Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики

В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 14

DJVU-файл В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики, страница 14 Теоретическая механика (2704): Книга - 4 семестрВ.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики: Теоретическая механика - DJVU, страница 14 (2704) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 14 - страница

г„=)н~ =~~„н +.),А у~~~ и +ли Видно, что если параллельный перенос осуществляется из центра масс вдоль одной из координатных осей (из трех величин а, о, с не равна нулю только одна), то центробежные моменты инерции не меняются. Поворот осей. Пусть от осей С ц~ перешли к осям ('ц'~' при помощи матрицы поворота о', так что векторы ы и К в новых осях приобрели вид ы' = Яы, К' = ЯК. Связь между К' и ы' принимает вид Следовательно, тензор инерции в повернутых осях может быть подсчитан по формуле ,у' = о,уят Этот закон преобразования и определяет смысл названия ьтензорь Из алгебры известно, что любая симметрическая положительно определенная матрица преобразованием поворота может быть приведена к диагональному виду; ,7'= О В О Оси, в которых тензор инерции тела имеет диагональный вид, называются главными осями инерции тела.

Если эти оси дополнительно проходят через центр масс, то они называются главными центральными осями инерции. В главных осях кинетическая знергия приобретает простейший вид г = -(Арг+ Воз+ Сг') 1 2 Эллипсоид инерции. Это геометрическая поверхность, жестко связанная с телом, которая строится так. В произвольном направлении, задаваемом вектором е, отложим отрезок длиной 1/~/А з 19. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 83 Геометрическое место таких точек и есть эллипсоид инерции. Действительно, подставляя в выражение,7, = е,7е вектор е в виде е = г~/Д„получаем г,7г = 1. В главных осях это уравнение имеет простейший вид А~я + В~я + С~э 2. Динамические уравнения Эйлера Динамические уравнения Эйлера для твердого тела с одной неподвижной точкой выводятся из теоремы об изменении момента количества движения (з12). дК д1 — К=(К., К„, К,), йй=(М„М„,М,).

В этом выражении К и М рассматриваются в проекциях на неподвижные оси хух. В дальнейшем оказывается более удобным рассматривать зто уравнение в проекциях на оси, жестко связанные с телом — сг1ч. Для того чтобы написать соответствуюшие уравнения, воспользуемся правилом вычисления полной производной от вектора, заданного своими проекциями в подвижной системе координат (см. гл.

3) Если обозначить угловую скорость тела, или, что то же самое, трехгранника Щ через ш, то рассматринаемое уравнение принимает вид: дК вЂ” +ыхК=М, Й К=(КЕ,К,КС), ы=(р,е,г), М=(МОМ„,МС). Удобство этого уравнения заключается в том, что в нем вектор К выражается через вектор ы установленным выше отношением К =.7ы, в котором тензор,7 уже не зависит от времени. Выбирая в качестве осей Щ главные оси инерции тела, в покоординатной форме написанное уравнение получим в виде А — + (С вЂ” В)йг = М~, др д1 дй  — + (А — С)рг = М, Й вЂ” е Йг С вЂ” + ( — А)рд = МО Й Эти уравнения и называются динамическими уравнениями Эйлера.

В обшем случае момент внешних сил М зависит от положения твердого тела относительно триедра хух, от скорости ы и от ГЛ. З. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ 84 времени. Поэтому для замыкания системы к ним необходимо присоединить кииематические уравнения, связывающие положение тела с его угловой скоростью. Эти уравнепия могут быть взяты в любой из установленных в 89 форм; кииематические уравнения Эйлера в углах Эйлера, кинематические уравнения Пуассона в ортогональных матрицах, или в кватерниоиах. 3. Решение в случае Эйлера (М = О). Особый интерес представляет собой движение тела по инерции, т.е. когда внешние моменты равны нулю.

Этот случай и называется случаем Эйлера. Выбрав в качестве кинематических уравнений, дополняющих динамические, уравнения Эйлера, запишем полную систему дифференциальных уравнений, описывающих движение твердого тела с одной неподвижной точкой по инерции: А — + (С вЂ” В)дг = О, Нр Й В вЂ” + (А — С)рг = О, Ну сй о'г С вЂ” + ( — А)рд = О, щ' р 81п у + й соз у 81п 0 0 = р соэ у — д э)п у, ф = г — (рз4пр+ йсоз у)сгй9.

