Леонтьева. Лекции по ТФКП (1118496), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(6-,)(Л(В")-Л(В )]" м-го!се в 1 /' Вз г.з Н<-.— ], В < 2 2в. ~ Вз + тз — 2тВ сов(д — р) вг-юо!ив в 1 1 Вз тз в 2 2х,/ Вз+ гз — 2тВ сов(д — гр) ~ 2' о Рис. 52 )т (Нз тг) ?т(Н тр) твр 2тт 1 Нз + тз —. 2тй сов(6 — тр) о или 132 1 Г (Яз — тз) [?т(В, ро) — И(Я р)] Оценим интеграл .Гз = — ( ', ', доз. Так 2к / Вз + тз — 2тЯ осе 10 — ~р) 1 -то1>о 6 как о — т ро, то расстотрим В: ]й — ооо] < —, тогда В и от удовлетворяют неравенствам 6 ]в- р[~ -, [оо — ро[ > 6 > О, б б б т.е.
— < [о — р] < 2тт — — или оса(9 — р) < сог — < 1. Пусть М = 2 2 2 тпах ]Ь(В, тр)[, тогда те10,2м1 1 (11 — тз) ° 2М 1 2М 2 (Вз — тл) ],Ч< 2к .1 Нз+ тг — 2тВсогб/2 2о Ио+ тз — 2тй сов б/2' дзо < — ' )т-тч)>б Так как т -+ В, то Че > 0 Зб'(г, 6) > 0 чт: ]т — В] < б' -+ ] Гз[ < г/2. Тем самым 1пп и(т,й) = ?ъ(Кото). от-+л Итак, для случая круга решение задачи Лирихле имеет вид Рассмотрим случай полуплоскости. Предварительно докажем теорему: Теорема.
Прстпь и(х,р) = и(л) гармоническая функция в односвяэной областпи Р и функция то = Г(л) конформно отпображаетп областпь Р в областпь С, тогда фрнкция и [Г т(то)] есть гармоническая фрнкция в областпи С. Иначе, конформное отпображение областей сохраняетп топкое свойстпво функций как гармоничностпь. Доказательство. Так как область Р— односвязнгя, то существует аналитическая функция Ф(л) = и(х, р) + те(х, р), Ф(л) Е А(Р).
Но так как функция Г(л) кснформно отображает область Р на область С, то функция Г '(то) й А(С). Поэтому суперпозиция функций Ф[Г т(то)] аналитична в области С, а ее действительная часть Не Ф [Г '(то)] = и [Г '(то)] есть гармоническая функция в С, что и требовалось доказать. Задача Лирихле для полуплоскссти: найти гармоническую функцию и(х,р) = и(л) в области (Ьпл > 0), принимающую на действительной прямой 1тл л = 0 заданные непрерывные значения а(х), т.е. Ьи = О, л Е (1тпл > О), и(х) = тт(х), а(х) Е С(1ш л = О). Замечание. Непрерывность функции на неограниченном множестве Р подразумевает, что существует предел Опт а(х) = Со — конечное число, а ь-ко также йш и(л) = Со.
Таким образом, функция ст(х) ограничена: ]а(х) ] < *ео С, 1лп ст(х) = Со, функция и(л) непрерывна в Р (рис.52). лчоо Конформно отобразим верхнюю полуплоскость Ьпл > 0 на внутренность единичного круга ]ю[ < 1, так что точка ло = хо + тро, ло Е (1шл > 0) перейдет в точку тоо — — О. Например, отображение то(л) = л — ло — удовлетворяет этим условиям.
При этом отображении непрерывл — ло ная функция а(х) перейдет в непрерывную функцию /фо), тр Е [0,2тг]. По доказанному ранее гармоническая функция Н(т, Р) в круге ]то] < 1 и принимающая значения на границе круга — ?т(~р) есть функция вида гн 1 Г 1 — тз й(., в) — 1 й(р) дд, О «1. 2х,/ 1+ тз — 2т соо( — у) о 1 Г При т = 0 функция Н(0) = — / ?т( р) дтр.
