Леонтьева. Лекции по ТФКП (1118496), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Справедпива теоре- ма: Теорема (принцип непрерывности). Пусп1ь функции 71(х) и Ях) таковы, апо Л(х) Е А(Рг)Г1С(Р~ОГ), Ях) Е А(Рз)Г1С(РгОГ), Ях) = Ь(х), х Е Г. Тогда суюествует функция 7(х) Е А(Р), Р = Рд ОРгОГ. функция Дх) навет вид Ях), хеРм У( ) = Ь(х), у1 = уз, х е Г. При этом говорят, что функция Ях) аналитически продолжаетсх в область Рг через границу Г (рис.йО).
Доказательство. Нужно показать, что функция 7'(х) Е А(Р), так как по определению Дх) спедует, что 7(х) Е А(Р, О Рх), то достаточно по- казать, что функция )(х) е А(Г). Рис. 20 А так как гг Рис. 21 78 Пусть точка хе б Г, существует д > О, такое что Уб(хе) с В. Обозиачим за Гг контур, состоящий кз части кривой Г, лежащей в круге ~х - хэ) < б и части окружиости )х — хэ! = б, лежащей в области Рг. За Гз обозначим контур, состоящий из той же части кривой Г, лежащей в круге )х-хе~ < 6 и части окружности ~х — хе~ = Ь, лежагцей в области Рз.
При положительном обколе кривых Г, и Гз общая часть кривой Г будет обходиться дважды, ио в разных иацравлеииях, поэтому —. ( — + —. ~ = —. ~, х б бгб(хб). гУ(Да~ 1 ГЩ И 1 Г УУЩ 2яб,( С вЂ” х 2яб,б' Ь' — х 2я б,г С вЂ” х ' г, гг К-хо1=б Интеграл, стоящий справа, есть интеграл типа Коши, так как по усло- вию Д4) б СЯ вЂ” хе~ = Ь), поэтому 1(х) = — / — б А(Рб(хе)). 1 б У(4) г1С 1 )гЩ)И~ )' Ях), х6РгйУд(хе), 2ГГб / ~ — Х 1( О, Х Е РЗГГСгб(ХЭ)~ г, 1 /У2(С)ггС / Л(х), х 6 РзГГБб(хе), 2яб.б С вЂ” х ( О, х 6 РгГГУб(хе), то 7(х) = бг(х), х с Рг гг ггб(хе)~ У(х) У~(х)1 х б Рз г г сгб(хе).
Так как точка хе б Г была цРсизвольиаЯ, то отсюда следУет, что фУнкциЯ У(х) б А(Г). Окончательио, У(х) б А(Р), Р = Рг 1б Рз г.б Г. Следствие. Пусть фуикция У(х) б А(Р) ПС(РОГ), где Г С ОВ (гравица области), à — кусочно-глэдкая, жорпанова кривая. Если у(х) = О, х б Г, то б(х) ьэ О, х б Р. Достаточно функцию у(х) продолжить через Г нулем, тогда по виутренией теореме единственности у(х) ьв О, х е В.
Возиикает вопрос, можио ли условия, наложенные иа функцию у(х) в следствии, ослабить? Мы сформулируем в качестве задачи следствие из теоремы единственности И.И.Привалова (6]. ~г~ ~у фу ~ л*) а ~(г~) ~ с(г~и гг граиица которой дР есть замкнутая, жордажаа кусочно-гладкая кривая, Г с дР. Кривая Г положительиой меры (меры Лебега). Доказать, что если У(х) = О, х б Г, то у(х) ьв О, х б Р. При доказательстве принципа непрерывности мы предполагали, что области Рг и Рз таковы, что Вг й Рз = И. В этом случае мы получаем одвозиачиое аналитическое продолжение из области Рг в область Рз.
