Леонтьева. Лекции по ТФКП (1118496), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Функция Л(я) называется аналитической (гопоморфной, регулярной, правильной, моногеннай) в области Р, если ана в области Р имеет производную 1'(я) е С(Р). Замечание 1. Вообще говоря, условие непрерывности производной У'(я) лишнее, уже из существования ~'(я) следует, что у'(я) — непрерывная функция.
Смотри, например, Маркушевич (10). Доказательство этого факта требует многа времени, поэтому мы будем предполагать непрерывность производнсй. Замечание 2.Аналитическая функция — эта тоже самое, что и голоморфная или правильная или регулярная или моногенная. Различные названия связаны с различным подходам к рассмотрению аналитических функций. Можно теорию аналитических функций излагать, начиняя 22 23 Лекция 3 Интегральная теорема Коши. ди ди ди 1 ди — =-г —; — =- —, г~ О. доз дг' дг г др' дх ди' дп дх Р(х) аех" + азх" '+...
+ а~ СР) Ьэ~+Ь, — +...+Ь„' 25 с существования произвацной или с разложения в степенной ряд (так делал Коши) или через интегральное свойство аналитических функций. Мы начнем изложение с существования непрерывной производной и покажем, в дальнейшем, интегральное свойство аналитических функций и их разложение в степенные ряды. Класс аналитических функций на области Р будем обозначать А(Р). Понятие аналитической функции на области Р полразумевает существование производной в каждой точке Р и в некоторой окрестности точки.
Функция аналитична в точке, если она аналитична в некоторой окрестности этой точки. Задача б. Доказать, что условия Коши-Римана в полярных координатах принимают следующий вид Задача 7. Пусть х~ и л~ взаимно перпендикулярные направления, при- С:::2 чем поворот от х к Ъ+ совершается против часовой стрелки, тогда об- общенное условие Коши-Римана принимает вид Элементарные функции комплексного переменного. Интегрирование функций комплексного переменного.
Введем в рассмотрение функции, называемые элементарными функциями комплексного переменного. По определенню 1. Многочлен п-ой степени Р(х) = аэх" + агх" з + ... + а„, л е 1Ч; ае,ам...,а„— комплексные числа, аэ Ф О, и — степень много- члена. Функция Р(х) Е А(С), Р'(х) = аепх" '+а1(л — 1)х" з+...+а„ь 2, Рациональная функция р(х), ~)(х) — многочлены, аэ ф О, Ьэ ~ О, Р(х) и Я(х) не имеют общих множителей.
Если Я(х) = Ье(х-хг)М .. (х — хя) ', х*' Ф хз 4 Ф Э' йз+ "з+ ...+й„= т, то фУнкциЯ В(х) б А(~С1(хм. хх)). ПоРЯдком Рациональной функции называют шах(п, т). 3. Функция е' = ехр(х) = е*(соя р+ з яшр), если х = х + 1р. Функция е' 6 А(С), (е')' = е'. е*+е ' 4. Гиперболическии косинус сЬх = —. Функция сЬх 2 ел е-м А(С), (сЬ х)' = е* — е * 5, Гиперболический синус вЬ х = . Функция эЬ х 2 е'+е * А(С), (зЬх)'= =сЬх.
м -и б. Функция тригонометрический синус ешх = . Функция 21 в=1 (2) Рис. 7 в=1 евв+е зшх Е А(С)> (Ипл)' = е +е" 7. Функция трипввометрический косиыус сгыл = . Функция 2 соил Е А(С), (созх)' = -е1пл. зшл, 1 3" 8. ФУыкцих Лйл = —, (сбх)' = —, л ~ -(2п+ 1), гг = соя л' созз х' 2 О, +1, ~2,.... Функция ск л Е А(С~(я/2 ° (2п + 1), и = О, +1, ~2,... ~) соз л 1 9.
