Леонтьева. Лекции по ТФКП (1118496), страница 12
Текст из файла (страница 12)
На этой бесконечнолистной поверхности Римана функция Ьп я — однозначная функция и аналитична, за исключением точек я = О, к = со, которые являются точками ветвления. 82 83 Лекция 10 а„(х — хв)", ~~~ а«(» — »е)". К-ьь1«я 1 замену х — »ь — — —, тогда ю ~~> „(х — )" = ~~1 а „", «=1 Рис. 24 По интегральной теореме Коши М-«о1=м 1ь-*ь1«м Ряды Лорана. Изолированные особые точки. Ряд вида ~; а„(х-»в)", где (а„г — последовательность комплексных ««-с« чисел, и = О„ж1„~2,... — называется рядом Лорана.
По определению ряд Лорана сходится в точке х, если сходятся одновременно два ряда Область сходимости первого ряда есть открытый круг )» — »в) < В, В = 1 . Чтобы определить область сходимости второю ряла, сделаем 1пп ~/Я 1 последний Рхд сходитск в кРУге 1ю~ < тм т, —— , позтомУ Ьп фа «( ««-1 область сходимости ряда 2 а«(х — хь)«есть множество 1» — хв~ ) 1 = йш фа „(.
Итак, ряд Лорана сходится в кольце т с 1» — хе) < В при условки, что т с В. Если т > В, то открытой области сходимости иет у ряда Лорана. В частных случаях, когда т = 0 или В = со, получим область сходимости ряда Лорана или открытый круг с выколотой точкой или внешность круга или всю плоскость с выколотой точкой.
Ряд Я а«(х — хв)«иазы- ««О «=-1 вается правильиой частью ряда Лорана, ряд Я а„(х- хе)«называется «=-С« главной частью ряда Лорана. Так как ряд Лорана сходится равномерно иа любом компакте, лежащем внутри кольца (следует из свойств степенных рядов), то сумма ряда Лорана есть аналитическая функция иа области схоцимости ряда Лорана — внутренности кольца т < 1» — »в~ < В.
Верно и обратное утверждение, а именно, справедлива Теорема Лорана. Пусть 1бункция г(х) е А(т < 1» — хь) < В), то»да Функцию г'(х) можно разложить в ряд Г(») = ~ ~а«(х — »е)", т < 1» — хе~ < В, ряд сходится равномерно внутри кольца, разложение в ряд Лорана вдинстпвенно, при этом а г Г(г) дг и=0,ж1,~2, ..., тс р< В. -2-1 К-): Из вида коэффициентов а«определяющвхся фуикпией г'(х) уже следует единственность разложения. Показательство. Возьмем точку» б (»: т < 1» — хь( с В) (рис.24), тогда сУществУют»н и Р» такие, что т < Рь с Р2 < В, Р„< 1» — хе! < Рз.
и=о Ео = С. Поэтому Задача 32. Показать крятерий устранимой особой точки хо функции у х): точка хо — устранимая особая точка функции у(х) тогда и только тогда, когда существует конечный предел йщ У(х). 4 Ф3'О Если существует натуральное й такое, что а„= О, п -й — 1, -й — 2,..., но а о Ф О, то точка хо называется полюсом порядка й. Пусть точка хо — полюс порядка й, тогла разложение функпии У(х) в ряд Лорана имеет вид у(») = а о(х — »о) +а-о+1(х — го) +'+-" + +а (» — хо) "+~ а„(х — го)", О <!» — »о! < г яли у( ) . ( — )" = а + а + (» — о) + . + ~ ~а„(» — хо)"+о Ряд, стоящий справа, сходится в круге ~г — »о~ < т и представляет аналитическую функцию ~р(х), 1о(го) ~ О. Поэтому у(») , О < )х — го~ < г, лри этом Лпз У(») = оо.
Заметим, что функ(» — ')ь' Ф-1Щ цяя — = — аналитическая функция в ~г — »о~ < б (б < г) и 1 (х — хо) Л ) у(») точка хо для нее является нулем кратности й. Покажем обратное„а именно, если точка го — изолированная особая точка функпии у(») и при этом )пп у(») = со, таточка»о есть полюс, Так как 1пл У(») = оо, то существует окрестность точки хо . .О < ~» — »о~ с б 1 (О < б с г) такая, что функция ~р(») = — аналитична в этой окрест- 1() ности и 1пп ср(») = О. Отсюда следует, что точка го — устранимая особая точка для функции 1о(х) и ряд Лорана для р(г) имеет вид р(г) = ~ь а„(х — »о)", ао = О, й > 1, аь зо О.