Если отказаться от этого, т.е. Р, Г~ Рх ~ И, то аналитическое продолжение может привести к многозначной фуикции. Например, рассмотрим две фувкции Ях) = 1пх = 1п)х~ + багйх, х 6 Рг = ~х: — — < агд» <я~ и Уз(х) = (балх)г = 1п~х~ + багбх + 2 2яб', х 6 Рз = (х: — я < агйх < -~. фуккции бг(х) б А(Рг) Г'Г С(Вг г.б Г) ~ ~э(х) б А(Рз) г'г С(Рз г.г Г), где Г = (х: р = О, -2 ~( х «< — 1). Но так как Р, Г1Рз ~ г1г, то аналитическое продолжение через Г приводит к многозначной функции Ьп х. 3.
Аналитическое продолжение через разложение в ряды. Рассмотрим ряд Я а„(х — хе)" с радиусом сходимости В > О, тогда в области )х — хэ~ < Я функция У(х) = ~„а„(х — хе)" есть аналитическая гг=э функция (рис.21). Возьмем точку хг б (х: 1х — хэ) < В). По теореме ТЕВЛОРа фУВКЦИЮ У" (Х) ббсжнО Раэпожвть В РЯД Я Ь„(Х-гяб)", СХОДЯШИйСЯ и=э в неигтоРом кРУге )х — хб~ < Вм Вг > О. Может случиться так, что круг ~х — х1( < В1 целиком не лежит в первоначальном круге ~» — хо( с В, тем самым мы получили непосредственное аналитическое продолжение Функции у (») в более широкую область, чем круг ~» — хо~ < В.
Взяв точку хз й (х: )х — »1( < Вз), повторим разложение в степенной ряд и т.д. Через некоторое число шагов мы можем прийти к первоначальному кругу, но аналитическое продолжение может не совпасть с первоначальной функцией, тогда аналитическое продолжение приводят к многозначной функции, в противном случае — к однозначной. +с« Рассмотрим функцию у(х) = — = Я х", ~4 < 1. Возьмем точку «=о х, е ((4 < 1), тогда 1 1 (х-х,)" + ~» ) (1 х)« '-" ~ — -*) где ~х — », ~ с ~1 — »1 (. Мы переразложили Функцию 1(х) в ряд по степеням х — хм ряд сходится в круге ~х — »з) < )1 — »з) и дает аналитическое продолжение суммы ряда ~ х" (рис.22). Рис. 22 Как бы мы нн раскладывали функцию у(х) в ряд, точка х = 1, лежащая на границе круга сходимоств ряда 2; х", не будет входить в область « — ь сходиьккти.
Эта точка является особой точкой для ряда 2; х". Рассмотрим ряд Я а„(х — »о)", область схспимости которого )х — хо~ < «о В, где О с В < оо. Определение. Точка ~ б Ц» — »о~ = В) называется правильной точкой или регулярной для суммы ряда у(») = 2 а„(х — »о)", если существует «=о ! 80 Фун|о1ия Р(х) е А(Ух(ь)), б > О и такая, что У(х) = Р(х)1 х 6 Ух(ь) г1ֻ— »о~ < В).
В любом другом случае точка ь к ()» — хо~ = В) называется особой точкой, лежащей на границе круга сходимости степенного ряда. Если мы вернемся к ряду ~', х", то все точки, лежащие на границе круга сходимости (х~ = 1 являются правильными, за исключением точки х = 1. Справедлива +ь» Теорема. Пусть радиус сходимости степенного ряда 2 а«(х — хо)" конечен: О < В < со, тогда ка границе круга сходимости лежит, по крайней мере, одна особах точка.
Доказательство. Предположим противное. Пусть каждая точка границы (» — хо~ = В есть правильнгя. Для каждой точки хз . ~»1 — »о~ = В существует бд ) О и Р(х) б А(Ух,(»1)) такая, что Р(х) = Дх), Пц(хз) Г1 (~» — хо~ = В), У(») = ~ а (х — хо)". Тем самым мы име«=о ем открытое покрытие окружностя ~х — хо~ = В кругами радиуса д„с центром в точке хм 61 = 61(хз). Так как окружность — компакт, то по лемме Гейне-Бореля существует конечное число кругов, покрывающих окружность и попарно пересекающихся. По теореме единственности отсюда следует, что функция Р(») Е А(.Р), где область Р содержит круг ~х — »о~ < В и Р(х) = ~(х)» б Ц» — »о~ < В). Тогда существует круг (» — хо~ < В,, В1 ) В и круг Цх — хо~ < Вз) С Р. Разложим Р(х) в степенной ряд в круге ~х — хо( с В„имеем Р(х) = Я $„(» — »о)".
