Леонтьева. Лекции по ТФКП, страница 7

DJVU-файл Леонтьева. Лекции по ТФКП, страница 7 Математический анализ (2697): Лекции - 4 семестрЛеонтьева. Лекции по ТФКП: Математический анализ - DJVU, страница 7 (2697) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Леонтьева. Лекции по ТФКП", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 7 - страница

Так как У,(го) — односвязная область, то существует функция Г(х) е А(У,(го)) такая, что ВеГ(г) = и(х,у) по доказанному ранее. Но Ве Г(х) есть функция бесконечно-дифференцируемая, поэтому и(х,у) бесконечно-дифференцируема в У,(го). Так как хо — произвольная точка области Р, то отсюда следует, что гармоническая функция и(х, у) — бесконечно-дифференцируема, обозначение и(х,у) е См(Р). Рассмотрим функцию Г(г) е А(Р) и круг (х: [г — го[ < т) с Р, го е Р, т > О. По формуле Коши 2я( ./ х — г 1 Г Г(х) дх Сделаем замену переменного; г = го + тег4', (гг е [0,2з'[, дг = т(е(т бган. Имеем Г(го) = — / . т(е*т 4Р = — / Г(го + те*') ду. 1 Г Г(го+ тегв),;в 1 Г 2л(,г' тегт 2я .г' о о Формула 1 Г Г(хо) = — ( Г(го+ геол) д(о о носит название формулы среднего значения.

Если Г(х) = и(х, у) + (и(х, у) то отделяя действительную и мнимую часть в формуле, будем иметь 1 Г и(хо, уо) = — ( и(хо + т соз р, уо + т вш ггг) дгр, о т.е. формула среднего значения справедлива и для гармонических функций. Формула среднего значения для аналитической функции, также как и формула среднего значения для гармонической функции, используется для доказательства принципа максимума модуля аналитической функции или для доказательства принципа максимума гармонической функции. Принцип максимума модули аналитической функ- ции.

Теорема. Пусть Г(х) е А(Р), М = зир [Г(г)[, Г(х) ф сопи, тогда для лев любой точки х е Р следует [Г(х) [ < М. Эта теорема и носит название принципа максимума модуля аналитической функции. Доказательство. Если М = О, то Г(х) = О, если М = +со, то неравенство [Г(х)[ < М справедливо всегда. Поэтому будем считать, что О < М < +со. Доказательство проведем от противного: пусть существует точка го е Р такая, что Щх)[ = М. Покажем, что на любой окружности (х; [х — го[ = т) С Р, т > 0 модуль функции [Г(х)[ = М. Предположим, что это не так, т.е.

на окружности [х — го[ = т существует точка х = го+теот', в которой Щхо+ теот')[ < М. Так как [Г(хо+ тот")[ функция непрерывная, то существует или правая или левая или полная Ю-окрестность, о > 0 точки рг такая, что для всех г(г из этой окрестности неравенство [/(хо + тегт)[ < М сохраняется. Предположим, что для (ог < (о < дг + 6 это так. По формуле среднего значения для аналитичес- кой функции можем напясать 1 Г Г(ло) = — / Г(ло + гвм) даг, 2гг / о тогда 'Р1 ю+б 1У(ло)~ = М < — / !Г(ло+геы))йр+ Щло+генр)]Яр+ 1 2гг о и зл + ~Г(ло + гв"') ) гйгг Огбб или 1 Щло)~ < — (М~рг+бМ+ М(2гг — ог, — б)) = М.

2в Пришли к противоречию, предположив, что на некоторой окружности Ол — ло~ = г) С Р сУшествУвт точка л = «о + гевб', в котоРой ~У(«о+ гвен)~ < М. Следовательно, на любой окружности (~л — ло~ = г) С Р справедливо равенство ~Г(л)) = М, тем самым в максямальном круге, который можно вписать в область .Р, с центром в точке ло равенство ~Г(л)~ = М сохраняется. Теперь докажем, что для любой точки л е Р ~Г(л)) = М.

Так как область Р— открытое и связное множество, то существует непрерывная кривая Г С Р, соединяюшая точки ло и л. Непрерывны кривая à — компакт. Пусть б = р(Г, дР) = Ы р(лг, лз) > О. Если б = +оо, то в качестбает, мего ве б можно взять любое положительное число. По лемме Гейне-Вореля из любого открытого покрытия компакта можно выбрать конечное подпокрытие. Устроим открытое покрытие таким образом: каждую точку кривой Г покроем открытым кругом радиуса б/3 с центром в этой точке. Из этого открытого покрытая по лемме Гейне-Бореля выберем конечное число кругов, образующих также покрытяе кривой Г.

Пусть центры этих кругов суть лм лз,..., х„, нумерация точек в направлении от точки ло к точке л, при этом (л: ~л — «;~ < б/3) Гг (л: 1« — лг+г < б/ЗЦ -,б йг, 1 = 1,2,...,и — 1. Рассмотрим круг радяуса б с центром в точке ло. Точка л, лежит в этом круге и по доказанному ранее в этом круге Щл)) = М, следовательно Щлг) ~ = М.

Далее рассмотрим круг радиуса б с центром в точке хг. В этом круге лежит точка лл и в этом круге Щл)~ = М. Следовательно ~Г(лз)~ = М. Процесс рассмотрения кругов будем повторять и через конечное число шагов придем к кругу с центром в точке л„и радиусом б. В этом круге модуль функции равен М, но точка л лежит в этом круге, следовательно, ~Д«)~ = М. Итак, для любой точки л Е Р Щх) ~ = М. Покажем, что отсюда следует равенство Г(л) ив э свгмй Так как ~~(л) ~ и М, то Щл) ~л = из(х, р) + ел(х, р) ьч Мз.

