Леонтьева. Лекции по ТФКП (1118496), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Доказательство. Так как прн л Е дР справедливо неравенство Щл) ~ > ~гр(л)), то Щл)~ > О, л Е дР и ~1(л) + гр(х)) > ~Щл)) — ~зг(х)(~ > О. Применим принцип аргумента к функциям У(л) + гр(л) и 1(л). Имеем 1 1 учу+ = — Ъгхехб(1+ р)~, Фу = — 1уехаг81, 2тг гво' 2тг ью Рассмотрим разность учу — Нуг угууь угуу = — (1увхвх8(1+ р) — 1уагех81) = — Чагагк ~ — +) = /1+ грЪ 2л = — Уаг аг8 1+— 2к 1 Уу ' Пусть вектор аг(л) равен 1+ —, тогда ~го(л) — Ц = ~ — < 1, если р() ~у(л) 1( )' ~1() л Е дР. Следовательно, когда вектор л описывает кривую Р, вектор ат(л) описывает замкнутую кривую у (которая, вообще говоря, может быть и одной точкой), целиком лежащую внутри окружности радиуса 1 с центром в точке 1 (рис.28).
Рис. 28 Поэтому вектор аг(л) не обходит точку О, т.е. Чехгхбаг~ = О, тем самым УгУу+„- — УгУу. ТеоРема доказана. Следствие 1 (основная теорема алгебры). На комплексной плоскости любой многочлен Р(л) = авл" + а,л" ' +... + а„, ав ф О имеет ровно и нулей. Доказательство. Взяв достаточно большое Л > О будем иметь, что на окружности ф = Н справедливо неравенство 1оол ~ > ~агл" ' + ... + а ~, Применяя теорему Руше к функциям авл" и Р(х), получим, что функции аел" и Р(л) имеют одно и то же число нулей в области ~л~ > Н, но функция авл" имеет и нулей. Гь~ т~]х *..
гр ав + аг сов ут + аз соз 2гр +... + а„сов пгр = О, 0 < аь < аг «... а„ имеет 2п различных нулей в интервале 0 < гр < 2тг. 104 105 Рис. 29 ~ср(х)( < 3, Щ«)~ = 4. Рис. 30 107 Следствие 2. Пусть функция Дх) б А(В) и одиопистна, тогда дпя пю- бой точки л б В ~'(х) ф О. Локазатепьство. Предположим противное, т.е. существует точка хо е 1» такая, что 7'(хо) = О. Существует окрестность Уо(хо), о > 0 такая, что ('(«) Ф О, х ч Уо(хо), х ф ло (рис.29). Если бы ыепьзя было выбрать такую окрестность, то существовала бы посведоватепьность точек («„), йщ х„= хо, х; ~ л~,,Ц«„) = О. По ь->со теореме единственности дпя аналитических функций отсюда следовало бы, что У'(х) = О, х б Уо(хо). Это противоречит однопистности функции П ).
Разложим функцию Дх) в ряд Тейпора в Уо(ло): у(«) = ~о„(х — х )" = по+~~» в„(х-хо)", й > 2, ао ф О, а, = 0 = у'[хо). Введем функцию оо(«) = ,'.) а„(х — хо)". Можно выбрать окрестность Уц («о), О < 6, < б такую, что ~р(«) Ф. О, «е Уо,(хо), « ~ ло. Локвзатепьство этого факта аналогично предыдущему. Обозначим ппп ~~р(л)~ = р-со~ и гп > О. Пусть 0 с )а( < пз.
Рассмотрим в Уи(хо) две функции <р(х) и фх) + а. На границе ~х — хо ~ = 61 справедпиво неравенство (1о(х) ~ > а, поэтому по теореме Руше функции 1о(х) и ~р(х) +а имеют одинаковое число нулей в окрестности Уи(хо). Функпия у(л) имеет, по крайней мере, два нуля с учетом кратности в точке ло, поэтому функция р(л) + а в окрестности Уо, (хо) имеет не менее двух нулей х, и хз. Покажем, что «з и лз различны и х, Ф. хо, хз 74 хо. Если бы х, ипи «з совпадали с хо, то а = О, но это ые так. Предположим, что точка «1 — нуль кратности большей ипи равной двум. 'Гогда в окрестности точ~~ л~ функция ф~(х) +а = (х-х~) у»(х), где функция о»(«) е А(У,(«1)), е > О.
Следовательно дпя функции Дх) справедливо представление У(х) = ао — а + (л — «,)зф(х), а тогда У'(«,) = О, но точка «1 е Уи(хо) с Уо(хо), в окрестности Уо(хо) у'(х) ф О, «7О хо. Итак, существуют, по крайней мере, две точки л1 ~ хз такие, что ~Фъ) + а = зо(хз) + а = О, а тогда У(хз) = У(«з), что противоречит однопистности функции Дх). Следствие доказана Следствие 2 (теорема Гурвица). Пусть зодана последовательность функций „х, У„х е А П, 'оп с 1о1. Последовательность равномерно внутри сходится к фуыкциы у(х) ~ О, х Е О. Тогда дпя любого коытура Г С Р, 1»г С .0 и не проходящего через нули у(х) существует число по = по(Г) такое, что дпЯ любого и > по(Г) число ыУпей Иг„= юг в Вг.