В силу «=о единственности разложения функции в степенной ряд, отсюда следует, что а„= 6„для любого п = О, 1, 2,..., но а„определяют радиус В, а 6„ определяют радиус Вм а так как В ~ Вм то приходим к противоречию, предположив, что все точки границы круга сходимости правильные. [3~ ЗЬ ПУ фУ «««Г АО Р-~ Ю Ж Доказать, что тогда функция у(х) й А(Р|), где область Р С Рз. Задача 31. Привести пример сгепенного ряда Я а„(»-хо)" с конечным Г:3 -о кругом сходимости В, О < В < оо, для которого каждая точка границы ~» — хо~ = В есть особая точка. 81 4. Общий случай аналитического продолжения.
Пусть функция Х(я) задана на области Р. Назовем элемент вида (Х, Р) парой, если функция Х(я) е А(Р). Скажем, что пара (Хм Р1) является непосредственным аналитическим продолженнем пары (Х, Р), если Р П Рг ф В и Х = Хг на Р О Рз. Назовем конечное число пар (хм Р~Щэ, Рэ),..., (У„, Р„) цепочкой, если (Хь+„Рь+,) является непосредственным аналитическим.продолжением пары (Хь,Р„), й = 1,2,...,п — 1. Совокупность пар ((У, Р)) назовем обшей аналитической функцией, если длЯ любых цаР (Л, Р,), ( Хэ, Хьэ) из этой совокУпности сУществУет цепочка из этой же совокупности такая, что с помощью нее можно перейти от ф, Р1) к (Хэ, Х~).
Общую аналиткческую функцию назовем полной аналитической функцией, если она содержит все аналитические п1хжолжения каждой пары. При этом полная аналитическая функция может быть многозначной. Например, если мы рассмотрим фиксированную ветвь (Ьп я) ь, я б С~К, то все аналитические продолжения той функции приведут к многозначной функции Ьп я (бесюнечно-злачной).
Для того, чтобы полную аналитическую функцию можно было рассматривать как однозначную, Риман ввел в рассмотрение так называемую поверхность Римана. Рассмотрим полную аналитическую функцию ((Хо Р;)) н рассмотрим область 6 = Ц Ро объединение областей Р; не более чем счетное. Возьмем листы плоскостей, изобпажаюшие области Р; (число листов соответствует числу индексов 1). Два листа, соответствующие областям Р; и Р1, з ~ у склеим по их общей части РгОР., если эта общая часть не пуста и б = Х на Р;й Р;. Тогда мы получим, вообще говоря, многолистную поверхность.
Эта поверхность и называется поверхностью Римана. На этой поверхности, соответствующей области С, полная аналитическая функция Ц1;,Р;)) однозначна. Она осуществляет однозначное соответствие между поверхностью Римана и своей областью изменения. Рассмотрим два примера: 1. Функция ~/д, и б И, п > 1 — многозначная, имеет и различных аналитических ветвей на С~В+. Возьмем п листов плоскости с разрезом по положительному лучу Й+. Для каждого й-го листа плоскости обозначим верхний берег разреза за Гь+, нижний берег разреза за Г„, й = О, 1, 2,...,п — 1.
Все эти листы склеим следуквпим образом Г-,=Г+, ..., Г„',=Г;,. Получили и-листную поверхность Римана, на которой "„/к — однозначная функция и аналитична, за исключением точек ветвления э = О, я = оо (смотри рис.23): Рис. 23: Функция ~/я, два листа Еэ, Еъ 2. Если мы рассмотрим многозначную функцию Ьп к, имеющую бесюнечно много однозначных ветвей (Ьп я)ь, й = О, х1, х2,..., аналитических на С1й, то возьмем счетное число листов плоскостей с разрезом по лучу К . Склейку проведем следующим образом: Гь+ =Гь+, ..., Й=О,к1,~2,..., где Гь+ — верхний берег разреза отрицательного луча Й, à — нижний берег разреза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