Имеем и й,+и е'=О и ° и„— в. йо =0 в силу условий Коши-Римана систему уравнений перепишем в виде и и' — в и'„=0 е.й+и й,=О Так как из + из = Мз > О, то решение однородной системы есть и', = и„' = О, т.е. и(х, р) = сапой Аналогично и(х, р) и сапв1 и Г(л) и озноб„ что противоречит усгювию теоремы. Теорема, тем самым, доказана.

По ходу доказательства мы решили задачу: н. пу Фу гы г мР) )гьг г б ш. Доказать, что Г(л) есть константа. Следствие 1. Пусть область Р— ограниченная область и Г(л) е А(Р) П С(Р). Тогда (Г(л) ~ достигает максимума в границе области. Следствие 2. Пусть область Р— ограниченная область и функции Г,(л) Е А(Р) П С(Р), Гз(л) Е А(Р) ГГ С(Р) и на гРанице области Гг(л) = Гз(л). Тогда Гг(л) и Гз(л), л ч Р. Следствие 3.

Пусть Р— ограниченная область; Г(л) е А(Р) Гг С(1г), Г(л) з~ 0,игл е (Р). Тогда минимум Щл)~ достигается на границе области Р. Задача 15. Верно ли Следствие 2, если условие ограниченности области снять. Принцип максимума гармонической функции. Теорема. Пусть функция и(х,р) гармонична в обласгпи Р, и(х,р) ф сонм и пусть М = зир и(х, р), т = Ы и(х, р). Тоеда для любой тонни р (х,р) Е Р справедливы неравенства т<и(х,р) < М Эта теорема носит название Принцип максимума гармонической функ- 50 51 ции.

Так как для гармонической функции справедлива формула среднего значения 1 Г и(хо>уо) = — ~ и(хо+ гсоэ~о, ро+ го[и[о) йр, 2я,/ о то повторяя дословно доказательство теоремы о принципе максимума модуля для аналитической функции, где используется аналогичны формула среднего значения, получим доказательство данной теоремы. Следствие 1. Пусть Р— ограииченнэл область и Функция и(х, р) б С(Р) и гармонична в Р.

Тогда максимум и минимум функции и(х,р) достигается на границе области Р. Следствие 2. Пусть Р— ограниченная область и функции и1(х, р) и иэ(х, у) гармоничны в области Р, при этом из(х, р) Е С(Р), иэ(х, у) б С(Р), и1(х, у) = иэ(х, р), (х, р) е дР. Тогда и1(х, р) кэ иэ(х, р), (х, у) ч Р. Задача 16. Верно ли Следствие 2, если условие ограниченности области снять. Сформулируем задачу Дирвхле для оператора Лапласа. Задача Джрихле.

Дана область Р и на граниие области задана непрерывная фуюсиия ~р(х, у). Построить гармоническую фрнниию и(х, у) в области Р, непрерывную е Р и такую, апо и(х, р) = [в(х, р) на границе. Задача Днрихле не для любой области разрешима. Позже для областей специального вида мы в явном виде получим решение.

Сейчас же мы можем сказать, что если решение существует и область ограничена, то решение задачи Дирнхле единственно. Это следует из Следствия 2. Итак, если Функция,[(я) Е А(Р) и отлична от константы, то ни в одной внутренней точке области ее модуль не может принимать максимального значеняя. Если же Функция Дэ) б А(С), т.е.

есть целая Функция, то зная оценку на модуль функции сверху, можно говорить о ее виде, иначе говоря справедлива Теорема Лиувилля. Пусть,[(э) ч А(С) и суи[ествуют а > О, М > 0 такие, что Уг ч С -+ [У(я)[ < М[э[ . Тогда /(г) — ээногочлен, степень которого не превышает иглой части а — [а]. Доказательство.

Представям а в виде и = т + г, 0 < г < 1, [о] = т. Возьмем точку го и В > О, тогда по интегральной формуле Коши ((„) ' Г И)'~ й[+ („) ([]+ )' ( 2еэ',/ ~ — эо 2Я[,/ (~ — го) [о[+э ' [с-*о[=в [с-щ[=я Оценим у[["[+О(го): 1 а ~ < ~ ~ ~ ~ |< я ~| ~ о ~ ~ ~ ~ а (Ц + 1)[ 1+— [ 1'1 [ [ О ), ([~]+1)[ 2~В. (В+]эо]) / 2я в[о[+э я[а[+1-а Так как у(э) — целая, то устремляя эс -ь +со, получим, что 7[[ [+О(го) = О. Так как точка эо — произвольная точка комплексной плоскости, то у[[о[+О(эо) = О, т.е.

Функция у(г) есть многочлен, степень которого не превосходит [о]. Теорема доказана. Следствие. Пусть у(э) б А(С) и существует М > 0: оэ Е С -+ ]У(э) [ < М. Тогда у(г) эя сапой [о~~ Г7]л уш р Пусть у(э) Е А(]э] < 1) г[ С([э[ < 1), /(0) = О. Если ]/(э)] < 1) для [г[ < 1, то [у(э)[ < [г[, ]э] < 1. Причем, если существует эо .

[эо[ < 1, Щэо)] = [го], то У(э)=е э, а б Ж, а — фиксированное число. Задача 18. Пусть действятельная функция и(х, р) гармонячна на всей комплексной плоскости С и ограничена сверху (ограничена снизу), т.е. существует М: чг б С и(э) = и(х, р) < М (> М). Доказать тогда, что и(х, р) кч сопээ. 52 53 Лекция 6 и«1 55 Числовые и функциональные ряды. Пусть (хи) — последовательность комплексных чисел.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее