Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU), страница 10

10. Поставить краевую задачу о движении слоя вязкой жидкости между двумя параллельными плоскостями, если одна из них в момент времени 1 = 0 начинает двигаться параллельно другой с заданной скоростью, имеющей постоянное направление. Действием силы тяжести пренебречь. 11. Вывести уравнения для процесса распространения плоского электромагнитного поля в проводящей среде. (Среда называется проводящей, если токами смещения можно пренебречь по сравнению с токами проводимости.) 2. Неоднородные среды, сосредоточенные факторы; уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряжения.

В этом пункте сначала рассматриваются кусочно-однородные среды и сосредоточенные факторы, что приводит к уравнениям с кусочно-постоянными коэффициентами и к условиям сопряжения. Затем рассматриваются задачи, приводящие к уравнениям с непрерывно меняющимися коэффициентами. 12. Неограниченный стержень с постоянным поперечным сечением получен соединением двух полуограниченных однородных стержней с различными коэффициентами теплопроводности и температуропроводности.

Поставить краевую задачу об определении температуры в этом стержне, рассмотрев случаи, когда: а) концы составляющих стержней соединены непосредственно (приварены торцом к торцу):, б) концы стержней соединены массивной муфтой с тсплоемкостью Со, причем материал муфты обладает очень большой теплопроводностью. Уалаеая задач Поверхность стержня и внешнюю поверхность муфты (не прилегающук> к стержню) считать теплоизолированными. 13. Замкнутый цилиндрический сосуд с непроницаемыми стенками получен соединением в начальный момент времени двух цилиндрических сосудов, каждый из которых заполнен однородной средой с равномерно распределенным веществом, причем концентрация этого вещества в обоих составляющих сосудах различна и свойства среды в одном и другом сосуде различны. Поставить краевую задачу о диффузии упомянутого вещества в составном цилиндре, рассмотрев случаи, когда.: а) цилиндры соединены непосредственно; б) цилиндры соединены через полунепроницаемую перегородку.

14. Поставить краевую задачу о нагревании тонкого стержня, по которому скользит с постоянной скоростью плотно прилегающая электропечь постоянной мощности, если внешняя поверхность печи, не прилегающая к стержню, теплоизолирована, а теплоемкость печи пренебрежимо мала. 15. Расплавленный металл заполняет вертикальный цилиндрический сосуд, стенки и дно которого теплонепроницаемы. С момента 1 = 0 свободная поверхность металла поддерживается при температуре из = сопзФ, которая ниже температуры плавления.

Поставить краевую задачу об остывании и затвердевании металла, если его начальная температура равна иа = сопки 16. Поставить краевую задачу о движении под действием силы тяжести тонкой вертикальной бесконечной плоской пластины в слое вязкой жидкости между двумя неподвижными параллельными ей пластинами. Действием поля силы тяжести на жидкость пренебречь. 17. Поставить краевую задачу об остывании равномерно нагретого стержня, имею|пего форму усеченного конуса, пренебрегая искривлением изотермических поверхностей, если концы стержня теплоизолированы, а на боковой поверхности происходит теплообмен со средой, температура которой равна нулю.

3. Подобие краевых задач ). 18. Сформулировать задачу теплопроводности, аналогичную задаче 10 о движении вязкой жидкости. Установить необходимые и достаточные условия для того,. чтобы первая задача была подобна второй с заданными коэффициентами подобия Й„11, Йа. 19. Сформулировать задачу теплопроводности 2 (задачу (1)), аналогичную задаче 9 (задаче (П)) о диффузии неустойчивого газа. Установить необходимые и достаточные условия подобия задачи (1) задаче (П) с заданными коэффициентами подобия. 20.

Сформулировать задачу об определении электрического напряжения в проводе, аналогичную следующей задаче об определении ~) О понятии подобия краевых задач см. гл. П, ~ 1, с. 20 и 1б9. 1'л. 111. Уравнение парабаличееквеа типа температуры в стержне: «Найти температуру стержня, если на одном его конце и на боковой поверхности происходит теплообмен со средой, температура которой равна нулю, а температура другого конца меняется по заданному закону, начальная температура стержня равна нулю» (задача (П)). Установить необходимые и достаточные условия подобия задачи (1) задаче (П) с заданными коэффициентами подобия. 21. Сформулировать задачу теплопроводности (задачу (1)), аналогичную задаче о распространении плоского магнитного поля в проводящем слое О < л < 1п (задаче (П)) при нулевых начальных условиях, предполагая, что всюду левее слоя мгновенно установилось постоянное однородное магнитное поле, параллельное слою, причем плоскость л = )а является идеально проводящей.

