Леонтьева. Лекции по ТФКП, страница 5

Замкнутые, кусочно-гладкие, жордановые кривые будем называть контуром. Под положительным направлением обхода по границе дР области Р будем понимать такой обход, при котором область остается слева. Интегральная теорема Коши. Пусть Р— однссвязная область и пустпь /(х) 6 А(Р). Тоеда для любого контпура Г с Р Доказательство. Так как /(х) й А(Р), то /'(х) е С(Р) и, следовательно и(х,у), и(х,у) е С"(Р) (/(х) = и(х,у) + ти(х,у)). Имеем ) Г(х) дх = ) и(х, у) дх — и(х, у) ду+ «) и(х, у)ду+и(х, у) дх. Для интеграг г г лов, стоящих справа применим формулу Грина (доказательство формулы Грина можно найти, например, в книге В.А.Ильин [4]). Итак, | =й /(х) дх = 1 Г ~ — ( — и) — — (и)~ дхду+ «Г Г ~ — (и) — — (и) дхду.

г Юг' ог Так как выполнены условия Коши-Римана: й, = и„', й = — ию то 1 Г(х) дх = О. г Замечание. Мы уже говорили о том, что условие /'(х) е С(Р)— лишнее условие. Единственное место, где мы использовали непрерывность производной — это применение формулы Грина. Если же требовать только существования производной фунтщии Г(х), х е Р, то сначала теорема Коши д«жазывается для треугольника, потом для многоугольника и в конце, аппроксимируя контур Г многоугольниками, в общем случае. Смотри, например, А.И.Маркушевич [5]. Пример, подтверждающий, что условие односвязности в теореме Коши по существу. Рассмотрим функцию Г(х) = -, Р=(х:1< [х] с2), Г=(х:]я[=3/2), 1 Г1 3 . 3 Вычислим / — дх.

Так как [х] = —, то х = ге"', г = —, «р Е [О 2«т]. х 2' ' 2' г Следствие из теоремы Коши. Пусть Р— односвязная, ограниченная об- ласть, гранила которой дР— контур и функция /(х) е А(Р). Тогда ) /(х)дх = О. во Обобщения те емы Коши: 1. ПУсть Р— односвязная, ограниченная область, грашща Я) -«контур и функпия Дх) Е А(Р) ДС(Р), тогда / /(х) ссх — О (бгз дсжазаво тельства). 2. Случай, когда Р— конечно-связная область, Пусть Р— ограниченная, конечно-связная область, гращща ксггорой дР состоит из (и+ 1) связных компонент: ВР=ГЦ7сЦч 0 "07«> где Г. 7с, 'ух " .

7« — контуры, не пересекающиеся между собой, внутри Г ссцержатся Ъ,Ъ...7 (Ъ СЙМГ, 1=1...»). Тогда, если у(х) Е А(Р), то интеграл по полной границе дР облйсти Р направление обхода по границе положительное или в этой формуле поправление обхода по кривым против часовой стрелки. Доказательство спелует из справедливости формулы Грина, зсля конечно-связной области и для функций а(х, у), и(х, у) Е С'(1?). Смотри, например, В.А.Ильин (4]. 3. Предыдущая теорема верна, если условие у (х) Е А(Р) заменить на условие /(х) Е А(Р) ("] С(Р).

(без дсжазательства). Одно из применений интегральной теоремы Коши — зто вычисление интегралов от действительных функций действительного переменного (как собственных, так н несобственных). При вычислении интегралов часто используется лемма Жордана. Лемма 2Кордана. Пусть Р = (х: ?сах > а) (рис.В), у(х) е С(Р1"1(]х] > Воу)> Ипь у(х) = О. Тогда йпс / еьо>у(х)дх = О, где сев . оя т > О, С» = Ю(Кх: ]х] = сс). Доказательство. Рассмотрим более общий случай, когда а < О. (Воли а > О, то оценки нужно проводить только на дуге СВ илн части дуги СВ).