Функция ссб л = —., (Слб л)' = -":-Г-> л 71 1гп и гйп л з1п л О,+1,~2,.... Функция сзйх Е А(С\(яп, в=0,~1,~2, )). зЬх 10. Гиперболический тангенс 1Ьх = —. Функция 1Ьл Е А(С 1 сЬл (фг/2+ йз'), к = О,х1,х2,...)). сЬл 11. Гиперболическвй котаыгеыс слЬл = —. Фуыкция схЬл Е А(С ~ зЬх (1Ьг, Й = О, х1, х2,... )). Фуыкпия аналитическая ыа всей комплексной плоскости, вызывается целой. Такими фувкциями являются мыогочлевы, сывус, косинус, ехрх, гиперболический синус, гиперболический косиыус.
Теория целых фувкпий, в частности, разлгвкеыие в ряд по целым функциям, получила широкое применение в дифферевциальыых ураввеывях, уравнениях в частных производыых, в функциональном анализе. Более подробно с теорией целых функций можыо озыакомиться, валример в монографии А.Ф.Леовтьева [2]. Интегрирование функций комплексного переменного Рассмотрим спрямляемую кривую АВ (рис.7) без точек самопересечеыия и самовалегаыия. Разобьем кривую ва и частей с помошью точек хе = А, л„... л„= В в порядке следования по кривой от точка А к точке В. Выберем ыа дуге л; 1, л; точку х,'. Обозначим через 1(х; мх;) длину дуги х; 1, ль Пусть ва кривой АВ задана функция 7(л).
Составим иытегрельыые суммы Ь»1 Обозначим за гх = шах [лг, — х;[ — диаметр давыого разбиения. Если 1»ввв» сушествует предел интегральных сумм (1) при Ь -+ О, ве зависящий от споссба разбиения кривой точками хм хз,..., х„и ве зависяший от выбора точек л,' ыа дуге лг м ы;, то говорят, что функция 7(л) ивтегрируема ыа кривой АВ и обозначают хв [ 1 » Дл)[ггх[ = 11ш (~ Дл;)1(хг г,лг)). ° =1 Интеграл [ у(л)Щ называют интегралом первого рода. вгв Если сушествует предел иытегральыых сумм (2) при гх — 1 О, ве зависящий от способа разбиения кривой точками лг, хз,..., х» и ые зависягцвй от выбора точек л,'- ыа дуге л; „хэ то говорят, что сушествует интеграл второго рода от функции Дл) по кривой АВ и обозначают ) г»*в*= >»(Кг(«Х* — «-,)) хв «=1 Пусть функции Дх) =ы(х,у)+го(х>у)> л=х+гу, хг =хг+гуг, л,'= хг + гу,'.
тогда ивтегральвая сумма (2) будет равна Дхв)(хг — лг 1) = ~[а(х[,у!) + 1о(хэ у,')][(хг — х;') +1(уг — у,')] = «=1 «=1 » = Е[ (х~ у~)(хг — 1) — в(*[ а(уг — у[)]+ «=1 ~~' [ (, уЛ,? ( „у)(у у)]. Поэтому, если и' / 7(л)пх, то В [ (и(х, у)г)х — в(х, у)г)у), 3 1 (и(х, у)«1х+ Ав»в яв гг(х, у)ггу) и справедливо равенство У( )с1 / .г(х) сЬ = ДЛ(1)]Л'(с) сй, лв а Дх) [ (х[ = у[Л(1)]]Л'(1)] а. лв лв лв Дх)с1х= 1г(х)дх+ ~(х)с1х. лв лс св лв лв лв Заметим, что в правой части также участвуют интегралы второго рода.
Аналогично показывается, что если существует интеграл первого рода ] у(х) [сЬ[, то существуют интегралы первого рода лв / и(х,у) Ж, / и(х,у) сй, сй — дифференциал дуги АВ и справедливо лв лв равенство у(х) Щ = и(х,у) сй+1 и(х,у) сй. Свойства интегрируемых функций. Так как интеграл от функции комплексного переменного, как мы показали, связан с интегралами от функций действительных переменных, то понятно как свойства интегралов от действительных фувхций действительных переменных переносятся на свойства интегралов от комплексной функции комплексного переменного. Необходимое условие существования интеграла / у(х)сЬ вЂ” модуль лв функции Дх) ограничен на дуге АВ.
