Леонтьева. Лекции по ТФКП (1118496), страница 20
Текст из файла (страница 20)
По теореме Меллина, зная изображение, восстановим оригинал р(Ф), имеем р(!) = — ! ее~у(Р) г!Р, * > Вер > ао, 2х1,/ ао — показатель степени роста функции. Если У(р) в полуплоскости Нор < ао имеет конечное число особых изолированных точек р~, рз,..., Рь и 1пц У(р) = О, то я"+оэ Покажем это утверждение. Рассмотрим контур Гл, образованный час- тью окружности Сл — окружность 1х~ = В, где В -+ +со, и от- резком (х — !ЛР— хз, х + !~Я~ — х~~, расположенным на вертикальной прямой, проходящей через точку (х, 0), х > ао (рис.53).
1 Р(Г) = 1цц —. с~У(р) ар = л- +с» 2яр По лемме Жордана 1пп ) ему(р) г!р = О, 1 > О. Поэтому ""+" с, Рассмотрим ряд примеров. Пример 1. Найти решение уравнения Перейдем к операционному уравнению Р' ~У(Р) — — — —,~ + 4Р ~У(Р) — -~ + 4У(Р) = Р(Р). Р Р Р~ Учитывая начальные условия, будем иметь 3! — +Р+ 6 (Р+ 2)~ 3! 1 4 У(Р)— + — + (Р + 2)' (р + г) р + 2 (р + 2)з Используя свойства преобразования Лапласа конкретных функций, окончательно получим Пример 2. Найти решение уравнения еР«1 гëà еР« рЯ (рз+ Цз 2« ' дрз ( (р+,)з а оригинал у(1) = —. ~( "1'(р) др 1 Г 2тг,« полюсов, то 4У.
э~с~ ь ( х"(1)+ а х(1) = Ьзш(аз), х(0) хэ х (О) = х«. Пример 3. Решить уравнение зхь(1) + (1 — н)х'(г) + х(1) = О, х(0) = х'(0) = О, п б К. или р Х'(р) + [р(л + ц — 1)Х(р) = О. но так как С е Х(р) = 150 151 Изображение функции у(г) — У(р) имеет вид 1 р~+1 (р) а+2рз+1 ( р+ цз Так как У(р) имеет на комплексной плоскости только конечное число ер« ер' Покажем, что г«и комплексно сопряжен с гш, „. Вообще, ,. ( э+цз «(рз» цз справедливо следующее утверждение: утверждение. Пусть Р(р) «е(р) — многочлены с дейсгпеитпельнмми коэффиииенн«ами, тогда гсз ер' ° — = гсз ер' где многочлены Р(р), чг(р) не имеюп«общих корней, а «почки а ж 1Ь— нули многочлена Я(р). Р0) Доказательство. Разложим функцию еР'. — в ряд Лорана в окрест'Фр) ности точки а + «Ь ер' — = ~~«а„~р — (а+ 1Ь))", а 1 = гез ~е Фг) ' =.
( ж)1' то ер« — ) = ер' - — = ~~«а„(р — (а — «Ь)!", РР(р)~ у«Р(р) Фи)) Фр) , РЫ это есть разложение функции ер' — в ряд Лорана в окрестности точки ЯЯ Р()) а — «Ь, т.е. геэ ~е"' ° — ~ = а 1. э=а-«ь '1 с«(р) ~ Применим это утверждение к нашей задаче. Достаточно вычислить гй ( э+ цз' Имеем е" еа Нетрудно вычислить, чтогез > р «(рз+Цз 2з.; = —, (-4гз — 1211 + 12), Используя свойства преобразования Лапласа, получаем У(Г) = — (-121) + — (-4$ + 12) = --1 соя З + — ( — Ф + 3), соз г эпз з 3 э1пз 2 2з 8 8 Пусть х(1) ф Х(р), перейдем к операционному уравнению: хь(1) =; рзХ(р), зхь =. — 2рХ(р) — рзХ'(р), — 2рХ(р) — р Х'(р) + (1 — и) рХ(р) + Х(р) — О, Решая это дифференциальное уравнение, получим Поэтому х(г) = С ° гг „7„(2чЛ), где Г„(х) — функция Бесселя п-го порядка или цилиндрическая функция 1 рода н-го порядка.
Если рассмотреть так ь 11 называемую производящую функцию ез« и1 для функций Бесселя и-го порядка, то функции Бесселя можно трактовать как коэффициенты в зС -Ы; разложении ряда Лорана функции ез ез! ~ = ~~ .У„(х)!я", О < )ю$ < со. Ф нкции Бесселя можно представить также как решения дифференци- у ального уравнения: гзхк+ Зх'+ (зз — Л')х(С) = О, Л Е Е, и еще одно представление функций Бесселя, но уже через интеграл: 1 " з~ 4~ 1 ! (х) = — аю = — / соз(хе!их — их) ах.
