Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU), страница 9

Доказать, что для представимости решения краевой задачи им=а и„, 0<х <+ос, 0<1<+со, и Аь „=О., 0<1<+ос, х=О, ь=о и(х, 0) = р(х), иг(х, 0) = ф(х), 0 < х < +ос В Виде ог(х — аг) + уг(х+ аг) 1 2 2а 1 ') Это соотношение часто называют теоремой о свертке. ') См. З 4 ответов н указаний к настояшой глава, .вводную часть пункта 1. Условию задач достаточно продолжитыр(х) и ф(х) на отрицательную полуось х так, чтобы функции и Ф(х) = ,'~ Аь ~'ь и ь=о были нечетными ). ф( ) = ~ж А,."„~'(*) 191.

Доказать, что для представимости решения краевой задачи им=а и„,+у(х,с), 0<т,2<+со, М д и Аь „=О, 0<2<+со, х=О, ь=о и(х, 0) = О, ив(х, 0) = О, 0 < х < +ос в виде л о — > и(х, Ц) = — ~г)т ~ ((С,т) ИС о — и — > достаточно функцию у (х, 2) продолжить так на отрицательную полуось т,, чтобы функция д'Пх, 2) ь=о была нечетной по х ). 192.

Доказать, что для представимости рсшения краевой задачи ии — — а и,л + сдие О < х, 2 < +ос, Х Аь =О, 0<~<+ос, х=О, ь=о и(х, 0) = р(х), ил(х, 0) = ф(х), 0 < х < +ею, в виде (*-о' р(х — а~) -Ь р(х -';ав) М ) ~ ' аз ) 2 аз + — / 1о~с 1з — . )Ф(С)ИС 2 (х ч) 2а ,/ [ ав достаточно продолжить функции ~р(х) и ф(х) на отрицательную по- ) Здесь и ниже мы не затрагиваем вопроса непрерывности и дифференцируемости. ) То же. Рл.

П. Уралигпин гиперболического типа луось х так, чтобы функции гя Х Ф(х) = ~АС ~ и Ф(х) = ~ ~Аь я=о ь=о были нечетными. 193. Доказать, что для представимости решения краевой задачи ии = а и + с и+ ((х, С), 0 < х, С < +ос, ся ~~',Аь, =О, 0<С<+со, х=О, я=о и(х, О) = О, иг(х., О) = О, О < х < +ос в виде достаточно продолжить Дх, С) на отрицательную полуось х таким образом, чтобы функция Р(х, С) = ~ А, ~ ~('; ') была нечетной по х. 1*.

Переход к конечному интервалу методом отражений. 194. Решить краевую задачу ии — — ази, +сги, 0<х<С, 0<С<+со, и(0, С) = О, .и(С, С) = О., 0 < С. < +со, и(х, 0) = гр(х)., иг(х, 0) = ф(х), 0 < х < С. 195. Решить краевую задачу им=пи„+сги, 0<х<С, 0<С<+ос, и(0, С) =О, ил(С, С) = О, 0 < С <+ос, и(х, 0) = гг(х), иг(х, 0) = ф(х), .0 < х < й 196. Решить краевую задачу ии — — ази,+с и, 0<х<С, 0<С<+ос, ил(0, С) =О., и,(С, С) =О, 0<С<+ос, и(х, 0) = ~р(х), иг(х, 0) = г)г(х), 0 < х < С. 197. Решить краевую задачу ии = игг + сзи, 0 < х < С 0 < С < +ос. и(О, С) = Сгз(С), и(С, С) = рз(С), 0 < С < +со, и(х, 0) = О, иг(х, 0) = О, 0 < х < Е. Условия задач 2.

Метод Римана. 198. Найти функцию Римана для оператора Ци) =,, — а г, а=сопяФ, ди гдги дР дхг ' и решить с ее помощью краевую задачу , =а, 4-1(х,р), 0<1<+со, — со <х <+со, дог дг.г и(х, 0) = уг(х), ггг(х, 0) = рг(х), — оо < х < +ос. 199. Найти функцию Римана для оператора Ци) = — а —, х с и, а = сопзФ, да яд и г дР дхг и решить с ее помощью краевую задачу ди гди г , =а,хси+Дх,с), — оо<х<+сю, 0<1<+оо, дог д г и(х, 0) = ~р(х), иг1х, 0) = гР1х), † < х < +со.

