Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU), страница 8

146. Найти колебания струны 0 < т < 1 с жестко закрепленны- ми концами под действием силы, приложенной с момента1 = 0 и имею- щей плотность г (я, Х) = Ф(я)1, О < я < 1, О < 1 < +ос, предполагая, что среда не оказывает сопротивления колебаниям. 147. Найти продольные колебания стержня 0 < т < 1, левый ко- нец которого закреплен жестко, а к правому с момента 1 = 0 прило- жена сила Е(1)=А1, 0<1<+со, А=сопвВ, предполагая, что среда не оказывает сопротивления колебаниям. 148. Найти колебания струны 0 < я < 1 с жестко закрепленными концами под действием распределенной силы, приложенной с момен- 35 1"л. 11. Уравнения гиперболического типа та 1 = 0 и имеющей плотность б1,„1) =ФМ1, ', О«.

1, О<1<+со, > — 1, предполагая,что среда не оказывает сопротивления колебаниям. 149. Найти продольные колебания стержня О < х < 1 в среде без сопротивления под действием силы Р(1)=А1, 0<1<+ос, А=сопя~, т> — 1, приложенной с момента 1 = 0 к концу х = 1, если конец х = 0 фиксирован жестко.

150. Решить задачу 133 методом, указанным для задачи 148. 151. Решить задачу 141 методом, указанным для задачи 148. 152. Найти колебания струны ) 0 ( х ( 1 с жестко закрепленными концами, вызванные ударом мягкого выпуклого молоточка, предполагая, что среда не оказывает сопротивления колебаниям. Молоточек действует на струну с силой,линейная плотность которой равна Асов ( — ') гйп —, (х — ха! < б, 0 < 1 ( т, т й(х:1) = О, ~х — ха~ <б, 1>т, О, 0(х(ха — б, хо+б(х(1, 0<1<со.

153. Найти колебания струны 0 < х < 1 с жестко закрепленными концами в среде без сопротивления, вызванные поперечным ударом в точке ха, 0 < ха < 1, в момент 1 = О, передавшим струне импульс 1, учитывая этот удар свободным членом уравнения з). 154. Решить задачу 146, предполагая, что среда оказывает сопротивление,пропорциональное скорости. 155. Решить задачу 153, предполагая, что среда оказывает сопротивление,пропорциональное скорости. 156. Найти поперечные колебания стержня с шарнирно закрепленными (освободив опертыми») концами под действием постоянной поперечной силы Р, точка приложения которой движется по стержню, начиная с момента 1 = 0 от конца х = 0 к концу х = 1 с постоянной скоростью иа,предполагая,что колебания происходят в среде без сопротивления. 157.

Решить предыдущую задачу, если Р = Ра зш ог1, Ро = сопз1. 158. Найти поперечные колебания стержня под действием поперечной сосредоточенной силы Р = Ра зшаЛ, приложенной с момента 1 = 0 в точке хо стержня, если концы стержня закреплены шарнирно («свободно оперты»), а среда не оказывает сопротивления колебаниям.

Н См. )7, с. 140-143). г) Ср. с решением задачи 101. Узла«ах задач 159. Решить предыдущую задачу, предполагая, что колебания происходят в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости. 160. Конец х = 0 стержня закреплен жестко, а к свободному концу т = 1 с момента 1 = 0 приложена постоянная поперечная сила Е = = Ео = сопза Найти поперечные колебания стержня, вызванные силой Ео. 161. Решить предыдущую задачу в случае, когда действие силы Е = Ео продолжается лишь до момента 1 = Т > О.

162. Решить задачу 160 в случае, когда Е = Ео зш осй 163. Конец х = 1 стержня закреплен жестко, а конец х = 0 шарнирно («свободно оперт»). Найти поперечные колебания стержней, вызываемые равномерно распределенной поперечной силой с линейной плотностью ДсйпаЛ, приложенной к стержню с момента 1 = О. равны р, 0<х<хо, (Е, 0<х<хо; р(х) = Е(х) = ~ Р; хо <х<1: Е, хо<х<1, где р, р., Е, Е -- константы; б) начальные продольные смешения равны 1с хо 1с(1 — х) 1 — хо и(х, 0) = ср(х) = 0 < х < хо, хо<х<1' в) начальные скорости равны нулю: ис(х, О) = ср1х) = О., О < х < Н г) концы стержня закреплены жестко: сл(0, Х) = сл(г, Ц) = О, О < 1 < +со.

165. Найти установившиеся продольные колебания составного стержня, описанного в предыдущей задаче, если его конец х = 0 закреплен жестко, а к концу х = 1 с момента 1 = 0 приложена сила ЕЯ = Ео з1пос1, 0 < 1 < +со. 166. Найти продольные колебания стержня, описанного в задаче 164, если один его конец (х = 0) закреплен жестко, другой конец (х = 0) упруго, а начальныс условия произвольны. 4.

Колебания при неоднородности сред и других условиях, приводящих к уравнениям с переменными коэффициентами; учет сосредоточенных сил и масс. 164. Найти продольные колебания неоднородного стержня 0 < < х < 1 с постоянным поперечным сечением, полученного соединением в сечении х = хо двух однородных стержней, если: а) плотность массы и коэффициент упругости соответственно Гв. 60 Уравнения гиперболического типа 16Т. Найти колебания однородной струны 0 < х < 1 с неподвижно закрепленными концами и сосредоточенной массой М, прикрепленной в точке х = хо струны, вызываемые начальными отклонениями и(т, 0) = р(х) = Ь— хо и 1 — х 1 —:со при 0 <х< хо, при хо <х<1. 3 4. Метод интегральных представлений В настоящем параграфе рассматриваются задачи о колебаниях неограниченной, полуограниченной и конечной струны, а также аналогичные задачи из других областей физики, причем для их решения применяются нижеследующие методы: метод интеграла Фурье, переход к конечному интервалу методом отражений, метод Римана.