2я! щл+1 Я ~щ)=! е Последний интеграл носит название — интеграл Бесселя. Пример 4. Решить систему уравнений х!!(!) = охе(4)1 х'„(1) + ахьЯ = ах! !(1), Й = 1,2,..., и, хе(0) = 1, х!(0) =... = х„(0) = О. Пусть оригиналы н изображения имеют соответствие хе(!) =: Хэ(р); хь(1) Ф Хь(р), "= 1 2 ° . Операционная система имеет вид < 11 , Х.(,)--~ =--~.(), рХь(р) + аХь(р) = аХь,(р), й = 1, 2,..., и. Отсюда следует, что 1 а Х.(р) = —, Х,(р) =, а+р (а+ р) а' Х (р) = ., ! = 1,2,...,и.
! ( + )!ча $ !" ' Переходим к оригиналам: х (1) = е ' —,г! = — е, ! = О, 1,..., и. ни* р * им* зр х'(с) + х(1) — у(е) = е' у (!) + Зх(г) — 2у(1) = 2е! х(0) = у(0) = 1. Применим преобразование Лапласа к решению уравнений в частных производных. Рассмотрим уравнение тешюпроводности ц(х.е) =аи (х,е). и(х,О) =О, и(0,1) =па =соиз1, /и(х,!)~ <М, Функция и(х, $) — распределение тепла в стержне 0 < х < +ос, боковая поверхность стержня изолирована.
Будем искать решение в классе функций„для которых определено преобразование Лвлласа. Пусть оригинал и изображение связаны следующим образом +Со и(х, г) =: Р(х, р) = е яки(х, у) !(у. е Переходим к операционному уравнению: рР(х,р) = азг",",(х,р). Решение этого дифференциального уравнения есть функция !ся Р(х, р) = С!е я *+ Сзе а *.
Константа Сз — — О, так как по условию функция и(х,$) ограничена„ +оа (и(х, 1) ~ < М. Константа С! = Г(О,р) = ) е Я! сй = —. Итак, Цх,р) = о р ие . —. Этой функции соответствует оригинал р и(х> г) = — ие е " !зУ = ие 1 — Ф м~! 2 с где Ф(х) = — ) е я ау — интеграл вероятностей. ~Фо 152 ии=ия~, О<х<1, и~ =и~, =О, и~, = з1пих, и,) = О.
и(х,г) ф г"(х,р) = е ™и(х,р)ду. з р~г(х,р) = Г' (х,р) К(х,р) = — зшях р рз„+ тз и(х, 1) = зш(хз;) . соз(х1). 155 е -а,ф Мы использовали тт факт, что изображению — соответствует р ОО оригинал — ) е з Ир. ~Я ~ Рассмотрим задачу о колебании струны. Решить уравнение в частных производных Задачу можно трахговать хах задачу о поперечных холебаниях струны, закрепленной на ловцах (х = О, х = 1), функция и(х,г) — отклонение струны от оси х, 1 — время.
Процесс колебаний струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей (1 = О). Решение как и ранее будем искать в классе функций, для которых определено преобразование Лапласа. Пусть Операционное уравнение имеет ввд рзГ(х,р) — рз1пях = Р' (х,р). В силу граничных условий однородное уравнение имеет нулевое решение. Частное решение имеет ввд Этой функции соответствует оригинал В заключение хочется процитировать слова знаменитого ученого М,В. Келдыша [9), так много сделавшего в теории конформных отображений. "Т ия ан сор алвтичесхвх фувхций вознихла в связи с задачей шелия алгеб еских уравнений.
Она дала возможность пролить свет на решеосновные классы ж ° в — выдвину™ Развитием анализа, механики яд центральных фактов анализа мог быть до ловца понят толыю при выходе в комплексную область. Функции комплексного переменного и олучиюз непосредственно физическую интерпретацию хах характеристики важнейших векторных полей гидродинами злехтродинамнхи. Обнаружились связи теории функций с задача- ими теории тепло о н ди е н фф ренцивльвых уравнений и специальные методы их решения ши ии ао опирались и опираются на теорию функций комплексного переменного.
Анзлитичесхие л фувхпии естественно вошли в теорию интегральных уравнений и абплло тео ию лввейних Р лнвейних операторов. Обнаружились тесные связи теории аналитических фувхций с геометрией." Список цитируемой литературы. 1. Лейбниц Г. "Математическая энциклопедия." т.2, М. 1979г. 2. Леонтьев А.Ф. "Целые функции. Ряды экспонент." М. Наука, 1983г. 3.
Гелбаум Олмстед "Контрпримеры в анализе." М. Мир, 1967г. 4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. "Основы математического анализа." М. Наука, 1973г. 5. Маркушевич А.И. "Теория аналитических функций." М. Наука, т.1, т,2, 1968, 1968гг. 6. Привалов И.И. "Введение в теорию функций комплексного переменного." 7. Меньшов Л.Е. "Избранные труды. Математика." М. Факториал, 1997г. 8. Натансон И.П. "Конструктивная теория функций." М., 1949г. 9. Келдыш М.В.
"Математика, ее содержание, методы и значение." АН СССР, 1953г. Список рекомендованной литературы. 1. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. "Теория функций комплексного переменного." М. Наука, 1979г. 2. Бицадзе А.В. "Основы теории аналитических функций комплексного переменного." М. Наука, 1969г. 3. Маркушевич А.И. "Теория аналитических функций." М. 1950г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
