Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU), страница 6

Найти углы поворота д(х, г) поперечных сечений вала при ~ > О, считая, что а(х., 0) = О. 69. По полуограниченной струне 0 < х < +ос бежит волна и(х, ~) = г" (х+ а~) при ~ < О. Найти колебания струны при 0 < ~ < +со для случаев, когда конец струны: а) закреплен жестко; б) свободен; в) закреплен упруго; г) испытывает сопротивление трения, пропорциональное скорости.

70. По полуограниченной цилиндрической трубке 0 < х < +со, заполненной идеальным газом, бежит волна и(х, г) = ((х+ аг) при ~ < О, Д(0) = О. В конце трубки находится поршень с массой ЛХа, на- саженный на пружинку с коэффициентом жесткости Не и пренебре- жимо малой собственной массой. Поршень плотно закрывает трубку и при движении в трубке испытывает сопротивление, пропорциональ- ное скорости. Найти и(х, е) при 0 < ~ < +со. 71. Найти при ~ > 0 электрические колебания в полуограничен- ном проводе (линии без искажений), если при 1 < 0 по проводу бежала волна ле и(х,г) = е т Д(х+ аг), з(х, 1) = — е е ~( — ((х+ ае). й, Гс ~(б Рассмотреть случаи, когда конец провода заземлен: а) через сосредоточенное сопротивление Ае, б) через сосредоточенную емкость Са., в) через сосредоточенную самоиндукцию Ье.

Установить,при каких условиях в случае а) отраженная волна отсутствует («полное поглощение») и при каких условиях амплитуда отраженной волны в два раза меньше амплитуды падающей волны. 72. К концу х = 0 полуограниченного провода линии без искаже- ний была приложена постоянная э.д.с. Е в течение достаточно дли- тельного промежутка времени, так что в проводе установилось ста- ционарное распределение напряжения и силы тока.

Затем в момент времени г = 0 конец провода был заземлен через сосредоточенное со- противление Ве. Найти напряжение и ток в проводе при ~ > О. 73. Конец полуограниченной струны 0 < х < +со, начиная с момента ~ = О, движется по закону а(0, е) = д(е). Найти отклонение и(х, е) точек струны при 0 < 1 < +ос, если началь- ные скорости и отклонения равны нулю. Гл. 11.

Уравнения еииерболииееного псина 74. К концу полуограниченного стержня приложена продольная сила Е(1) с момента 1 = О. Найти продольные колебания стержня при 1 > О, если начальные скорости и начальные отклонения его точек равны нулю. 75. Полуограниченный горизонтальный трубопровод постоянного поперечного сечения заполнен при 1 < О покоящейся жидкостью.

Начиная с момента 1 = О, к его концу подключается нагнетатсльный насос с выравнивающим воздушным колпаком ). Найти давление и скорость жидкости в трубопроводе при 1 > О. 76. Найти продольные колебания полуограниченного стержня при нулевых начальных условиях, если в момент времени 1ь = ЙТ, Й = О, 1, 2, ...,и, ..., стержню сообщая>тся продольные импульсы 1а = 1 = сопев и к концу стержня прикреплена сосредоточенная масса М.

77. К концу полуограниченного провода О < х < +со линии без искажений приложена э.д.с. Е(1) = ЕовшоЛ; О <1 <+со. В момент 1 = О напряжение и ток в проводе были равны нулю. Найти напряжение и ток в проводе при 1 > О, выделяя установившийся процесс распространения колебаний с частотой о~, и определить время, начиная с которого в точке я провода, О < т < +со, амплитуда переходных колебаний будет составлять не более чем 10% амплитуды установившихся колебаний. 3. Задачи для бесконечной прямой, составленной из двух однородных полупрямых.

Сосредоточенные факторы. 78. Неограниченный упругий стержень получен соединением в точке я = О двух полуограниченных однородных стержней. При т < О плотность массы, модуль упругости стержня и скорость распростра; пения малых продольных возмущений равны рз, Ез, ам а при и > О они равны ра, Ею аю Пусть из области х < О по стержню бежит волна из(х, 1) = 1 (б — я,1аз), 1 < О.

Найти отраженную и преломленную волны. Исследовать решение при Ез -в О и при Ез — ~ +со. 79. В точке х = О неограниченной однородной струны прикреплена сосредоточенная масса М, поддерживаемая пружиной жесткости Й с пре- М небрежимо малой собственной массой (рис. 11). Найти отклонение струны и(т, 1) при 1 > О, если струна возбуждается в момент 1 = О поперечным импульсом 1 = Мио, сообщаемым массе ЛХ и направленным по оси пружины. Рис. 11 з) См, задачи 5 и б.

28 Услаеин задач 80. Масса М предыдущей задачи при колебаниях испытывает сопротивление трения, пропорциональное скорости. Найти отраженную и преломленную волны, взяв за начальное условие бегущую из области х < 0 волну и,(х, с) = Дх — ас). 81. Плоский источник малых возмущений движется равномерно с дозвуковой скоростью вдоль цилиндрической неограниченной трубки с газом. Считая, что возмущение давления в том месте, где находится в момент 1 > 0 источник, является известной функцией времени, найти колебания газа слева и справа от источника, если в начальный момент времени газ был в невозмущенном состоянии, а источник находился в точке х = О. 82.