Уравнения расщепились, динамические уравнения могут быть решены независимо от кинематических. Найденное для динамических уравнений решение затем нужно подставить в кинематические уравнения, что позволяет решить и их. Для решения динамиЧеских уравнений заметим, что в случае М = О система допусйает интеграл кинетического момента и интеграл энергии. Векзйзф' кинетического момента постоянен в осях кую К = сопзС. В осях Щ постоянным будет лишь его модуль; Азрз + Вз, г + Сггз Кз Добавив к нему интеграл энергии Ар +Вд~+Сгз = 2Т, ~ )Э. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА получаем систему алгебраических уравнений, позволяющих выразить из нее любые две компоненты скорости через третью. Положим для определенности А > В> С (А > С), (Случай А = В = С очень прост. В нем (с = сопэ1, и все движение состоит во вращении тела с постоянвой скоростью вокруг неподвижной оси.) Выразим из первых двух ии- У тегралов компоненты р и г, учитывая, что определитель системы относительно переменных рт и г~ у В( равен АС(А — С) и, следовательно, У отличен от нуля: р = ~~/а — дет, г = х „/с — ((дт.

Рис. 37 Здесь параметры а, 6, с, Ы выражаются через исходиые параметры задачи. Подставляя зти соотношения в уравнение ВЫд/й+(А — С)рг = О, находим  — В (А — С)~( ° — АА )( — АА ) = В. сй Нахождение из этого уравнения (7(С) сводится к обращению эллиптического интеграла: А — С с((7 (г — га) = ~ В А, „'((. - АА )(. -' АА )' Такое обращение делается при помощи так называемых эллиптических функций, что и завершает задачу нахождения р(В), д(М) и г(В).

Для того чтобы решить кинематические уравнения, их удобно записать, выбрав трехгранник хух специальным образом; пользуясь неизменностью вектора К, направим ось х по этому вектору (рис. 27). Тогда проекции вектора К на оси (ц~ примут вид Кд = К з)п да)п у, К„= К з) п д соз у, КС = Ксозд С другой стороны, К — — Ар, К„= В(), К< = Аг, что позволяет последовательно найти АВЯ созд = —, К вд(с) сову = Кз(ад ГЛ. З. СНЕЦИАЛЪНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ вб Для нахождения Ф воспользуемся первым из кинематических уравнений Эйлера: „) ~,г ~' р(1) з1п у(1) + д(1) сов р(1) Й.

о з1п 0(1) 4. Геометрическая интерпретация Мак-Куллага. Использованные выше интеграл модуля кинетического момента и интеграл кинетической энергии, выраженные через компоненты скорости р, д, г, могут быть выражены через компоненты кинетического момента: К~э + Кт + Ксз = Кз, К2 К2 К2 — + — + — = 2Т. 1 А В С Эти уравнения позволяют получить достаточно ясное представление о движении тела в случае Эйлера.

В осях Кг, Кч, КС первое уравнение представляет собой сферу радиуса К, второе уравнение — эллипсоид, называемый эллипсоидом Мак-Куллага, с полуосями чг2ТА, ~I2ТВ и /2ТС. В процессе движения тела вектор кинетического момента должен принадлежать пересечению этих поверхностей. Само пересечение возможно, если радиус сферы лежит между большой и малой полуосями эллипсоида: 2ТА ) К~ ) 2ТС.

Поскольку вектор К неподвижен в пространстве куг, а эллипсоид Мак-Куллага неподвижен в теле, то движение тела в пространстве хух представляет собой обкатывание эллипсоидом неподвижного конца К по линиям пересечения эллипсоида со сферой Проследим характер траекторий вектора К на рассматриваемом эллипсоиде. Начнем с критического случая Кз = 2ТВ В этом случае траектория является плоской. Действительно, умножив интеграл энергии на В и вычтя его из интеграла кинетического момента, получим 1- -„' К~+ 1- - Кс = О, откуда следует В.

ГВ 1 — — К, ~11 — — 1К< = О. А ~/С 2 1Э. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Эти две плоскости проходят через ось 9 (ось среднего момента инерции тела) и пересекают эллипсоид Мак-Куллага по двум эллипсам, которые разделяют остальные траектории на два класса. 1) эпициклоидальное движение, 2) перициклоидальное движение. В первом случае траектории являются замкнутыми вокруг оси кривыми, во втором — они замкнуты вокруг оси с (рис. 28). Это следует из того, что предельным для первого случая является движение с К2 = 2ТС, для которого К< —— Кч — — О, К< ф О. Во втором с случае предельным является двиф жение с Кт = 2ТА, для которого х К<фО, К„=К<-0.

Для завершения рассматривае- Рие. 26 мой интерпретации осталось заметить, что проекция скорости тела на ось К постоянна: ш К = = 2Т, и для определения положения тела вокруг этой оси можно воспользоваться теоремой о телесном угле. 5. Геометрическая интерпретапня Пуансо. В отличие от предыдушей интерпретации здесь используется эллипсоид инерции: / ~гА+ 02В+~гС 1 = г Тг — 1 = О, Покажем, что при движении твердого тела в случае Эйлера жестко связанный с телом его эллипсоид инерции катится без проскальзывания по неподвижной плоскости, перпендикулярной вектору кинетического момента (рис.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее