Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU), страница 5

Рассмотреть задачу 45 для случая, когда полуограниченные провода соединяются не через сосредоточенную емкость, а через сосредоточенное сопротивление Ла. 47. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе, один конец которого заземлен через параллельно включенные сосредоточенное сопротивление Йа и сосредоточенную самоиндукцию Ь ~, а другой -" через параллельно включенные сосредоточенную емкость Са и сосредоточенную самоиндукцию Ь~~~. 48. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе, концы которого замкнуты через: а) сосредоточенную самоиндукцию Ье,.

б) сосредоточенное сопротивление Ла,. в) сосредоточенную емкость Са. 5. Подобие краевых задач. Пусть даны две краевые задачи (1) и (П), соответствующие физическим явлениям одинаковой или различной природы. Обозначим через х', г', ч'(х,', Р) пространственную координату, время и искомую функцию в одной задаче, а через х, иа(хе, 1а) -- соответствующие величины в другой задаче. Если уравнение, начальные и граничные условия одной и другой задач имеют соответственно одинаковуке форму, то задачи называются аналаекчныдн. Обозначим через Р1 область изменения (х',1') в задаче (1), а через Рц область изменения (х", ге) в задаче (П).

Если существуют такие константы й„Ц, й„, «коэффициенты подобия», что и'(х~. Р) = И.пи~(х", 1а) при х~ = И,х", Г~ = йД", (1) причем (х', е') пробегает Рь когда (ха, еа) пробегает Рц, то задача (1) называется подобной задаче (П) с коэффициентами подобия кн~ йы йи ). Нетрудно показать, что если задача (1) подобна задаче (П), то 1 1 1 а е а можно так выбрать единицы измерения хе, 1е, иа,.

ха, бе, иа в зада- 1) Преобразование (Ц является аффинным. 1Таким образом, решение задачи (1) получается из решения задачи (П) с помощью аффинного преобразования.) Можно рассматривать более широкий класс аффинных отображений, включающий, крома растяжений и сжатий, еще и паршшельные переносы, т.е. изменения начал отсчетов величин х, е, и. 21 Гв.

29 Уравнения еиперболичеепоео типа чвх (1) и (11), что переход к безразмерным величинам я р и' х о а хо Ео по приводит к полному совпадению обеих краевых задач, а именно: область, пробегаемая (с, т), в обеих задачах становится одинаковой, коэффициенты в уравнениях и граничных условиях становятся безразмерными и численно равными ), свободные члены и начальные значения становятся тождественно равными. Очевидно, справедливо и обратное утверждение: если существует преобразование единиц измерения, переводящее задачи (1) и (11) в тождественно совпадающие безразмерные задачи, то задачи (1) и (!1) подобны.

49. Сформулировать задачу об электрических колебаниях в проводе, аналогичную задаче о продольных колебаниях однородного упругого стержня, один конец которого закреплен жестко, а другой свободен. Установить необходимые и достаточные условия для того, чтобы первая задача была подобна второй с заданными коэффициентами подобия. 50. Сформулировать задачу об электрических колебаниях в проводе, аналогичную задаче о продольных колебаниях однородного упругого стержня, в следующих случаях; а) один конец стержня закреплен жестко, а другой упруго; б) один конец стержня свободен, а другой испытывает сопротивление, пропорциональное скорости; в) один конец стержня закреплен упруго, а другой конец движется по заданному закону.

Установить необходимые и достаточные условия для того, чтобы первая задача была подобна второй. 51. Сформулировать задачу о крутильных колебаниях цилиндра,подобную задаче 41 об электрических колебаниях в проводе, взяв за функцию, характеризующую электрические колебания, сначала напряжение, а затем силу тока.

Установить необходимые и достаточные условия для того, чтобы первая задача была подобна второй. 2 2. Метод распространяющихся волн (метод Даламбера) Общее решение и = и(л., 1) уравнения колебаний струны г им=а и*е может быть представлено в виде ) 'и(к, 1) = Фг(а — а1) + Рг(и+ аб), (2) ') Эти безразмерные коэффициенты называются критериями подобия. г) Иногда удобнее пользоваться другими эквивалентными формами представления решения в виде распространяющихся волн, например, и(я, г) = ~р1(аг — х) + Зог(аг+ х) Условия задач 22 где рг(х) и уз(г) — произвольные функции, причем у1(х — а1) есть прямая волна, распространяющаяся вправо по оси х со скоростью а, в то время как ~рз(х + а1) есть обратная волна, распространяющаяся с той же скоростью влево по оси х ). Решить краевую задачу для уравнения 1) методом распространяющихся волн это значит определить функции р,(х) и уз(х) из начальных и граничных условий.

В первом пункте этого параграфа собраны задачи для неограниченной прямой — ос < х < +со,во втором для полупрямой с однородными и неоднородными граничными условиями, в третьем для бесконечной прямой, составленной из двух полупрямых, отличающихся физическими характеристиками, в четвертом задачи для конечного отрезка с однородными и неоднородными граничными условиями. 1. Задачи для бесконечной струны. 52. Неограниченная струна возбуждена локальным начальным отклонением, изображенным на рис. 6.