1. Метод интеграла Фурье. 174. Решить краевую задачу вх„= а'иа. +У(х, 1). -(~ (х (+00, О (1(+00, (1) и(х, 0) = О, ив(х, 0) = О, -оо < х < +со. (2) 175. Решить краевую задачу ) ип — — аги,„+ сяи, — оо < х < +со, 0 < 1 < +со, и(х, 0) = ~р(х), ив(х, 0) = ф(х), .-оо < х < +оо. ) Напомним, что к такому виду приводится телеграфное уравнение с помопвью замены искомой функции о(х, 1) = е " и(х, .Г). 168. Поперечное сечение составного стержня, описанного в задаче 164, на участке 0 < х < хо равно Я, а на участке хо < х < 1 равно Я, в сечении хо находится жесткая прокладка массы М; конец х = 0 закреплен неподвижно, а конец х = 1 свободен.

Найти крутильные колебания стержня при произвольных начальных условиях. 169. Один консц упругого однородного вала жестко закреплен, а на другой насажен шкив с осевым моментом инерции М, Найти крутильные колебания вала при произвольных начальных условиях, если модуль сдвига равен С, полярный момент инерции поперечного сечении вала равен К, а осевой момент инерции единицы длины вала равен,1. 170. Найти установившиеся продольные колебания конического упругого стержня 0 ( х < 1, вызываемые гармонической продольной силой Е = Ро зшво1, приложенной к концу х = 1, .если конец х = 0 закреплен неподвижно (см. задачи 21 и 89). 1Т1.

Решить задачу 23, предполагая, что колебания струны вызваны начальными отклонениями, а начальные скорости равны нулю. 172. Решить задачу 24 при произвольных начальных условиях. 173. Решить задачу 25 при произвольных начальных условиях, поместив начало координат в закрепленный конец струны. Условия задач 38 177. Решить краевую задачу исс=а и„, 0<х, 1<+со, и(0,~)=0, 0<с<+со., и(х, 0) = )'с,х), ис(х, 0) = с)сс,х), 0 < х < +со. 178.

Решить красную задачу исс = а асс, 0 < х, ~ < +со, 2, и,(0,1)=0, 0<1<-~-сс, исх, 0) = р(х), ис(х, 0) = ~~(х)., 0 < х < +со. 179. Решить краевую задачу 2 исс=а и,, 0 сс(0, с) = д(1), и(х, 0) = ис(х, 0) = <х, 1<+со, О <1<+со, О, 0<х <+со. 180.

Решить краевую задачу я исс=аи„, 0 и,(0, с) = ссф, и(х, 0) = иск, 0) = <х, 1<+со, 0<1<+ос, О, 0<х <+со. 181. Решить краевые задачи для уравнения исс = а и„+ ~(х, 1) при нулевых начальных условиях и граничных условиях: а) и(0, 1) = 0; б) и,(0, ~) = О. 182.

Решить краевую задачу и,с=и„-~-с и, 0<х, 1 <-~-со, и (О, 1) = сс(1), 0 < Й < +ос, и(х, 0) = ис(х, 0) = О, 0 < х < +со. 183. Решить краевую задачу ии —— и,,+сзи, 0<х,~<+со, и(О, й) = д(й), 0 < й < +со, и(х, 0) = О, ссс(х, .0) = О, 0 < х < +со. 184. Решить краевую задачу исс = и„+ с и, 0 < х, ~ < +со, и (О, с) — сси(0, 1) = зс(с), 0 < с < +со, и(х, О) =О, ис(х, 0) =О, 0 <х<-ьсс. 176. Решить краевую задачу исс = а ивз + с и -~- у(х, с), — со < х < +со, О < 1 < -ьсо, исх, О) = ис(х, О) = О, — ос < х < +со.

39 Рл. 29 Ураоигпин гиперболического типа 185. Доказать' ), что / 1(Л)д(Л)е ыгг1Л = / д(я)1(х — я) дя, где 7(Л) и д(Л) --. образы Фурье функций Дх) и д(х) с ядром еже. 186. Доказать, что / 7" (Л) 9 (Л) соя ЛхпЛ = — Г д(я) ~Ях — я~) + Д(х+ я)) гзя, о о где У~о~(Л) и д~б(Л) косинус-образы Фурье функций Д(х) и д(х). 187. Доказать, что / 7~0(Л) д1'1(Л) яш Лхг1Л = — / Дя) [д((х — я!) — д(х+ я)~гЬ, о о где (00(Л) и дбд(Л) соответственно синус-образ-) Фурье и коси- нус-образ Фурье функций 1(х) и д(х).

188. Решить краевую задачу им+а и„хо=О, .— ос<х<+оо, .0<1<+ос, и(х, О) = уо(х), иг(х, О) = а4о(х), — оо < х < +со. Рассмотреть также частный случай, когда 2 9о(х) = Ае «Р, ф(х) я— я О, — оо < х < +со. 189. Решить краевую задачу им+а ихнах=О, 0<х,1<+ос, 2 и(0,1) =д(1), ин (0,1) =О, 0<1<+ос, и(х, 0) = ис(х, 0) = О, 0 < х < +со. 190.