Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU), страница 2

Прямоугольные координаты (669). 2. Цилиндрические координаты (670). 3. Сферические координаты (670). 4. Эллиптические координаты (671). 5. Параболические координаты (671). 6. Эллипсоидальные коорлинаты (67Ц. 7. Вырожденные эллипсоидальные координаты (672). 8. Тороидальныо координаты (673). 9. Биполярныс координаты (674). 10. Сфероидальные координаты (675). 11. Параболоидные координаты (676). П.

Некоторые формулы векторного анализа 676 П1. Специальные функции 1. Тригонометрические функции (676). 2. Гиперболические функции (677). 3. Интеграл ошибок (677). 4. Гамма-функции (677). 5. Эллиптические функции (678). 6. Функции Бесселя (678). 7. Полиномы Лежандра (680). 8. Гипергеометрическая функция Р(о, 0, '7) (681). 676 1Ъ'. Таблицы 682 Список литературы 685 Глав аЧП. Уравнения эллиптического типа яки+си = —,7 116, 581 ПРКДИСЛОВИК К ПКРВОМУ ИЗДАНИЮ Настоящий задачник возник на основе практических занятий по уравнениям математической физики на физическом факультете и заочном секторе МГУ. Задачи, предлагавшиеся на этих занятиях, были использованы в курсе «Уравнений математической физики» А.

Н. Тихонова и А.А. Самарского [7~ и в стсклографированном «Сборнике задач по математической физике» Б.М. Будака [14[. Однако при составлении настоящего задачника круг рассматриваемых вопросов был значительно расширен, а число задач в несколько раз увеличено. Большое внимание уделено задачам на вывод уравнений и граничных условий.

Значительное число задач снабжено подробными указаниями и решениями. Задачи, близкие по характеру, снабжены лишь ответами. В главах проведена разбивка на параграфы по методам решения. Все это направлено к тому, чтобы дать возможность учащимся путем самостоятельной проработки достигнуть элементарных технических навыков в решении задач по основным разделам уравнений математической физики. При этом задачник не претендует на охват всех методов,.используемых в математической физике. В нем, .например, не рассматривается операционный метод, вариационныс и разностные методы, применение интегральных уравнений.

Мы надеемся, однако,что эта книга будет полезна не только для учащихся, но также для инженеров и сотрудников научно-исследовательских учреждений. Для удобства пользования книгой в конце ее помещен ряд справочных материалов. При литературных указаниях мы наиболее часто ссылаемся на книгу А. Н. Тихонова и А. А. Самарского «Уравнения математической физики» [7~, поскольку обозначения и порядок расположения материала в данном задачнике наиболее соответствуют принятым в этой книге. Б. М. Будок, А.

А. Самарский, А. Н. Тихонов Москва Февраль 1955 г. ПРЕЛИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМ~с ИЗЛАПИК) Настоящее издание является исправленным. Выражаем благодарность всем товарищам, обнаружившим опечатки в предыдущих изданиях. Москва 1979 г. Авторы УСЛОВИЯ ЗАЛАЯ Глава 1 КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕЛЕНИЕ К КАНОНИк1ЕСКОМУ ВИЛУ УРАВНЕНИЙ В ь1АСТНЫХ ПРОИЗВОЛНЫХ ВТОРОГО ПОРЯЛКА В этой главе предлагаются задачи на определение типа и приведение к каноническому виду уравнения для функции двух и более независимых переменных. В случае двух независимых переменных рассматриваются уравнения с постоянными и переменными коэффициентами; в случае трех и более независимых переменных лишь уравнения с постоянными коэффициентами, так как при трех и более независимых переменных уравнение с переменными коэффициентами не может быть, вообще говоря, приведено к каноническому виду с помощью преобразования, общего для целой области, в которой уравнение принадлежит данному типу.

В э 1 приведены задачи для уравнения относительно функции двух, а в з 2 трех и более независимых переменных. з 1. Уравнение для функции двух независимых переменных аззи + 2аззи,и + аязиии + Ьзии + Ьзи„+ си = Х(х, у) 1. Уравнение с переменными коэффициентами. 1. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения (1+ х) и, + 2ху脄— узиз„— — 0 и исследовать их зависимость от 1, где 1 числовой параметр. В задачах 2 -20 привести уравнение к каноническому виду в каждой из областей, где его тип сохраняется.

2.и,.+хива — — О. З.и,,+уи „=О. 4.и.„+увяз+и /2=0. 5. уи,, +хияк = О. 6. хи,„. + уизя — — О. 7. и,, +хуи„„= О. 8. и хззяпу+ 2и,я+и„„= О. 9. и + 2их, + (1 — а8пу) и, „= О. 10. и,, ззяпу + 2и„+ ия„э~бах = О. 11. у и„— х и„„= О. 12. х и,,— у и„„= О. 13.

хзи„+у и„„= О. 2 2 3, 2 3 2 Услоеая задач 10 14. у и„ -ь х ау, = О. 15. у а,, + 2хри,у + х иу„ = О. , 2 2 2, ,,2, 16. х и„-~-2хри у+ х иуу = О. 17. 4УЯи„— е иуу — 4У и, = О. , 2 2, я зз 2 18. хзи,, + 2хри„— Зу~и, у — 2хи, + 4уи, + 16х~и = О. 19.