2к,т' о Сделаем обратное преобразование, перейдем с единичной окружности на действительную прямую, тогда х — ло; .. х — ло — (х — ло) то = еч' = —, дет" = те"'йр = дх * — ло* (х — г~>)з 1 х — ло ло — ло ло — ло 2ро йр= т— — а г '1*. — )з ( )( — ) ( )а+ з Учитывая, что при конформном отображении гармоничность сохраняет- ся, будем иметь 1 Г а(х) гЬ (*мрэ) = рэ / ( ) — решение задачи Дирихле для полушюскости. Рассмотрим общий случай. Определение. Функция С(я, ч), к, с Е Р (область) является функцией ис- точника для первой краевой задачи для уравнения Лапласа или функцией Грина для области Р, если 1 1 1.
6(х,4) = — 1п — + д(х,~)> к,~ Е Р, 2гг ~к — (~ функция д(э, ~) является гармонической в области Р по х при фиксиро- ванном ~, т.е. Ь,д(х,4) = О, 2. С(я,с)~ = О. Коли существует функция Грина для области Р, то решение задачи Дирихле имеет вид — — й(од, Г дб(х,6 дп эо я Е Р, с с дР, глг — дифференциал длины дуги, производная берется по внутренней нормали. Этот факт мы не будем доказывать, как и рассматривать вопрос, для каких областей супиствует функция Грина. В случае, если область Р— односвязнэя с границей ЬР— замкнутой, кусочно-гладкой, жордановой кривой, функция Грина всегда существует. Рассмотрим связь между существованием функции Грина для области Р и ее конформным отображением на внутренность единичною круга. Рассмотрим односвязную область Р, граница которой содержит более одной точки. По теореме Римана такую область можно конформно отобразить на внутренность единичного круга ~пг~ < 1: Р -+ ~гя~ < 1, так что точка ~ с Р -+ пг = О.
Пусть это отображение задает функция И'(я,с) г Иг(ф,~) = О, ~Иг(з,4)~, = 1, ~РР(х,б)~ < 1. Поэтому эта функция имеет вид Иг(я () — (я — Дгр(з,(), ~р(я,~) Е А(Р), ~р(к,() ~0, я Е Р. Та как дг(х,я) ~ О, то 1пгР(Я,Ч) Е А(Р) и действительнак часть В 1п Зз(я, я) = 1п ~р(з,~)~ гармоничная функция в Р. Итак, 1п!И (з,(')(=1п! -6+1л!э(' О! или 1 1 1 1 1 1 1 — 1п = — 1п = — гп — — — 1л~гр(я,ф)~ = 2гг ~Щя, ~)) 2к ~я — а~р(х Я~ 2гг ~х — ц~ 2и 1 1 = — 1и — + д(я, (), 2я ~я — Я д(я, ~) есть гармоническая функция по я в Р при фиксированном ~. Так 1 1 как ~Иг(х,()~ — 1, то — )и, — 0 и, тем самым, функ- 1 1 ция — 1п, — есть функция Грина или функция источника для области Р.
Поэтому, решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в области Р или найти конформное отображение области на внутренность единичного круга или найти функцию Грина для области — задачи эквивалентные. В случае, когда область Р— круг или верхняя полуплоскость, мы в явном виде нашли решение задачи Дирлхле. Задача 40. Пусть в области Р задана действительная функция и(х, р) Е С(Р . Доказать, что если для функции в(х, р) справедлива теорема о среднем: для любой точки яэ е Р найдется Хгг(ге) С Р, б > О, и(хе, рэ) = 1 à — / и(хе+ Юеч') Йр, хе = хе+ 1ре, то функция и(х,р) гармонична в обо ласти Р. 'гз~ 41.~ я гармонических в области Р, сходится в некоторой точке (хе, ре) Е Р, при этом и„(х,р) < и„г(х,р), (х,р) Е Р, то зта последовательность (п„(х, р)) сходится равномерно внутри области Р.