Локазательство. Пусть пз = ппп Щх)( > 0 и О с р < гв. В силу равносег мерной сходимости внутри области В (à — компакт) последовательности Ц,(х)) существует число по = по(Г) такое, что дпя любого и > и (Г) справедливо неравенство По теоРеме РУше отсюда спедУег, что ИГ = Фу+1у„у, = Д~Г„(чиспо ыупей внутри ЮГ). Теорема доказана. Пример иа теорему Рупю. Рассмотрим многочден Р(х) = хо — 4«о + лз — 1. Пусть у(х) = -4«о, ~р(х) = хо + хз — 1. На окружности Ц = 1 справедливы неравенства По теореме Руше функции У(х) и у(х) + ~р(х) = Р(х) имеют внутри единичного круга ~х~ < 1 одинаковое число нулей, а именно 5.
Положим у(х) = хо, 1о(«) = -4«о+ хз — 1. На окружности ~«~ = 2 справедливы неравенства ~Оо(х)~ < 1+2 +2~ <2о, Ях)~ = 2о. По теореме Руще мыогочпен Р(х) имеет внутри круга ~л~ < 2 ровно 8 нулей. Тем самым в области 1 < ~л~ < 2 у многочпена Р(х) три нуля (рис.ЗО). Лекция 13 Конформные отображения. Основные принципы конформных отображений.
Ранее, рассматривая дифференцируемость функции у(х) в точке»а, мы дали определение конформного отображения в точке ха, а именно: непрерывное отображение У(х) является конформным в точке ха, если оно сохраняет углы по величине и по направлению между любыми двумя гладкими кривыми, проходящими через эту точку. Было показано, что если функция Дх) аналитична в точке»ц и у'(»а) ф О, то в этой точке функция У(х) осуществляет конформное отображение. Рассмотрим функцию у(х) аналитическую в точке ха. Из аналитичности функции 1(х) в точке следует ее аналитичность в некоторой окрестности У,(ха) = Цх-ха~ < г), г > О.
пусть |'(ха) э1 О. покажем, что тогда функция 7(х) некоторое открытое множество, содержащее точку хц, переводит в некоторую окрестность точки ыа = ~(ха), причем отображение взаимно-однозначное. Таким образом, справедливо Утверждение. Пусть функция Дх) аналитична е тачке»а, у'(»а) ф О, тогда функция Дх) локально однолистиа и некоторое открытое множество, содержащее тачку»ц, отобралсает иа некоторую окрестность тачки юа = Дха). Покажем это утверждение.
Так как функция Дх) аналитична в 1г,(ха), г > О, то ее можно разложить в ряд Тейлора в этой окрестности Дх) = аа + ~ а«(х — ха), ~х — ха! с г, аа = П»а) = а~а аг = У'(ха) ф О. «=.1 Рассмотрим функцию аа(х) = 2 а«(х — ха)" = (» — ха) ~„о (х — ха)" '- ««1 «1 Так как а, ф О, то существует б: О с б < е такое, что при ~х — ха~ < б функция 1а(х) ф О, кроме точки х = хц, причем хц — нуль 1 порядка. Пусть т = пйп ~рЩ > О, а а — любое комплексное число, такое, ! -*а!=» что О < ух) < т. По теореме Руше функция у(х) + а имеет столько же нулей в области ~х — ха~ < б, сколько и функция у(х).
То есть функция аа(х) + а имеет один нуль», ф ха, ~»1 — ха( с б. Тогда Д»,) = 1а(х,) + аа —— аа — а = юа — а. Тем самым, мы показали, что для любого а: О < ~а~ < т существует прообраз точки х,: Дх,) = юа — а. Или, что то же самое, окрестность точки ма . 'р» — ща~ < ~т~ имеет прообраз в окрестности ~х — ха~ < б, отображение взаимно-однозначное. В силу аналитичности функции Дх) в области ~х — »а ~ < Ю прообраз открытого множества есть открытое множество.
Утверждение доказано. Отсюда как следствие вытекает Теорема. Пусть фуикци» у(х) е А(Ю), Ю вЂ” область, у'(х) ф. О, х Е Р. Тогда функция Дх) область В переводит а область С = у(Р) — образ Ю. На самом деле, мы показали, что 1(В) — множество открытое, а связность ДВ) следует из того, что аналитическая функпия переводит непрерывную кривую в непрерывную кривую. Не нужно думать, что взаимно-однозначное соответствие сохраняется, если во всей области В у'(х) ф О. Например, рассмотрим Дх) = хз, 11 = ( — я/4 < аг8 х < я) (рис.31).
Рис. 31 В этой области у'(х) = 2» ф О, х Е Ю, но функция у(х) не является однолистной: у (е 'к) = у (е '(" я)) . Мы показали, что если у'(х) ф О, х й П, то взаимно-опнозначное соответствие — локальное свойство. Поэтому, в дальнейшем, мы под конформным отображением области В на область С будем понимать взаимно- однозначное непрерывное отображение, сохраняющее углы по величине и по направлению. 108 В 1936 году Д.Е.Меньшов (7] доказал теорему, что если функция у(х) осушествпяет конформное отображение области Р на область С, то )(х) й А(Р) (теорема без доказательства).
С другой стороны, мы получим, что если у(х) е А(Р) и однопистна, то у'(х) ~ О, т.е. она осуществляет конформное отображение области на область. Итак: 1. Функция у(х) дает конформное отображение области Р на область С тогда и только тогда, когда у(х) е А(Р) и одиопистна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