З 2. Метод разделения переменных В первом пункте ) настоящего параграфа собраны задачи для однородных изотропных сред; они приводят к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Во втором пункте рассматриваются задачи для неоднородных сред., а также некоторые задачи с сосредоточенными факторами ). 1. Однородные изотропные среды. Уравнения с постоянными коэффициентами.

а) Задачи теплвправвдивсти с постоянными ераиичными условиями и свободными члена и. 22. а) Найти распределение температуры в стержне О < л < 1 с теплоизолированной боковой поверхностью, если температура его концов поддерживается равной нулю, а начальная температура равна произвольной функции 1(я).

б) Рассмотреть, в частности, случай, когда 1(и) = 11в = сопэФ, и дать оценку погрешности, допускаемой при замене суммы ряда, представляющего решение в точке т = 1/2, его частичной суммой, и установить, с какого момента времени отношение суммы всех его членов, начиная со второго, к первому члену будет заведомо меньше наперед заданного е > О. Замечание. При этом мы будем говорить, что в рассматриваемой точке наступил регулярный режим ) с относительной точностью е. 23. Начальная температура стержня О < т < 1 с теплоизолированной боковой поверхностью равна 11в = сопвФ, ) Стержни, провода, цилиндры, встречающиеся в этом пункте, считаются имеющими постоянное поперечное сечение.

а) См, первую сноску на с. 32. з) Подробнее о регулярном режиме см. [25). Услаеин задач а на концах его поддерживается постоянная температура лл(0, 1) = 1лл = соллзс, и(1., 1) = блз = голлям, 0 < 1 < +ос. (2) Найти температуру и(х, 1) стержня при 1 ) 0; найти также стационарную температуру и(х) = 1пп и(х, 1). л — н-~ 24. Начальная температура стержня 0 < х < 1 является произвольной функцией у1х). Температуры концов постоянны: и(0, 1) = 11л = сопя|, и(1., 1) = Сз = сопзС, 0 < 1 < +со.

На боковой поверхности происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой равна иэ = сонэк Найти температуру стержня. Рассмотреть, в частности, случай, когда Гл = Пз = О, у1х) = О. 25. Найти температуру стержня 0 < х < 1 с теплоизолированной боковой поверхностью и теплоизолированными концами, если его начальная температура является произвольной функцией х. Перейти затем к случаю, когда на боковой поверхности происходит конвективный теплообмен (по закону Ньютона) со средой, температура которой равна нулю.

26. Найти температуру стержня, на боковой поверхности которого происходит конвсктивный теплообмен со средой нулевой температуры, если на концы стержня подаются извне постоянные тепловые потоки, а начальная температура является произвольной функцией. 27. Найти температуру стержня 0 < х < 1 с теплоизолированной боковой поверхностью, если один его конец (х = 0) поддерживается при заданной фиксированной температуре, а на другой конец (х = 1) подается извне заданный постоянный тепловой поток, причем начальная температура ллроизвольна.

Рассмотреть, в частности, случай, когда начальная температура равна нулю, а конец х = 1 теплоизолирован, и оценить погрешность, допускаемую при замене суммы ряда, представляющего решение в точке х = 1, его частичной суммой. Найти момент времени, с которого на конце х = 1 заведомо наступит регулярный режим ) с относительной точностью е.

28. Найти температуру стержня 0 < х < 1 с теплоизолированной боковой поверхностью и теплоизолированным концом х = О, если начальная температура стержня равна нулю и через конец х = 1 в стержень подается постоянный тепловой поток. Дать оценку погрешности, допускаемой при замене суммы ряда, представляющего решение в точке х = О, его частичной суммой. Ч О регулярном режиме см. условие задачи 22 и соответствующее примечание. Здесь должно рассматриваться отношение суммы всех членов, зависящих экспононциюльно от времени, начиная со второго, к первому члену, зависящему экспонанциально от времени; эти члены предполагаются занумерованными в порядке возрастания собственных значений. 49 1'л.