1. Линейное свойство. Пусть существуют интегралы / Дх)сЬ, / д(х)сЬ, лв лв тогда существует интеграл (а,г (х) + 1зд(х)) ссх = а у(х) сь+ р' д(х) с1х, а, ф е сс, / 2. Аддитивность интеграла. Пусть кривая АВ = АС()СВ, где дуги АС и СВ имеют единственную общую точку С и существует интеграл / Дх) сЬ, тогда будут существовать интегралы / у(х) сЬ, / У(х) сЬ и лв лс св справедливо равенство И, наоборот, из существования интегралов / Дх)дх, / Дх)с1х следует лс св существование интеграла / у(х) сЬ и выполнение равенства. лв 3.
/ У(х) сЬ = — / Дх) сЬ. ле вл 4. Если 1 - длина кривой АВ, а Щх)[ < М, х Е АВ, то Классы интегрируемых функпийс 1. Класс непрерывных функций; 2. Класс ограниченных по модулю функций, имеющих на кривой конечное число точек разрыва; 3. Класс функций, обладающих 1-свойством. Пцц этим классом понимают класс ограниченных по модулю функций и обладающих следующим свойством: Ппя 'й > О найдется конечное число спрямпяемых дуг, принадлежащих данной кривой АВ, и таких что сумма длин этих дуг меньше е. Пусть кривая АВ задана параметрически: х=х+1у, х= Лг(с), у=Ля(с), 1Е [а,В], х= Л(с) =Л,(с)+сЛз(с), 1 — действительный параметр, существует Л'(с) Е С([а, ФУ]), Л'(с) зь О; тогда Но не нужно думать„что все свойства и теоремы, присущие, не пример, определенному интегралу Римана, переносятся на ннтеграп от фуюсции комплексного переменного.
Рассмотрим пример. Пусть АВ = [О, 1], Дх) = ез"", тогда [О,Ц го,б о о | /(х) дх = О. г Тогда | 1 Г г«ен'йр — дх= / . =2я«'фО. ге««' г о 31 Так как д(х) = е' Ф О у'х й С, то, если бы была справедлива теорема о среднем, то ) Г(х) дх был бы равен /(х) о4 О, х Е [О, 1], что ~о.ц противоречит тому, что ) /(х) дх = О. «о,ц Интегральнан теорема Коши. Пусть кривая АВ задана параметрически х = Л(о), о е [ст,д] и пусть функция Л(с) е С([а, д]), осуществляет взаимно-однозначное соответствие отрезка [а, д] на свой образ — кривую АВ.
Если это требование выполняется кроме концевых точек и при этом Л(а) = Л()3), то будем говорить, что кривая АВ замкнута. В первом случае кривую назовем незамкнутой жордановой кривой, во втором — замкнутой жордановой кривой. Теорема ЭКордана (без доказательстпва). Зал«кнутая жордановав (жорданоеа) кривая Г разбиеаетп тсомплексную плостсостпь С на две области. Одна областпь Рг — — тп«Г (енутпренние точки Г) — оераниченнах область и ее ераниией явлхетсл Г, вторая область С1Рг - неограниченная, содержит со и ее границей также является Г.
Определение. Область Р С С вЂ” односвязнэя область, если ее граница дР— замкнутое, связное множество. Область Р называется конечно-связной или и связной, п й «««, и > 1, если ее граница состоит из конечного (из и) числа замкнутых связных компонент. В любом другом случае область Р— бесконечно связная. Из теоремы Жордана следует, что если область Р— односвязная и Г С Р, à — замкнутая, жордановэя кривая, то Рг(тп«Г) С 1Цбез джазательства).
Казалось бы, этот факт как и сама теорема Жордана очеви««ен, если в качестве Г брать непрерывную кривую, а не кривую Жордана. Но для просто непрерывных кривых Г это не так. Смотри, например [3], где строится пример непрерывной кривой, заполняющей собой квадрат [0,1] тс [0,1]. В дальнейшем будем рассматривать гладкие или кусочно-гладкие кривые Жордана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
