Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU), страница 3

[7, с. 38 — 48 н с. 120 — 121). 'з) Например, в однородных стержнях и струнах постоянного поперечного сечения. ~) Вывод уравнения малых поперечных и малых продольных колебаний струны подробно выполнен в 17, с. 23.-28). В предлагаемой задаче требуется вывести уравнение колебаний струны прн смещении ее точек в произвольных направлениях. Гл. П.

Уравнения гиперболического каипа 4. Продольные колебания еаза в пьрубке. Заключенный в цилиндрической трубке идеальный газ совершает малые продольные колебания; плоские поперечные сечения, состоящие из частиц газа, не деформируются, и все частицы газа двигаются параллельно осн цилиндра. Поставить краевые задачи для определения: 1) плотности р; 2) давления р; 3) потенциала уз скоростей частиц газа; 4) скорости и; 5) смещения и частиц газа в случаях, когда концы трубки: а) закрыты жесткими непроницаемыми перегородками; б) открыты; в) закрыты поршеньками с пренебрежимо малой массой, насаженными на пружинки с коэффициентом жесткости о и скользящими без трения внутри трубки. 5. Задача 2Кукоеского о гидравличеюком ударе. Входное сечение прямой цилиндрической трубки длиной 1 соединено с резервуаром неограниченной емкости с жидкостью. По трубке на всем ее протяжении течет жидкость с постоянной скоростью оо.

В начальный момент времени 8 = 0 выходное сечение трубы х = 1 мгновенно перекрывается. Поставить краевую задачу для определения скорости частиц жидкости и давления жидкости в трубе. Воздух 6. На конце х =! трубы предыдущей задачи стоит смягчающий воздушный колпак (рис. 1) и агрегат Л, регулирующий расход жидкости (,)(с), вытекающей из колпака,так что Сг(ь) является заданной функцией времени. Пусть йо и Ро средние объем х' = 1 и давление воздуха в колпаке; считая Рис. 1 жидкость несжимаемой, а стенки колпака недеформируемыми и предполагая процесс сжатия и разрежения воздуха в колпаке изотермическим и изменение объема воздуха в колпаке малым по сравнению со средним объемом Йо, вывести граничное условие для конца х = й 7.

Волны тяжелой жидкосспи в канале. В неглубоком горизонтальном канале длины 1 с прямоугольным поперечным сечением находится вода, глубина которой, отсчитанная от свободной покоящейся поверхности, равна 6. Концы канала закрыты плоскими жесткими перегородками, перпендикулярными к его образующим. Направим ось х вдоль канала. При небольших возмущениях свободной поверхности в канале может возникнуть волновое движение воды, при котором поперечные сечения, состоящие из жидких частиц, будут, как целые, получать смещение Ях, 1) вдоль оси х, а их высота будет получать отклонение г1 (х, 1) от высоты 6 свободной покоящейся поверхности воды.

условия задач 14 Пусть заданы начальные значения ~(х, «) и г«(х, «) в момент « = О. Поставить краевую задачу для определения с(х, «) и г«(х, «) при«>0. 8. Поперечные колебинин стержня. Точкам упругого однородного прямоугольного стержня с шарнирно закрепленными концами Шарниры е пренебрежимо 2 малым трением а Кронилтеин с троне мимо ма,лоя масс снлтьзииь без еарен по т:ноаании Рис. 2 (рис. 2) сообщены в начальный момент времени « = 0 малые поперечные отклонения и скорости, параллельные продольной вертикальной плоскости симметрии стержня.

Поставить краевую задачу для определения поперечных отклонений точек стержня при «> О, предполагая, что стержень совершает малые поперечные колебания. 9. Рассмотреть задачу 8 для случая, когда один конец стержня жестко закреплен, а другой свободен (рис. 3). 10. Рассмотреть задачу 8, предполагая, что стержень лежит на упругом основании, массой которого при изучении поперечных колебаний стержня можно пренебрегать. Коэффициент упругости основания, к которому Рис.

3 прикреплен стержень, равен Й, т.е, поперечная для стержня сила упругости., действующая со стороны упругого основания на единицу длины стержня в данной его точке х, равна -Ки«х, «). 2. Вынужденные колебании и колебания в среде с сопротивлением; уравнения с постоянными коэффициентами. 11. К струне, концы которой закреплены неподвижно, начиная с момента « = О, приложена непрерывно распределенная поперечная сила, линейная плотность которой равна г'(х, «). Поставить краевую задачу для определения тюперечных отклонений и(х, «) точек струны при «> О.

