределенная сила с линейной плотностью Ф(х, 1) = Ф(х) сйпый Найти колебания струны в среде без сопротивления; исследовать возможность резонанса и найти решение в случае резонанса.

134. Решить предыдущую задачу при условии, что линейная плотность силы равна Ф(х, 1) = Февшат1, О < х <1, О < 1 < +ос, где Фв = сопя1. 135. Найти продольные колебания стержня О < х < т, конец х = О которого закреплен жестко, а конец х = 1, начиная с момента 1 = О, движется по закону и(К1) = Азшат1, 0 < 1 < +ос. Среда не оказывает сопротивления колебаниям. 136. Найти продольные колебания стержня О < х < 1 в среде без сопротивления, если конец х = 0 стержня закреплен жестко, а к концу х = 1, начиная с момента 1 = О, приложена сила Е(1) = А эш ат1, О < 1 < +ос. 137.

Решить задачу 35, предполагая, что в начальный момент времени 1 = О стержень находился в горизонтальном положении и что О = О, ат = сопят. Рассмотреть случай без резонанса. 138. Найти колебания струны 0 < х < 1 с жестко закрепленными концами, если в точке х = хо этой струны с момента 1 = 0 приложена поперечная сила ЕЯ = Аэшат1, О <1<+ос. Ограничиться случаем, когда частота вынуждающей силы не совпадает ни с одной из собственных частот.

3 Б.М. Булак и лр. 34 Условия задач 139. Решить предыдущую задачу, если Е(1) = А сов оЛ, 0 < 1 < +со. 140. Решить задачу 138, если г (г) есть произвольная периоди- ческая сила с периодом ы,т.е. л-ск г(г) = — + ~~ Оз„совпеав+Давшпы1), 0 <1<+со. 2 а=в 141. К струне 0 < я < 1 с жестко закрепленными концами с мо- мента времени 1 = 0 приложена непрерывно распределенная сила с линейной плотностью Ф(я, 1) = Фа(т) вшеЛ. Найти колебания стру- ны при нулевых начальных условиях, предполагая, что среда оказы- вает сопротивление, пропорциональное скорости. Найти установив- шиеся колебания, представляюшие собой главную часть решения при 1 — э +со.

(Ср. с задачей 133.) Замечание. Установившиеся колебания имеют частоту вы- нуждающей силы; колебания с другими частотами затухают. 142. Решить задачу 136, предполагая, что колебания происходят в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости. Найти уста- новившиеся колебания, представляющие собой главную часть реше- ния при 1 -э +со.

143. Решить задачу 130, предполагая, что к концу я = 1 провода приложена с момента 1 = 0 э.д.с. Е(1) = Ев вшее1, 0 < 1 < +со, Ев = = сопв1, а конец я = 0 изолирован. Найти установившиеся колебания, представляющие главную часть решения при 1 — г -~-сю. 144. Решить задачу 131, предполагая, что к концу х =1 про- вода приложена с момента 1 = 0 э.д.с. Е(1) = Еа вш ыв, 0 < 1 < +ос, Еа = сопв1, а конец я = 0 заземлен. Найти установившиеся колеба- ния -- главную часть решения при 1 — > +со. 145. Найти установившиеся колебания давления на конце я = 1 трубопровода 0 < я < 1, если на этом конце находится смягчающий колпак, а расход поступаюшей извне жидкости меняется гармоничес- ки во времени, на другом же конце трубопровода давление остается постоянным.