32 Рис. 8 4 ]е *] ]у(х)]. ]ссх] = е ~яяес~)]Ксйр< < шах ]Дх)]е ~ооГс]сро]. лв а а Так как зсп >ро = — > то сро — прн В -+ +со. В' Л Итак, < шах ]у(х)]е '(]а]+ 1), В > В„ е~ 'у(х) дх т.е. 11ш / е' '/(х)де=О. »-«»> св Аналогичная оценка интеграла / емР™у(х)дх сп дает 1тп / е""'у(х)дх = О н-«хоп 33 Точки А, Р— точки пересечения окружности']х] = В с прямой у = а, точки В, С вЂ” точки пересечения окружности с действительной прямой, угол х*.АОВ = сро.

По условию йсп у(х) = О. Это значит, что *Ю те > О Лб(е) > О: о>х б Р, ]х] > б(е) -+ ]у(х)] < е. Проведем оценку интеграла / е у(х)дх. Вели х б АВ, то х Я ес", дх = Иес"а>р> ]дх] = Я дср> еь»* = ес Сл»>о"+с»иос>1, ]е' -п>ий»>е е < е ~ "В~~(Ме)~Г(Гр < о е" Г(2)ГЬ вс Интеграл а/2 С одной стороны — е А(17дя) С, Если 2 ~ С„то 2 = теоа, тогда 34 Теперь проведем оценку интеграла | е' 'Г(2)ГЬ. Имеем вс < ща77 )|(2)7 1 е аала7аааВДГр — 2 шах Щх)7 1 е аанамтайр *евс аЕВС 2 7" Используя оценку: -Гр < аШ Гр ПРи О < 27 ~ —, ПОЛУчим 7Г 2' е Г(2) 772 (~ 2 гоах Щ2)~ е а Ваор = вс о 2 а2 е""7~ 7Г =2шах~,|(2)~-, ~ =2п7ах~|(2)) — (1-е" ).

аЕВС О аЕВС Окончательно, 1цп | е' 'Г(2) ГГ2 = О, "-""вс Лемма доказана. Пример. В качестве примера рассмотрим интеграл Дирихле— +оа | Ипх — 71х и вычислим его, используя интегральную теорему Коши и о лемму Жордана. Интеграл Дирихле — несобственный, мы мсокем его представить в слекуюшем виде: +оа +аа -т и о о я-ч я Рассмотрим область Вл,„, границей которой д1Ув„является кон- тур, состоящий из прямолинейных отрезков действительной прямой— (-В, — т], (т, В) и двух дуг Са = (2: Ц = т, 1ш 2 ) 01, Сл = 12: ~2~ = В, 1шя > О) (рис.9) — 772 = — Гах + — ГЬ + — Гах + 772.

аоя,. -и с. ся а я в | еа* Ге'* /осах+аз)пх Гсоах+аа1пх 7Ь+У 7)х = х 3 х х -л а -и т и = 22 / — 71х, а7 Х а Г Еоа с другой стороны по лемме Жордана йпз / — ГЬ = О., по интегральной Я- + ,~ 2 с„ Г ем теореме Коши / — 772 = 0 2 ас,, Ге Рассмотрим интеграл / — Г(2. о о о | Еаа т е"'"" 712 / таеатайр 1 еаа(соат+аамт7Г(Гр 2 е-аяаемтааятГьр 2 теат с. а а а о о е ' тсоз(тсоз р)йр+7 е '""зап(тсоау7)айр.

а а Лекция 4 У(ге) = ./ —, гоЕ Рг. 1 Г Я)дс г Рнс. 10 нулю а) дС с — яе 37 Так как подынтеграпьные функпнн в выраженнв справа непрерывны по г, 1с, то нспопьзуя теорему о предельном перехспе поп знаком ннтеграпа Г е" (действнтепьный случай), получим )пп / — дя = -зп'.