+со -1 л)=(,'), Е-(- )""1 =(, ',),(.())-', он(») б Аф — го/ < 61), ср1(го) ф О, О < б~ < б У(») = о дарг(г)„Юз(х) б Аф — »о$ < 61), уз(»о) ~ О, 1 (» — го)' Отсюда следует, что точка»о — толюс порядка й для функцяя у(»). Итак, мы доказали критерий полюса для функции у(»): точка хо является полюсом функции У(») порядка к тогда и только тогда, когда 1пп у(») = оо 1 и Функция — имеет точку хо нулем кратности к. У() Изолированная особая точка, не являющаяся ни устранимой, ни полюсом, называется существенной особой точкой функции. Это значит, что в разложении функции у(г) в ряд Лорана в окрестности точки хо у (х) = ~ а„(х — го)", О < 1х — хо/ < г существует бесконечно много коэффициентов вида а „„, по б 1Ч отличных от нуля.
Если точка хо — существенно особая точка для функции у(»), то не существует 1пп у(») ни конечного, ни бесконечного. РассмотА' ~м рим поведение функции у(») в окрестностя существенно особой точки. Пусть Ео — множество значений функции у(») в окрестности О < 1» — го~ < б < г. Справедлива теорема Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса. Пусть точка хо — с1лцестоенно особа» точка функции у(г), тогда Доказательство.
Проведем доказательство от противного, т.е. предположим, что существует А е ~:, но А В Ео. Если А = оо, то это означает, что оо ф Ео, и, тем самым, существует б > О такое, что в окрестности О < ~х — хо~ < б модуль |Дх)~ ограничен, а тогда точка хо — устраним»я, что пРотивоРечит Условию. РассмотРим А б С такое, что А 1о Ео. Это означает, что существует О. с р такое, что для всех х: О < (» — го~ < 6 1 1 следует Щг) — А~ > р > О. Тем самым < — или функция ~Дг) — А~ р 1 р(г) = аналитична в окрестности О < )х — хо! < б и ограничена по модулю. Точка го является для нее устранимой, поэтому существует конечный 1пп 4(х) = Ао. Если Ао = О, то 1ппЩ») — А) = оо, а 4 Фуо -м тогда 1пл у(») = оо и точка го является полюсом функции у(г), что 1 противоречит условию.
Коли АО ~ О, то 1нп Щ = А+ —, т.е. точка »-»»» АО хΠ— устранимая особая точка функции Дх), что также противоречит условию. Итак, предположив, что Ею З1 С, мы пришли к противоречию. Теорема доказана. Приведем формулировку большой теоремы Пикара (без доказательства). Пусть точка хе — существенно особая точка функдии у(х). Тогда для любого комплексного числа А, за исключением, быть может, одного, существует последовательность (х„): х„Е (х: 0 < ~х — хО1 < г), 111п х„= *О, такая, что У(х«) = А. «-вс« Пример. Пусть |(х) = е*, е Е А(ЩО)), тачка хг = 0 является для 1 1 нее существенно особой точкой, ряд Лорана имеет вид 1 +О» е «»~~ — „0<~я)<со. 111х« " »в=О Для этой функции исключительное значение А = О, так как е -,1 0 для 1 любых х Е С\(0).
Будем говорить, что функция У(х) аналитична в окрестности бес- ~11 конечно удаленной точки, если функция Ов(х) = у д аналитична в окрестности точки х = О. Пусть О ( ) = ~.п. " И < тогда +»« 1 У( ) = ~,— "„, И > „-- «=О Тем самым, если функция 1(х) аналитична в окрестности бесконечно удаленной точки, то она представима р1цюм Лорана в окрестности оо по отрицательным степеням х. Пусть функция Дх) б А(г < ~х~ < оо), тогда ее ряд Лорана имеет вид дх) = у а„х", г < [х~ < оо.
