Леонтьева. Лекции по ТФКП (1118496), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Функция е сс ь «"+ей — мажоранта для функции г рсд«), по признаку Вейерштрасса интеграл Лапласа будет сходиться равномерно в +со Вар > аь, так как сходится интеграл 1' г сь" «"+'1ьд«, при этом сарае ведлива оценка 1 7(Р)1-. Ме Н ( )е отсюда 1пп Г(р) = О, будем считать поэтому, что Р(оо) = О. Ве р-++со Замечание. Если функция Я) имеет показатель степени роста ао, то функция «" Д«), и ~ 1ь«имеет тот же показатель степени роста. Отсюда следует, что интеграл +со +со | с ь."тсь'=Ус-'г. тсь" сходится равномерно в полуплоскости Пер > аь > аа. Теорема.
Прстпь фрикиия Ф(р,«) Е А(Р) тю р при рсиксированном «6 (О, +со), р 6 Р, ртрикиия Я) игпрврмвиа иа (О, +со). Сртигстпвртопь интпггральь 1' Ф(р,«Щ«) й, 1 Ф„'(р,«Щ) й, р Е Р, причем последний а о интеграл сходитпст равномерно ло р й Р. Отпсюда слгдретп„чтпо интпегрвл ( Ф(р, «)Д«) д«б А(Р) и а < +ос +со Ф(р, «)|(«) й = Ф,(р, «)У(«) "«. о о 136 Доказательство.
Пусть Ф(р, «) = и(х, р, «)+си(х, р, «), р = х+ср. Так как функция Ф(р, «) Е А(Р), то функции и(х, р, «) и и(х, р, «) — дифференцируемые по х н р н выполняются условия Коши-Римана: и', = и„', и'„= — е', при этом Фр(р, «) = и (х, р, «) + си' (х, р, «), Так как интеграл 1' Фр(р,«Щ«)д«сходится равномерно, то сходятся а равномерно интегралы й (х,Р, «)У(«)д«, У.'(х,Р, «И(«)д«, и(х, Р, «)тд«, и(х, р, Ч(«)с««. о о а о Поэтому справедлива теорема о дифференцировании интеграла под знаком интеграла (теорема из курса математического анализа, смотри, например, В.
сь.Ильин (4)). Будем иметь | Ф,'(р, «) У(«) й = | (й + си.') |(«) й = о о / +со /+со с = ~ | и(х, р, «) 1 («) с«« ~ + с ~ | и(х, р, «) |(«) с««) а о е +со Не | Ф(р,«Щ«)с««~ +с ~Хит | Ф(р,«)1(«)с««) о — 7Ф(.,«)Ф)й Итак +оо Ооо Ф',(р,«)У(«) й = Ф(р,«)У(«)й о о р функция 1 Ф(р,«)т(«) й й А(Р), р й Р. Теорема доказана, о Применим эту теорему к функции Ф(р, «) = е Р', тогда +со г" (р) = — «г 'У(«) й, о 139 У,($) 4 е ' г'(р). На самом деле Имеем сй = е "' (с(тЩс — т) с(т о о с ус(тес — т) Йт о ср(с) Ф е сс о Ят) о е ос1з(с — т) сп Т- о О , гст, т>0, Иг) = у(с — т), с>т, 140 141 учитывая замечание, сделанное перед этим, получим, что г (р) 6 А(Ке р > ао), -1Щ = г'(р) Свойство 2.
Интеграл Лапласа г (р) имеет производную сс-го порядка Р"(р) ч (-с)"У(с), г'(р) 6 А(Кер > ао). Свойство 3. Пусть функция Дс) имеет п производных с показателем роста ао, тогда ДО) ~'(0) г'с" сс(0) 1с ~йй(1) — ' рп к со) Кер > ао р рз Р" Покажем это утверждение методом математической индукции. При и = 1 имеем с со с ~.-"ссоа =.-"ссо~;"+ ~ 1".-"ссо о = -ссо+ атос В силу того, что р е (Кер > аоу, то Ксп е осД$) = О. с-с+са Предположим, что при п = Й утверждение верно, докажем, что оно будет верно и при п = й + 1: с' "м=) с""со - с"'ссь"+ ) -"с'"'ссо= о о р" р'+' ? Тем самым формула доказана для любого и Е И.