Итак, 0 = — т1+ ~~+о / с. и +о~ Гзшв Г е1пк к 21 йш / — дв, т.е. интеграл Днрнхпе / — = —. , ++е / т 2 и ~+~и т Я,Я~к ~ фру и ж~,,у,ус, повернуть а) на угол $; б) на угол н; в) на угол -з. В каждом случае а)-в) доказать лемму Жордана. Интегральная формула Коши. Интеграл типа Коши. Теорема Морера. Теорема (Интеграпьная формула Коши.) Пусть Р— область, Функция У(я) Е А(Р), контур Г С Р, причем 1пе Г(Рг) также при- надлежит .Р. Тогда имеет место формула Эта Яормула называется интегральной Яормулоб Коши, интеграл, сгпоящия справа — интеграл Коши. Локыатепьство.

Так как точка ге б Рг, то су~цествует е > О такое, что и,(ге) С Рг (рнс.10). Рассмотрим область Р, = Рг'11г: ~г — ге~ ( е). Область Р, — двусвязная, по ннтеграпьной теореме Коши интеграл по границе Р, равен или или |(г) = —./ —. г У(б) д(. 2яз / с — гв и нв е А(Р) ПС(.Р), то г"(х) = — / —, х к Р, 1 гИ)К 2яз/ С вЂ” х ' з у(хе+ сею) Йр =е о |ИВЖ / |(ге), гвеР, 2яз.| ~ — хв ( О, хефР +1 е(хо+есов~р уе+ез1п р)ар о во Интеграл типа Коши.

г'(х) = —,/, г К Г Г У(б) <Ц 2яз / г ' / н М) дс 2яг / (~ — к)н+1' г 38 В последнем интеграле сделаем замену: с — хв = ее'4', 1в Е [0,2я], ас = езе' байр, тогда С вЂ” хв У ее'" К- о1- о о Хотелось бы теперь воспользоваться теоремой о среднем и перейти к пределу под знаком интеграла при е -+ О. Но мы ранее приводили пример, показываюший, что теорема о среднем для интеграла от функций комплексною переменного, вообще говоря, неверна.

Поэтому мы перейдем от функпии У(г) = и(х, у) + зи(х, у) к действительным функциям и(х,у), и(х,у) и теорему о среднем применим к ним. Имеем Воспользуемся теоремой о среднем для каждого интеграла. Получим |(кв + ее'"') 4о = 2зп[и(ха + е соз ~рм ув + е в1п ~р1) + о + Ы(хо+есовча.уз+ еип рз)[, у„~рз 6 [0,2я[ Г Ю)~К Перейдем к пределу при е -~ О. Интеграл | не зависит от е, г окончательно будем иметь | = 11ып Дхв + еевл) Йр = 2яз|(хр) С вЂ” яв е-+о 1 Формула доказана. В частности, если Р— ограниченная, конечно-связная область, граница которой дР состоит из конечного числа контуров и функция Дг) Е вп обход по границе дР положительный. Показательство следует из обобщенной теоремы Коши для конечно-связной области и аналогично доказательству, которое мы провели выше. [Я, 9~. п~фуж неясен:~* — м~ ).

° ап. ь зк что !Нп ) у (хо + ее'"') Йр = 2яз Г (хв). е-+О в Итак, пусть функция Дг) е А(Р), Р— односвязнвя, ограниченная область, граница которой дР— контур, тогда интеграл Коши Пусть à — жорданова, кусочно-гладкая криввя, не обязательно замкнутая и функция г(х) е С(Г). Интеграл вида называется интегралом типа Коши. Теорема. Интеграл типа Коши — Е(г) — есть аналитическая функция, т.е. г'(х) Е А(С~Г). При этом функция Г(х) имеет производную любого порядка, равную Мы проведем доказательство методом математической индукции. Второй способ доказательства — рассматривать интеграл Коши как криволинейный интеграл, зависящий от параметра, но при этом нужно знать свойства интеграла, зависящего от параметра, когда псдинтегральная функция — функция комплексного переменного.

В курсе действительного анализа рассматривались собственные или несобственные интегралы по отрезку или лучу, включая всю прямую. Доказательство. Докажем утверждение теоремы цри и = 1. Пусть точка х Е С1Г, тогда существует о > О такое, что ~~(я) П Г = во. Обозначим за р = р(Г, ГЯл)) > О, будем рассматривать приращение 2!вх: ]Ля] < о.