Леонтьева. Лекции по ТФКП (1118496), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Свойство 4. Симметричные точки относительно прямой или окружности перехспят в симметричные точки при дробно-линейном невырожденном преобразовании. Две точки х и х' симметричны относительно прямой Х, если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной прямой Х,, и точки х, х' равноудалены от Х (понятие, хорошо известное из школьного курса планиметрии). ах+ Ь Предположим, что прямая Х с помощью преобразования и(х) =— сх+ И переходит в прямую Ь', точка х переходит в точку и, точка х' — в точку и' (рис.34). Точки и и и' будут симметричными относительно Х,', так как в силу конформности отображения и(х), прямые, проходящие через точки х и х", или любая окружность, проходящая через эти точки, ортогональны прямой Х,, и, поэтому, образы прямой и окружностей будут ортогональны Х', а отсюда следует, что точки и и и' симметричны относительно Х,'.
Пусть теперь прямая Х переходит в окружность Х,' при преобразоваах+ Ь нии и(х) = . Тогда в силу конформности преобразования прямая сх+а нли любая окружность, проходящая через точки х и х', имеют образы, ортогональные окружности Х' и прохспяшие через точки и и и* (рис.35). Определение. Точка и* называется симметричной точке и относительно окружности, если прямая или любая окружность, проходящая через эти точки, ортогональна этой окружности. Из определения следует, что точки, симметричные относительно прямой или окружности, переходят в симметричные точки относительно прямой или окружности.
Рис. 36 1+ ов х=а+В °вЂ” 1 — нв Рис. 37 или 119 118 Покажем, что определение симметричных точек относительно окружности корректно, т.е. для данной точки всегда существует ей симметричная и она единственна (рис.36). Пусть есть окружность ~х — а~ = В и точка хо и ей симметричная ~очка хо.
Сделаем дробно-линейное невырожденное преобразование, прн котором окружность перейдет в прямую Ьп в = Π— действительная прямая. На- пример, рассмотрим преобразование При таком преобразовании точка 2и = — 1 соответствует точке х = а-2В, точка в = 1 соответствует точке х = а+ 2В, точка в = О соответствует 1+ ов точке х = а+ В, т.е., на самом деле, преобразование х = а + В переводит окружность |х — а~ = В в действительную прямую ?ш в = О.
Пусть точка хо соответствует точке во, тогда хо соответствует во— точка симметричная с во относительно прямой 1ш в = О, т.е. во = во. Имеем 1+ нво „1+ хво хо = а+  —., 4 = а+ В. —. 1 — ово 1 — хво 1 — ово 1 + ово ( — )(4-') В 1 — '"'1,— =В таким образом Вн х,',=а+= хо — а Итак, симметричные точки определяются единственным образом по исходной точке и радиусу и центру данной окружности. Из представления симметричной точки следует, что если точка хо лежит внутри круга, то точка хо лежит вне круга. Внеон ПУсть хо — а = еен~хо — а~, тогда хо — а = —, т.е. симметРичаЯ !о в Г точка хо расположена на том же луче, исходящем из центра, что и точка хо.
Точки, лежащие на окружности, симметричны себе, бесконечно удаленная точка симметрична центру окружности. Итак, дробно-линейное отображение симметричные точки переводит в симметричные. Вз Рассмотрим отображение в(х) = а+ =, оно называется инверсией х-а' относительно данной окружности ~х — а~ = В, т.е. отображение, переводящее точку в симметричную относительно окружности.
В частности, если 1 21г положить В = 1, а = О, то отображение но(х) = — = ~ -/ называется х х инверсией относительно единичной окружности, при этом внутренность окружности переходит во внешность, Рассмотрим два примера дробно-линейных невырожденных преобразований, на которые мы в дальнейшем сошлемся. Пример 1. (рис.37) Найдем общий внд дробно-линейного отображения, переводящего верхнюю полуплоскость на внутренность круга ~в~ с В. Пусть точка хо переходит в точку во — — О, тогда хо перейдет в во = оо, х — хо поэтому преобразование имеет вид в(х) = Л - —. Воспользуется тем, х хо что граница области при конформном преобразовании перейдет в границу, т.е.
при х = х, ~в(х)( = В. Имеем В= ~4 = = ~Л~г Л =Во*", в(х) =Во"р.— ~х —.~ х — хо — общий вид дробно-линейного преобразования. пр~ г. н~,~ г рю ~ ° ° рр, ршего круг ~х~ < В на круг ~в~ < В (рис.38). Лекция 15 Рис. 38 Л1 = -Л ° хэ. Поэтому ! Рис. 39 121 120 Пусть точка яе переходит в центр круга ве = О, тогда точка д] перейдет в точку ше = оо. Преобразсеание будет иметь внд я — яе я — хо х хэ (х) = Л вЂ” = Л вЂ” = — 'Л) ~э пз о х яо Так как граница ]х] = В переходит в гранину ]м] = В, то д, -„] ]Л] ] Л вЂ”,] ]Л1] Р" З х '1'' ~х — я4ч~ и ~Э '" — Ы х ]Л ] = Дз, Л, = Язе~, ю(х) =е Вз ° з — общий вид дробно-линейного преобразования, переводящего круг ]х] < В на круг ]ш] < Я.