Решить задачу о колебаниях неограниченной струны под действием сосредоточенной поперечной силы 7гф для ~ > О, если точка приложения силы скользит вдоль струны с постоянной скоростью иа из положения х = О, причем иа < а и начальные условия нулевые. 4. Задачи для конечного отрезка. 83. Концы струны х = 0 и х = с закреплены жестко; начальное отклонение задано равенством и(х, 0) = Асйп — при 0 < х < 1, начальные скорости равны нулю. Найти отклонения и(х, с) при ~ > О.

84. Решить задачу о продольных колебаниях стержня, один конец которого (х = 0) закреплен жестко, а другой (х = С) свободен, если стержень был подвергнут начальному растяжению и(х, О) = Ах, О < х < 1, и начальные скорости ис(х, 0) = О, 0 < х < Е. 85.

Решить задачу 84, если конец х = 1 стержня закреплен упруго. 86. Один конец стержня (х = 0) закреплен жестко, а другой (х = с) свободен. В начальный момент времени свободному концу сообщается продольный ударный импульс 7. Найти колебания стержня. 87. Один конец горизонтального стержня закреплен жестко, а другой свободен. В начальный момент времени 1 = 0 в свободный конец стержня ударяет груз С,) = Ид со скоростью иа, направленной по оси стержня, причем в момент ~ = 0 торец груза плотно соприкасается с торцом стержня.

Найти продольные колебания стержня при ~ > 0 в течение акта соударения. 88. Решить предыдущую задачу для стержня, у которого оба конца свободны. 89. Решить задачу 87,предполагая,что стержень имеет форму усеченного конуса. 90. Решить задачу 88 для стержня, имеющего форму усеченного конуса. 29 Гл. 11. Уравнения гииврбвлииевивгв типа 91. Найти продольные колебания стержня при нулевых начальных условиях, если один его конец закреплен или свободен, а другой двигается по данному закону; рассмотреть случаи, когда: а) правый конец закреплен; б) левый конец закреплен; в) правый конец свободен. 92. Найти колебания возмущения давления в конце я = 0 трубопровода при 1 > О, если в конце т = 1 оно остается равным нулю, а расход жидкости в конце х = 0 является известной функцией времени. Сопротивление трубопровода пренебрежимо мало, а возмущения давления и скорость жидкости при 1 = 0 равны нулю.

93. Решить задачу об абсолютно упругом продольном ударе двух одинаковых стержней, движущихся в одном направлении по одной прямой со скоростями из и из) и~ > из > 0 (рис. 12). Найти распределение скоростей и напряжений в стержнях в течение акта соударения. Рис. 12 94. К концу х = 0 провода линии без искажений ), начиная с -ы момента 1 = О, приложена постоянная э.д.с. Е; конец т = 1 заземлен. Начальное напряжение и начальный ток в проводе равны нулю. Найти электрические колебания в проводе при 1 > 0 и установить, начиная с какого момента времени ток в проводе будет отличаться от предельного (при 1-+ +оо) заведомо не более чем на 10%.

95. Решить предыдущую задачу при условии, когда конец я = 1 изолирован. 96. Олин конец (я = 1) провода с пренебрежимо малым сопротивлением и утечкой заземления через: а) сосредоточенное сопротивление Ле,. б) сосредоточенную емкость Се, в) сосредоточенную самоиндукцию Еа, а к другому концу (я = 0) с момента 1 = 0 подключается э.д.с. Е = сопз1.

Найти напряжение и(т, 1) на конце я = 1 при Х > 0 для всех случаев. 2 3. Метод разделения переменных В настоящем параграфе рассматриваются задачи о колебаниях конечного отрезка струны при различных граничных условиях, а также аналогичные задачи о колебаниях из других областей физики и техники ). ') См. сноску к задаче 58. г) Выборка материала по собственным значениям и нормам собственных функций из глав 11, 1П, 1Ч, Ч, Ч1 помещена в ~ 2 гл. У11. Услееин задач 1.

Свободные колебания в среде без сопротивления ). 97. Найти колебания струны с жестко закрепленными концами х = О и х = 1, возбужденной начальным отклонением, и вычислить энергию отдельных гармоник. Начальные скорости равны нулю. 98. Струна О < х < 1 с жестко закрепленными копнами до момента 1 = 0 находилась в состоянии равновесия под действием поперечной силы Ре = сопв1, приложенной к точке хе струны перпендикулярно к невозмущенному положению струны. В начальный момент времени 1 = 0 действие силы ге мгновенно прекращается. Найти колебания струны при 1 ) О. 99.

Концы струны закреплены жестко, а начальное отклонение имеет форму квадратичной параболы, симметричной относительно перпендикуляра к серодине струны. Найти колебания струны, если начальные скорости равны нулю. 100. Струна~) с жестко закрепленными концами возбуждается ударом жесткого плоского молоточка, сообщающего ей следующее начальное распределение скоростей: О,. О <х< хе — д, и,(х, О) = Ф(х) = по, хо — б < х < хо+ д, О, хо+б<х<й Найти колебания струны, если начальное отклонение равно нулю. Вычислить энергию отдельных гармоник.