Гл, П. ,Уравнение гиперболического типа 12. По струне 0 < х < 1 с закрепленными неподвижно концами и пренебрежимо малым электрическим сопротивлением идет переменный ток силы 1 = 111) при 1 > О, причем струна находится в постоянном магнитном поле напряженности Н, перпендикулярном к струне. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях струны, вызываемых пондеромоторными силами, приложенными к струне ). 13.

Начиная с момента 1 = О, один конец прямолинейного упругого однородного стержня совершает продольные колебания по заданному закону, а к другому приложена сила Ф = Ф1г), направленная по оси стержня. В момент времени 1 = 0 поперечные сечения стержня были неподвижны и находились в неотклоненном положении. Поставить краевую задачу для определения малых продольных отклонений и(х, 1) точек стержня при 1 > О.

14. Верхний конец упругого однородного вертикально подвешенного тяжелого стержня жестко прикреплен к потолку свободно падающего лифта, который, достигнув скорости оо, мгновенно останавливается. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях этого стержня. 15. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, предполагая, что концы струны закреплены неподвижно. 16. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях прямоугольного однородного упругого стержня в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, при наличии непрерывно распределенной вынуждающей поперечной силы; концы стержня предполагать жестко закрепленными.

17. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях прямоугольного однородного упругого стержня, один конец которого жестко закреплен, а к другому приложена поперечная («перерезывающая») сила, меняющаяся с течением времени по заданному закону. 18. Поставить краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного упругого стержня, находящегося в среде без сопротивления, если один его конец закреплен жестко, а другой испытывает сопротивление, пропорциональное скорости. 19.

Электрические колебания о проводах. Поставить краевую задачу для определения силы и напряжения переменного тока, идущего вдоль тонкого провода с непрерывно распределенными по длине: омическим сопротивлением Н, емкостью С, самоиндукцией Л и утечкой С ), если один конец провода заземлен, а к другому приложена э.д.с. ЕЯ и если задан начальный ток з)х, 0) = 7'(х) и начальное напряжение и1х, 0) = г"1х).

') См. )17, с. 204). ') Величины 77, С, уо С рассчитаны на единицу длины; однородность провода означает, что В, С., й и С не зависят от того, в какой точке провода мы их рассматриваем. Услееин задач 3. Задачи о колебаниях, приводящие к уравнениям с непрерывными переменными коэффициентами. Если колеблющаяся среда неоднородна, причем функции, характеризующие ее свойства (плотность массы, модуль упругости и т.д.), являются непрерывными функциями точки, то, как известно, дифференциальное уравнение для функции, описывающей колебания, будет иметь непрерывные переменные коэффициенты.

Однако могут представиться и другие случаи, приводящие к уравнениям с непрерывными переменными коэффициентами. 20. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях упругого стержня 0 < х < 1 переменного поперечного сечения Я(х), если концы стержня закреплены неподвижно, плотность массы равна р(х), модуль упругости равен Е(х), а колебания вызваны начальными продольными смещениями и скоростями. Леформацию поперечных сечений считать пренебрежимо малой. 21. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях упругого стержня, имеющего форму усеченного конуса, если концы стержня закреплены неподвижно и стержень выведен из состояния покоя тем, что его точкам в г = 0 сообщены начальные продольные отклонения и скорости.

Ллина стержня равна 1, радиус основания Л ) г, материал стержня однороден. Леформацией поперечных сечений пренебречь. 22. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях однородного упругого клинообразного стержня с прямоугольным поперечным сечением, если его больший торец жестко закреплен, Рис. 4 а меньший свободен (рис. 4). Модуль упругости стержня равен Е, плотность массы равна р. Леформацией поперечных сечений пренебречь. 23. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях тяжелой струны относительно вертикального положения равновесия, если ее верхний конец жестко закреплен, а нижний свободен.

24. Рассмотреть задачу 23 в предположении, что струна вращается с угловой скоростью еа = сопз1 относительно вертикального положения равновесия. 17 Гл. П. ураенение гипербаличеенога таина 25. Невесомая струна при вращении вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью находится в горизонтальной плоскости, причем один конец струны прикреплен к некоторой точке оси, а другой свободен. В начальный момент времени 1 = 0 точкам струны сообщаются малые отклонения и скорости по нормалям к этой плоскости.