Свойство 4: Линейное свойство. Пусть гс(р) Ф ус(с), Кер > аь гз(р) Ф Ь(с), Вер > аз, где ас, аз— показатели степени роста функций Я1), уз(с) соответственно. Тогда сссгс(р)+азгэ(р) Ф ассс(с)+азсз(с), Вер > свах(о„аъ), ос,ссз Е С. Показательство следует из линейного свойства интегралов. Свойство бс Формула запаздывания. Пусть функция Яс) имеет вид тогда Яс) т( ( е осу,(с) с(с = ( е "с"+ су(и) сЕи, и = с — т. Так как о — т +со 1(с) = О, $ (О, то У,(1) 4 е "' ) е о"Ди)с(и = е "'Г(р), т.е. о Свойство бс Формула смещения. Справедлива формула е л У(с? ф г'(р+ Л), Ве(р+Л) > ао.
е "сЕя Ф е "' осяя й = г (р+ Л). о Свойство с. Пусть о > О, тогда 1(оэ)=; -'РЯ, В (Р) >,. сс.о=:/ ™л ~ =.-(-с"сы =- (с?. о о Свойство 8: Изображение свертки. с Функция ср(С) = 1 ЯтЦз(с — т) с)т называется сверткой двух функций. о Лля свертки справедливо равенство с ср(с) = Яс — т)уя(т) ат. о Пусть Рс(р) Ф уд(с), Вер > аь гз(р) Ф Л(1), Вор > аз, тогда свертке двух функций ср(с) соответствует преобразование Лапласа г'(р) = гс(р)- Рг(р), Кер > снах(ам аз). Покажем это, имеем 1.
Функция Хевисайда )' О, С<О, Х(С) = 1 1',.О' Х(с)=: Хе-"ас=-, В р>О, о р' гйт = 11 (т) о е ооуз(С вЂ” т) 1й |- о Уг (т) о | +оо е ' уз(и)ди о 11(т)е '" о е ия —, Вер > Кео. о1 Р— С1 — Ф) е-о — 4С=Р1(р) У($) еь Т „У(С) С =) о о о тогда Р(р) — „, Нор > О, Г(и+ Ц 142 143 Мы воспользоввлись тем, что ЯС), Ь(С) = О, С < 0 и справедлива пе- рестановка интегрирования, так как в области Пер > пик(ам аз) несоб- ственный двойной интеграл сходится абсолютно.
В последнем интеграле сделаем замену С вЂ” т = и, тогда й. = Рз(р) |1(т)е "'11т = Р1(р) ° Рз(р). о Свойство 91 Изображение интеграла. 1 Р( ) Если у(С) Ф Р(р), то 1о(С) = ) )'(т) ССт ф —. Покажем это. Пусть оо(С) = о р | у(т) г(т Ф Р,(р), тогда по свойству 3 д'(С) = Я) =; рР1(р) = Р(р), т.е. Р1(р) = —.
Р(р) р Свойство 101 Интегрирование изображения. Пусть у(С) =; Р(р), тогда — 4 1 Р(д) 131, при условии, что функция У(С) . С о рю,„ о — в точке 0 непрерывна или существует интеграл 1 — 4С, а > О. 1(С) На самом деле, имеем По свойству 2 Р,'(р) = — ) е "'1 (С)1СС = -Р(р). Поэтому о Р (р) = — Р(д) 1й1 + С, Р1(оо) = О, о У +оо +оо Р(11) гсл, Рз(р) = — Р(о) 114 + Р(1С) сС11 = Рй) г(4. о о о Изображение некоторых функний. показатель степени роста Х(С) — ао — — О.
2. Функция У(С) = е ', ао = Ке о, О1 3. Функция 1о(С) = осе 1оС = (е1 1+ е — ьоо) р 2 соя 1оС + Кер > ~1п11о~ .1/ 1 1 1 р р + 1мв) рз + и12 ' 1 4. Функция |(С) = зва 1оС = — (еьм — е оо'1), ао — — (1т со~. Имеем 21 11 1 1 1 и1 и ' 21 ~.р — ом р+Ы) рз+и11' 5. Функция С(С) = С', в > -1, ао = О. Замечание. При — 1 < и < 0 функция С" не является непрерывной справа о в точке О,но интеграл 1 С"й существует. о Рассмотрим функцию Так как функция Р(р) Е А(Пер > 0), свойства гамма-Функции Эйлера Г(р) мы рассматривали ранее, то пользуясь аналитическим продолжени- ем с положительного луча К+ на полуплоскость Ввр > О, получим берется та ветвь функции р"+«, что при х = О х"+« = р"+«( .