Задача 42. Доказать теорему Гарнака. Пусть ряд Х и„(х,р) сходится Г:::Л и=1 в точке (хе,ре) Е Р, где функции и„(х, р) гармоничны в области Р и неотрицательны, тогда ряд сходится равномерно внутри области Р. В заключении отметим следствие из решения задачи Дирихле для круга, относящееся к рядам Фурье. Следствие. Пусть задана функция Г(а) е С([0,2к)). Для такой функции определены коэффгщиенты Фурье.
Запишем формальный ряд Фурье, 135 соответствующий этой функции < — У У(С) япСй сов + 1 о + — Г(С) вш игй вш на о Лекция 17 с 1 à — т Г(С) совпСй созна+ о и(,,а) = — С Г(С)й+~ 1 Г 2»г а 1 + — т Г(С) в»пнгй вшна 1 Г о гр(г)»Сг. о т" Интеграл вида Р(р) = »р(г)е *г»Сг, о 13б 137 Используя решение задачи Лирихле для круга, например, единичного, будем иметь гармоническую функцию и(»; а), т < 1, так что Ъш и(т, а) = Г(а), сходимость равномерная по а, а б [О, 2к]. С другой стороны, гармоническую функцию и(г, а) можно разложить в ряд (см. лекцию 7, разложение (1)) равномерно сходящийся по а, а й [О, 2»г]. Итак, сам ряд Фурье непрерывной функции Г(а) может расходиться в некоторой точке а (примеры таких функций смотри, например, в книге Натансона [8]), но ряд для функции и(т,а) сходится равномерно по а, а б [О, 2»г].
Тем самым по заданному ряду Фурье, который может и расходиться, мы получили способ определения функции Г(а). Иначе говоря, мы просуммировали ряд Фурье методом Пуассона-Абеля. Отсюда можно получить теорему: Теорема Вейерштрасса. Ялл любой непрерь»еноб функции Г(а), Г(а) Н С([0,2к]) существует тпригонометприческиб многочлен T(а) такой, чтпо И > 0 [Г(а) — Т(а)[ < г, Ча 6 [0,2»г], тп.е.
любую нгнрерь»оную функцию на [О, 2к] мозкно раеномерно нриблизитпь тпригонометприческими многочленоми. Замечание. О методах суммирования расходящихся рядов, в частности, о методе Пуассона-Абеля, можно прочесть в книге В.А.Ильина [4]. Интеграл Лапласа и его основные свойства. Пусть К вЂ” луч: ехбг = о»о и р(г) — функция, интегрируемая на А л Если существует предел 1пп [ р(г) »Сг, то он называется несобственным о лет интегралом по Р и обозначается при условии, что он существует, называется интегралом Лапласа или преобразованием Лапласа функции г»»(г).
Мы будем рассматривать частный случай преобразованы Лапласа, когда луч Х есть положительный луч К+ действительной оси, более общий случай рассматривается, наприыер, в книге А.Ф.Леонтьева [2]. Определим класс функций Г(С), на котором введем интеграл Лапласа. Функции Г(С), вообще говоря, могут принимать комплексные значения, но С Н Й+, будем считать, что при С < О функции Г(С) = О, Г(С) — непрерывны на луче И+. Также будем считать, что для любой функции Г(С) существуют константы М(Г) > О, о(У) такие, что [Г(С)[ < М(Г)е'™вЂ” оценка роста функции Г(С) при С -+ +ос. Назовем показателем степени роста функции ДС) величвну 1пГ а(/) = ао, тем самым »Сг > 0 ВМ, .
[Г(С)[ < М е» +О» С и к1+ Интеграл Лапласа Р(р) = 1' 1(«)е Р' й называют изображением функо ции Д«), саму функцию Д«) — оригиналом, при этом соответствие между с («) и Г(р) будем обозначать ,с(«) =. г(р), г(р) 4 т(«). Выясним свойства преобразования Лапласа: Свойство 1. Интеграл Лапласа сходится равномерно по р в полу- плоскости Ве р > а, > ао. На самом деле справедлива оценка ~ -рсу(«) ~ с -вор сь е( ) ~ < М -оьс+(ос+о]с )се -с(оь-«оооея где во + г < аь, г > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