Будем считать, что хг = оо — устранимея точка У(х), если а„= О, и = 1, 2,...; хе = со — полюс порядка в», если а» Ф О, ах+1 = аь+г = .. — — 0; хе = оо — существенно особая точка в любом другом случае, т.е. существует последовательность натуральных чисел (пь) такая, что а ~ О. Многочлен Р(х) = ) а;х', а ~ 0 имеет хг = оо полюсом порядка и. ° =О Точка хе = со является существенно особой для функций е*, соя х, з1п х.
Р() Лля рациональной функции В(х) = — = * О, а« -„е О, $ Ф 0 Фх) ~"-„,' Ь«О точка хе = оо является полюсом порядка а — лг, если и — ш > О. При и-гл < О точка хе — — оо является устранимой особой точкой. Лля функпии 1 е» точка хе = 0 — существенно особая точка, хе — — оо есть устранимая особая точка. Определение. Функция 7(х) называется мероморфной в области Р, если в области Р функция 1(х) нмеет только изолированные особые точки, являющиеся полюсами.
Так функции гкх, с1кх — мероморфные функции в С, точка хг = оо для зтих функций является неизолированной особой точкой, полюсы функций ся х, сгк х накапливаются к бесконечно удаленной точке. ~в»»Я~«1«в .1~О- вв ~ "«- -в в 1(х) = Задача 34. Пусть функция Дх) — мероморфна в г.'. Показать, что Цх) = В х — рациональная функция. Продолжение »в гамма-функпии" Эйлера с положи- тельного луча в комплексную плоскость. «Гамма-функция«Эйлера при х ) 0 имеет вид Г(х) = е 11' 1вй.
О Представим Г(х) в виде 1 +в« Г(х) = е '1* '1й+ е '1* 1вй. О 1 1 Рассмотрим интеграл ) е 1!* 1Й: О Лекция 11 ( — 1)» и! и+х Веа Г(х) = гсз Г(х) = †. Г! Г(Я »»с. 1 Г г 1 Г =о 21П' „/ ~~„ЛХ)оо —,„'. ЛЮК, г- ) 1 Г -о '»=Г (~» ~! ' ) г'-'а=~'~ !!" О О +со ( 1)»о» Мы воспользовались равномерной сходимостью ряда 2 — иа от- «=О ! резке [О, 1!. ооо ( 1)» Ряд ~, —, — с положительного пуча х > 0 продолжим в комп- »О и! и+х +оо ( (1)» лексиую плоскость и рассмотрим ряд Я вЂ”, —, сходящийся в » О и» П+Х Щ0,1,2,...) и представляюший аналитическую в Щ0,1,2,...) функцию.
Эта фуикция есть мероморфиая фувкция в С и точки х = 0,1, 2,... являются полюсами первого порядка. Рассмотрим иитеграл Г е !»» 1»й = Г е 'е»* 11' Чх, х > О. Продол- 1 1 жим зту функцию с положительного луча х > 0 в комплексиую плоскость, будем иметь г ' »' 0~'1М. е е 1 Этот иитеграл есть целая фувкция (аиалитичиая в О).
Итак, Г(х) = +оо ( 1)» 1 ооо — — + Г е ое»* 11"1»й'есть аналитическое прсдолжеиие Г(х) »=.О !1" 11+ Х 1 с положительного луча х > О в область Щ0,1,2,...). Функция Г(х) мероморфиа в е. и точки х = О, 1, 2,... — полюсы первого порядка. 1 »о» "зо. »» ор ~о!о- — о„ Г(х) Р(х) = е" х П »11+ — ) е, С вЂ” постоянная Эйлера. »1 — 1 ой Вычет аналитической функции. Теорема о вычетах.
Вычисление интегралов с помощью теоремы о вычетах. Пусть хе ~ оо — изолированная особая точка фупкции Г(х), т.е. Дх) А(0 < [х — хе[ < г). пусть также à — любой жордаиов, кусочио-гладкий замкиутый контур, лежаций в области 0 < [х — хе[ < г и ссаержаши ~о~ау хе виутри. Определение.
Вычетом фуикци Г(х) в точке хе иазывается ивтегр 1 à —. / Г(4)»»с и обозначается Вез Г(х) или гез Дх) (11ея»»ие): 2яо,» о оо о=»о г Из теоремы Коши следует, что для любого сколь угодно малого е > Пусть хс = со — изолироваииая особая точка функции Г(х), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