В гр=*>о частности при и = и Е И получаем О рв+« Возникает вопрос, всегда ли оригинал У(1) можно восстановить по его изображению Р(р). На этот вопрос отвечает следующая теорема. Теорема. Пусть функция г'(р) в полуплоскостпи Кер > а является из- ображениемм кусочно-гладкой функции Г(1), а — поюиатпель степени рос- тка Тогда Г($) = —, / ертГ(р) др, г, > а, 1 Г 2кт',г' 1 — тпочка непрерывности Г(8), интегрирование ведется по верппасаль- кой прямой, проходяигей через точку х.
Доказательство. Рассмотрим функцию гтт(1) = е ссГ(1), х > а. тог- да ФУнкциа гР(т) — кУсочно-гладкаЯ, Р(с) Е Ьт( — оо, +оо). В точках не- прерывности гр(1) (или, что то же самое, в точках непрерывности Г(1)) представляется интегралом Фурье 1 Г ур(1) = — / е чрср(у)ду, ур(у) — преобразование Фурье Функции ~о(т), +СО +СО + СО ур«(Л) утЛ еуз«е-с«Г(Л) ИЛ = е'т«с«У(Л) ИЛ = ОΠ— СО о — е-д -* (У(Л) дЛ = Р(х - тр), х > а, последнее равенство следует из условия теоремы. Отсюда 1 'Г,„ Щ = е мГ(Г) = — / е тоср(х — 1у) Иу 2тг Если у пробегает действительную прямую, то р = х — ту пробегэет вер- тикальную прямую, проходящую через точку х.
Окончательно, Г(1) = , / ет'Р(р)г(р = †, / еР'Р(р) Ир. 2тг( — 1) т' 2ку,/ Теорема доказана. Спрашивается, любая ли функция Р(у) Е А(Вар > а), Р(оо) = О является изображением некоторого оригинала Г(1)2 Сформулирует достаточные условия существования оригинала в виде теоремы: Теорема (без доказательства). Пусть г (р) Е А(Не р > а), 1нп Р(р) = Р-РОС Вср>с О. Для любавах > а суитестеует интеграл ) (г (р)~ др.
Тогда существуетп функция 1($), для которой У(6) Ф Р(р), Г($) = — / ется'(р) др, х > а. 1 Г 2тгт .г' Доказательство этой теоремы можно найти, например, в книге А.Ф.Леонтьева 12]. (Пр 43] Пу Оу РЬ) с п(п,( О, с р разложение в У,(оо) имеет вид а« «О1 1' Тогда ФУнкциЯ УР(с) = л(с)У(с), где л(г) — ФУнкциЯ Хевисайда, а ут(Р) = аь ), 1" ', является ОРигиналом функции Р(р) =; ~(т) т(С) докэзат г, (й — 1)! также, что Г(1) — целая функция. (у; уу.~ пу ПУУ— уУ(1)( < атерс(ц. тогда изображение Р(р) ф л(1Щ1) — аналитическая Функция в Кс(оо), е > О и ее лорановское разложение имеет в г У($) = — / ец' тз1Г(х — ту) ду.
2./ Так как / ~гу~ ) ! 1 )! рл 2"' lгя 2я! .! с, р(!) = ~ вогез г(емУ(р)~, Г > О. г=з о+ВОЮ р (!)+4р'(!)+4р(!) !зе га р(0) = 1, р'(О) = 2. р(г) = ~ гез '(е~'У(Р)~ . гэа Р(Р) + Р+ 2+ 4, 3! Рз+4Р+4 ' (у+2)о или УЗ! р(г) = е и ~ — !~+4!+1 ~5! р1~!(1) + 2р!з! (г) + р(!) = гйп 1, р(О) = р'(0) = р ' (О) = р ' (О) = О. Рис, 53 149 где Я„,(Р) — многочлен степени не выше и — 1, Я -з(Р) = ро(аор" ' + а,р" я + ... + а„ ,) + +1л(аоР +агр + . ° +а — з)+ +сор о Многочлен Х~Р) = аор" +агр" г+...+а„называется характеристическим многочленом, таким образом можно написать Р(Р)+Ю вЂ” Ы Р(Р)+Ю -г(Р) аор" + а,р"-' +... + а„Ь(р) И) Если начальные данные равны нулю, то Я„г(Р) = 0 и У(р) = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