Конформные отображения, осуществляемые функцией Жуковского, элементарными функциями (я", е', соэд, 1Ея). 1/ Функция ы(х) = — ~ х+ -) называется функцией Жуковского. 2~, я) Н.Е.Жуковский подробно изучал свойства этой функции в задачах азромеханики и гидродкнамики. Так как и(х) = ю(1/х), то на всей комплексной плоскости С не сднолистна, ю(х,) = гэ(хз), если х1 хэ = 1. Поэтому в области ]х] < 1 или в области ]х] > 1 функция гэ(х) однолистна и образ этих областей одинаков. Границу круга ]х] < 1 — ]х] = 1 функция Жуковского отображает на отрезок ( — 1, 1] действительной оси, обходящийся дважды (рис.39) ]х] = 1, х = е*", у 6 (0,2и], в(ев') = сезар.
у ть х х+Ю ю = ~Ог+мэз Внутренность единичного «руга ]х] ( 1 переходит на всю комплексную плоскость С с выброшенным отрезком ]-1, 1]: ]х] < 1 -+ С ~ (-1, 1]. Рис. 40 ~(+Б з8- ) Рис. 41 Рис. 42 123 122 Рассмотрим окружность ~я~ = т, 0 < т < 1 и найдем ее образ 1У при отображении и(я) = — ~я+ -), Если ф = г, то я = ге'"' и 2 (~ и(те т) = — ~те'т+ — ) = — ~го<ну+ -сову) +з- ~твш р — — вш р или и1 = — ссн р ~1 + -), из = — апу ~г — -).
Когда точка я пробега- 2 ~, т)' 2 ~ г) ет окружность |к~ = т, ее образ и(я) пробегает эллипс с фокусами в точках ж1 и полуосями — ~т+ — и — — — г Рассмотрим тачки, лежащие на радиусе единичной окружности и их образ. Пусть 0 < р < —, тогда г = те"~, р — фиксировано, 0 < т < 1. Образ этого радиуса есть часть гиперболы г — — =1, из<0, и1>0. Если рассмотреть радиус при — < у < О, то образ есть часть гипер- 2 балы, из > О, из > О. Аналогично, образ радиуса при — < у < я есть часть гиперболы, и1 < О, из < О, и образ радиуса при — к < у < —— есть часть гиперболы, и1 < О, из > О.
Таким образом, ортогональная сетка на плоскости я, состоящая из окружностей и радиусов, центры окружностей в начале координат, переходит в ортогональную сетку на плоскости и, состоягцую из эллипсов и гипербол. Отметим два часто рассматриваемых отображения областей: 1. Отображение верхней полуплоскости Ьп к > 0 с помощью функции Жуковского. Отображение переводит полупласкость 1шя > 0 на всю комплексную плоскость с двумя выброшенными лучами: СЦ( — оо, -1) О(1, +оо)) (рнс.40) .
При этом обратная функция я = и+ азиз — 1, имеющая две однозначные ветви, переводит С ~ ((-оо, -1) О (1, +ос)1 на полуплоскость, сана ветвь на 1п1 к > О, другая ветвь на 1га в < О. 2. Отображение нижнего полукруга: Щ < 1) й(1ш в < О) с помощью функции Жуковского. Отображение переводит полукруг на верхнюю пол уплоскость 1ш и > 0 (рис.41).
Рассмотрим функцию и(я) = я", и Е Я, и > 1. На всей комплексной плоскости С функция не является однолистной, но можно разбить плоскость С на и областей аднолистности функции в", например: область 2н 2я 1 Рь —— г: — (й — 1) < атб к < — й~, й = 1, 2,..., п (рнс.42). Область Рь функция я" конформно переводит на всю комплексную плоскость с выброшенным положительным лучем: С ~ К+. Если мы рассмотн рим область: 0 < вхбя < —, то функция з" эту область переводит на и' верхнюю полуплоскасть. Рис. 43 Рис. 46 .О» -+ С ~ Ц-оо, — 1] 0 [1, +ос)).
Рис. 44 Рис. 47 Рис. 45 125 124 Перейдем к функции ю(х) = е'. Так как эта функция 2я» периодична, то на всей плоскости С она не однолистна. Комплексную плоскость С можно разбить на счетное число областей Р» = 1х: 2и(й — 1) < Ьп з < 2як), й Е Е (множество целых чисел), на каждой из которых функция е* однолистна. Область .0» переводится на всю комплексную область с выброшенным положительным лучом — С'1 )й+ (рис.43).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