Построить (начертить) положение струны для моментов времени ) Йс 1ь = —, 4а' где й = О, 1, 2, 3, 5. 53. Неограниченная струна возбуждена локальным начальным отклонением, имеющим форму квадратичной параболы (рис. 7). МЫ вЂ” с 0 Рис. 6 Рис. 7 Найти: а) формулы, представляющие профиль струны при 1 > О, и б) формулы, представляющие закон движения точек страны с различными абсциссами при 1 > О. 54. В момент 1 = 0 неограниченная струна возмущена начальным отклонением, имеющим форму, изображенную на рис.

8. В какой точке х и в какой момент времени 1 > О отклонение струны будет максимальным? Какова величина этого отклонения? 1) См. [7, с. 50-58 и 60. 70). Использование представления решения в ви- де (2) для стационарных задач, где 1 является геометрической координатой, будет дано в гл.

Ч. ) Здесь и в дальнейших задачах под а понимается параметр, входящий в уравнение (1) ии = а и,„. 1"л. 11. Уравнения гиперболического типа Рис. 8 55. Неограниченной струне сообщена на отрезке — с < х < с поперечная начальная скорость ио = сопев; вне этого отрезка начальная скорость равна нулю. Найти формулы, представляющие закон движения точек струны с различными абсциссами при 1 > О, и построить (начертить) положения струны для моментов времени йе 1в = —, 4а ' где В=О,2,4,6. 56. В начальный момент времени 1 = 0 неограниченная струна получает в точке х = хс поперечный удар, передающий струне импульс 1.

Найти отклонение и(х, 1) точек струны от положения равновесия при 1 > О, предполагая, что начальные отклонения точек струны и начальные скорости равны нулю. 57. По неограниченной струне бежит волна Ях — а1). Приняв эту волну за начальное возмущение струны в момент 1 = О, найти состояние струны при 1 > О. Сравнить с результатом, полученным при решении задачи 52. 58.

Решить задачу о распространении электрических колебаний в неограниченном проводе при условии, что С1 =СЛ, (1) где С, Л, С., Н утечка, самоиндукция, емкость и сопротивление единицы длины провода ). Напряжение и сила тока в проводе в начальный момент заданы. 2. Задачи для полупрямой. Если только один из концов струны ) находится столь далеко от рассматриваемого ее участка, что отражение от удаленного конца не сказывается на колебаниях этого участка, по крайней море в течение рассматриваемого промежутка времени, то мы приходим к задаче о колебаниях полуограниченной струны 0 < х < +"о, где х = 0 соответствует «близкому» концу ') Это условие обоспечивает возможность прохождения по проводу волн без искажения их формы. (Подробнее см. )7, с.

73-75) и предыдущие.) В дальнейшем, если для провода выполняется это условие, то мы будем называть его кратко: провод линии без искажений. ) Или стержня, или провода. Условия задач 24 струны. В этом случае краевая задача содержит уравнение, граничное условие и начальные условия ); исс — — аги„,, 0 < х <+со, 0 < й <+со, (1) сссисс(0, С) + ссгис(0, С) + ссзи,(0, 2) + ссси(0, 2) = Ф(2), (2) 0<2<+со, сс(х, 0) = уг(зс), ссс(х, 0) = с)сс,х),.

0 < х < +со, (3) причем по крайней мере одна из констант оы ссг, ссз, о и входящих в граничное условие, должна быть отлична от нуля с; если Фф = О, гц то граничное условие становится однородным. 59. Полуограниченная струна, закрепленная в конце, возбуждена начальным отклонением, изображенным на рис. 9. Начертить по- Рис. 9 ложсние струны для моментов времени с Зс 2с 7с а' 2а' а' 2а 60. Полуограниченному упругому стержню 0 < х < +сю со свободным концом и = 0 сообщена начальная осевая скорость, равная ие на отрезке [с, 2с) и нулю вне этого отрезка. Величину продольного смешения и(х, с) поперечных сечений стержня можно откладывать для наглядности в направлении, перпендикулярном к оси х, т.е.

поступать так же, как это делалось в случае струны. Пользуясь этим приемом изображения, начертить график и = и(х, с) для моментов времени ~=0; а а а 61. Полуограниченная струна 0 < х < +со с закрепленным концом х = 0 получает в момент 2 = 0 поперечный удар, передающий струне импульс 1 на участке 0 < х < 2с, причем профиль распределения скорости, получаемый при ударе, имеет в момент 2 = 0 форму полуволны синусоиды с основанием 0 < х < 20 Найти формулы, ) Возможно также задание двух граничных условий, если задано лишь одно начальное условие. СПодробнее см.

)7, с. 78).) г) Кслн граничное условие (2) принимает вид ис (О, С) + аи(0, С) = Фсг), причем известно значение ис0, О), то тем самым становится известным и(бс, С) и мы приходим к граничному условию и(0, С) = ФСС). Аналогичное утверждение справедливо для граничного условия вида исс(0, С) Ф аис(0, С) -'; Да(0, С) = ФСС). Услееин задач 68. Полуограниченный вертикальный круглый вал 0 < х < +ос при ~ < 0 вращается с угловой скоростью ш = сопви С момента ~ = 0 его торец х = 0 соприкасается с горизонтальной опорной плоскостью и испытывает действие закручивающего момента сил трения, про- порционального угловой скорости торца.