200. Решить краевую задачу х г — у г =О,. — оо<х<+оо, 1<у<+со, гди гди дх' дуг гг~, = р(х), — = г)г1х), — оо < х < +со. ди р=г ' ду р вар 201. Решить краевую задачу дги ди 1 д и 11 — х) — — — = — —, — со < х < 1, 0 < 1 < +со, 1 > О, д" д а дг" и~, = ~р(х), — = уг(х), — сю < х <!. ди 202. Решить краевую задачу г ди ди д'и 1 (1 — х ) — — 2х — — — — — и=О, — 1<х<1, 0<у<+сю, дхг дх ду' 4 ,= р(*), — =Ф( ), -1«1 ди Р.=о ' ду р=о Глана Пг УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИх1ЕСКОГО ТИПА Уравнения параболического типа получаются при исследовании таких физических явлений, как теплопроводность, диффузия, распространение электромагнитных полей в проводящих средах, движение вязкой жидкости.

В настоящей главе рассматривается постановка и решение краевых задач для уравнений параболического типа в случае, когда изучаемые физические процессы могут быть охарактеризованы функциями двух независимых переменных: одной пространственной координаты и времени. В частности, всюду в настоящей главе начальные значения искомой функции будут предполагаться зависящими лишь от одной пространственной координаты.

Уравнениям параболического типа для функций с болыпим числом независимых переменных посвящена гл. У, которая является продолжением и развитием настоящей главы. З 1. Физические задачи, приводягцие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач В первой группе задач этого параграфа предполагается однородность сред, а во второй допускаются нарушения однородности срЕд и наличие сосредоточенных факторов. Третья группа посвящена установлению подобия между различными физическими явлениями, приводящими к уравнениям параболического типа. Поставить краевую задачу, соответствующую данной физической задаче, -- это значит выбрать функцию, характеризующую физический процесс, а затем: 1) вывести дифференциальное уравнение для этой функции; 2) установить для нее граничные условия; 3) сформулировать начальные условия.

Краткая сводка основных законов теплопроводности и диффузии, из которых выводятся дифференциальные уравнения и граничные условия, дается в гл. П1, ~ 1, ответы и указания. Уалаеин задач 1. Однородные среды; уравнения с постоянными коэффициентами. Всюду в задачах этого пункта среды предполагаются однородными и изотропными, а их свойства — не зависящими от искомой функции и времени. Стержни, провода, трубы и т.п.

здесь и всюду, где не оговорено противное, прелполагаются имеющими постоянное поперечное сечение. 1. Поставить краевую задачу об определении температуры стержня 0 < л < 1 с теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура является произвольной функцией ах рассмотреть случаи, когда: а) концы стержня поддерживаются при заданной температуре; б) на концы стержня подается извне заданный тепловой поток; в) на концах стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой задана. 2. На боковой поверхности стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой является заданной функцией времени. Пренебрегая деформацией изотермических поверхностей, поставить краевую задачу об определении температуры в стержне при начальных и граничных условиях предыдущей задачи.

3. Поставить краевук> задачу об остывании тонкого кольца, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона с окружающей средой, имеющую заданную температуру. Неравномерностью распределения температуры по толщине кольца пренебречь. 4. Поставить краевую задачу о нагревании полуограниченного стержня, если конец стержня горит, причем фронт горения распространяется с постоянной скоростью ва и имеет известнук>температуру Ф~) 5. Вывести уравнение для температуры тонкой проволоки, нагреваемой постоянным электрическим током, .если на ее поверхности происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона с окружающим воздухом, имеющим известную температуру. Поставить краевую задачу об определении температуры в этом проводе, если его концы зажаты в массивные клеммы с заданной теплоемкостью и очень большой теплопроводностью.

6. Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде, предполагая, что поверхностями равной концентрации в каждый момент времени ~ являются плоскости, перпендикулярные к оси х. Написать граничные условия, предполагая, что диффузия происходит в плоском слое 0 < х < >; рассмотреть случаи, когда: а) на граничных плоскостях концентрация диффундирук>щего вещества поддерживается равной нулю; б) граничные плоскости непроницаемы; в) граничные плоскости полунепроницаемы, причем диффузия че- 1гли 111. Уравнениа парабоаииеекоео типа 45 рез эти плоскости происходит по закону, подобному закону для конвективного теплообмена. 7.

Вывести уравнение диффузии в среде, движущейся с постоянной скоростью в направлении оси я, если поверхностями равной концентрации в каждый момент времени 1 являются плоскости,перпендикулярные к оси а. 8. Вывести уравнение диффузии взвешенных частид с учетом оседания, предполагая, что скорость частиц, вызываемая силой тяжести, постоянна, а концентрация частиц зависит только от одной геометрической координаты е (высоты) и времени 1. Написать граничное условие, соответствующее непроницаемой перегородке. 9. Вывести уравнение диффузии при условиях задачи 6 для вещества, частицы которого: а) распадаются (например, неустойчивый газ), причем скорость распада диффундируюгцего вещества в каждой точке пространства пропорциональна концентрации, б) размножаются (например, диффузия нейтронов), причем скорость размножения диффундирующего вещества в каждой точке пространства пропорциональна концентрации.