(1 + х ) и, -~- (1 + у ) иуу + хи + ии„= О. 20. ия зш~ х — 29и,у сйпх+ Узиуу = О. 2. 'Уравнение с постоянными коэффициентами. С помощью замены искомой функции и(х, д) = е ' ~ус(х, у) н приведения к каноннческому виду упростите следующне уравнения с постоянными коэффициентами. 21. аи„+ 4аияу + аауу+ Ьи, + сия+ и = О. 22. 2аи,„+ 2аияу+ аиу„+ 2Ьи + 2си„+ и = О. 23. аи„+ 2аи,„+ аиуу+ Ьи, + сия+ и = О. ~ 2.

Уравнение с постоянными коэффициентами для функции п независимых переменных Е ауяи,хя + ~ Ь;и, + си = 1(хы хя,..., х„) Привести к каноннческому виду уравнении 24 — 28. 24. и,, + 2ияу+ 2и + 4иуу+ 5и,у+ и +ил — — О. 25. и„— 4и,у + 2и„+ 4иуу + и: О. 26. ияу + иуу + из у + а:, — 2им + ия. + иуу — 2иуу = О. 27.

и,у + и,, — и~ — иу, + иуу + и~.- = О. а ч з 28. а) ~и,, + ~и,,„, = О; б) ~ ~ия,у„= О. ~=1 г<у <у 29. Освободиться от членов с младшими производными в уравненнн ч п а,и,,„, + ~ ~Ь,иу, + си = у (хы хз,..., х„), а, ~ О, г = 1,..., а. ~=1 Глава Н УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИк1ЕСКОГО ТИПА К уравнениям гиперболического типа приводят задачи о колебаниях сплошных сред (струна, стержень ), мембрана, газ и др.) и задачи об электромагнитных колебаниях. В настоящей главе рассматриваются постановка и решение краевых задач для уравнений гиперболического типа (см.

сноску) в случае, когда изучаемые физические процессы могут быть охарактеризованы функциями двух независимых переменных: одной пространственной координаты и времени. Уравнениям гиперболического типа для функций с большим числом независимых переменных посвящена гл. 1У. й 1. Физические задачи, приводящие к урнвненинм гиперболического типа; постановка краевых задач В первой группе задач этого параграфа предполагается непрерывность и однородность сред, а также непрерывность распределения сил. Во второй группе задач допускается неоднородность сред и разрывы как характеристик сред, так и плотности распределения сил. Третья группа задач посвящена установлению подобия между различными колебательными процессами.

Поставить краевую задачу, соответствующую физической задаче, это значит, прежде всего, выбрать функцию, характеризующую ~) Поперечные колебания упругого стержня приволят к параболическому уравнению четвертого порядка, в то время как продольные колебания — к гиперболическому уравнению второго порядка. Однако краевые задачи для поперечных колебаний стержня весьма родственны краевым задачам для продольных колебаний стержня и поэтому рассматриваются в настоящей главе.

Можно указать также ряд важных физических задач, приводяпвгх к уравнениям гиперболического типа для функций, не зависящих от времени; например, при стационарном обтекании тела сверхзвуковым потоком газа для потенциала скоростей получается уравнение гиперболического типа. 12 Условия задач физический процесс ), а затем: 1) вывести дифференциальное уравнение для этой функции; 2) вывести для нее граничные условия; 3) сформулировать начальные условия ).

1. Свободные колебания в среде без сопротивления; уравнения с постоянными коэффициентами. При изучении малых колебаний в однородных средахз) мы приходим к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. 1. Продольные колебания стержня. Упругий прямолинейный стержень выведен из состояния покоя тем, что его поперечным сечениям в момент времени 1 = О сообщены малые продольные смещения и скорости.

Предполагая, что поперечные сечения стержня все время остаются плоскими, поставить краевую задачу для определения смещений поперечных сечений стержня при 1 > О. Рассмотреть случаи, когда концы стержня: а) закреплены жестко; а ) двигаются в продольном направлении по заданному закону; б) свободны; в) закреплены упруго, т. е. каждый из кондов испытывает со стороны заделки продольную силу, пропорциональную смещению и направленную противоположно смещению.

2. Малые колебания струны ). Струна натянута с силой Те и на4ь ходится в прямолинейном положении равновесия: ее концы неподвижно закреплены. В момент 1 = О точкам струны сообщаются начальные отклонения и скорости. Поставить краевую задачу для определения малых отклонений точек струны при 1 > О. 3. Крутильные колебания упругого цилиндра.

Упругий неоднородный цилиндр выводится из состояния покоя тем, что в момент времени 1 = О его поперечные сечения получают малые повороты в своих плоскостях относительно оси цилиндра. Поставить краевую задачу для определения углов поворота поперечных сечений цилиндра при 1 > О; рассмотреть случаи свободных, жестко закрепленных и упруго закрепленных концов. ~) Как правило, эта функция будет нами указываться уже в условиях задачи. з) Наличие начальных условий характерно для основных краевых задач гиперболического и параболического типа. По поводу понятий и определений, связанных с постановкой краевых задач для уравнений гиперболического типа, см.