Леонтьева. Лекции по ТФКП (1118496), страница 15
Текст из файла (страница 15)
П. Однолистная аналитическая функция и = у(х) отображает обпасть Р на область С = ((Р) конформно, при атом обратная функция х = у '(ю) е А(С) и также дает конформное отображение обпасти С на область Р. В теории топопогических пространств показывается, что гомеоморфное отображение (взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное) отображает и-связную область на и-связную область расширенной комплексной области. В частности, конформное отображение односвязную область переводит в односвязную. Например, нельзя конформно отобразить круг на кольцо. Возникает вопрос, а всегда пи есть конформное отображение области на область с сохранением связности.
В случае, когда область односвязная ответ дает теорема Римана. Теорема Римана (без доказательства). Пусть Р— односвязнах область расширенной комплексной плоскости, граница которой состои|п более чем из одной точки. Тогда существует конформное отобразкение области Р на внутренность единичного круга. Требование, чтобы граница области состояла более чем из одной точки, по существу. Например, рассмотрим область Р = С вЂ” комплексная плоскость.
Как область в расширенной комплексной плоскости она имеет единственную граничную точку оо 6 ч'.. Не существует конформного отображения С на внутренность единичного круга ~ю~ < 1. Если бы зто было так, то аналитическая функция Цх), х Е С была бы на всей ппоскости О ограниченной по модупю. По теореме Лиувиппя она должна быть константой. Противоречие. Второй пример: пусть область Р = Щхв). Область Р как область в С имеет две граничные точки, как область в О имеет одну граничную точку. Не существует конформного отображения, переводюцего область Р на ~ю~ < 1. Если бы это было так, то существовала бы анапитическзл функция ((х), дпя которой точка хв— изолированная особая точка, Так как функция у(х) ограничена по мопупю, то хв — устранимая точка, но тогда 1(х) = соней Противоречие.
Возникает второй всжрос: сколько существует различных конформных отображений области на область с сохранением связности. Вообще говоря, бесконечно много. Тем не менее, сдраведпива теорема единственности: Теорема единственности Римана (без доказательства). Суцествует единственное функция у(х), конформно отобразкаю~цам односвязную область Р, граница которой имеегп более одной точки, на внутренность единичного круга, и удовлетворякпцая условиям )(хе) =О, ((хв) > О, хв б.Р. Задача 38. Можно пи конформно отобразить произвольное кольцо О < г1 < ф < гз на произвольное копьцо О < Н1 < ~х~ < Вз? (з~ н и;- .у .
-„,~,лнац ~*-.ь.~ отображение капица О < гз < ф < гз на копьцо О < Я1 < (4 < Нз? Определить вид функции, дающей такое отображение. Основные принципы конформых отображений. Принцип соответствия границ. Пусть ограниченные обдасти Р и С ограничены замкнутыми жорданомями кусочно-гладкими контурами дР и дС соответственно.
Функция у(х) й А(Р) О С(Р) и отображает взаимно-однозначно границу дР на границу дС с сохранением обхода по границе дР. Тогда функция у(х) конформно отображает область Р на область С (рис.32). Рис. 32 Доказательство. Пусть ю1 е С, юз ф С. Рассмотрим две функции Р,(х) = у"(х) — юь Гз(х) = У(х) — юз. Когда х пробегает границу дР в данном направлении, вектор у (х)-то, обходит границу дС один раз в том 110 Рис. 33 Х(х) ж ~ он(х — хв), ~х — хв~ ч е. 113 112 же направлении, вектор т'(х) — игз повернется на угол 2я. Аналогично, вектор Х(х) — игз обойдет границу дб один раз, но аргумент вектора приращения не получит, поэтому Чаг агк Рг(х) ! Чагагк гз(х) ~ 2я 1ао ' 2тг ~во Так как Функции Рг(х)„рз(х) ч А(Р) О С(Р), рг(х) уе О, Ря(х) ~ О, х Е дР, то в силу принципа аргумента функция Р,(х) имеет внутри области Р один нуль, функция Рз(х) внутри области Р в ноль не обращается.
Это означает, что уравнение ((х) = игг имеет единственное решение, Х(х) = игз решений не имеет. Тем самым область Р отображается на область С и при этом отображение конформное. Теорема (без доказатпельства./ Пусть ограниченная областпь Р с границей дР (контур) отображаетпся конформно на ограниченную область С с границей д6 (контур). Тогда,т (х) к С(дР) и осуцестпвляетп взаимно-однозначное соотпветпстпвие дР на дб с сохранением направлени» обхода по границам. Эта теорема в каком-то смысле обратная предыдущей.
Принцип симметрии Римана-Шварца. Пусть область Р такова, что интервал у действительной оси входит в границу области Р и Функция Х(х) ч А(Р) О С(у). Пусть также Р'— область, симметричная с Р относительно т, Р й Р* = ггг. Если (('~) принадлежит отрезку действительной оси, то функция Х(х) аналитически продолжаема в область Р через т. Таким образом существует функция (смотри рис.33) ( 7(х), х Е РО 7, Г(х) е А(Р О у 0 Р*), Р(х) = ~ Х(У), х ч Р'.
Замечание. Условие Р г1 Р" = О дает однозначное аналитическое про- должение. В другом случае аналитическое продолжение может быть мно- гозначным. Доказательство. Пусть точка хв й Р, тогда существует окрестность Хг',(хв), г > О такая, что в ней функцию Х(х) можно разложить в ряд Тейлора: +го Введем гРункцию Х'(х) = Я о (х — Уь)". Так как ряд сходится в П (Уь), то Х(х) аналитична в ХХ,(Ув), а так как точка хь — любая из области Р, то Х(х) й А(Р'). Очевидно При х = х Е 2 имеем Пх) = 7(х) ж Дх), Таким образом на интервале у функции Х(х) и Х(х) совпадают.
Можем применить принцип непрерыв- ности, из которого следует, что,т(х) есть аналитическое продолжение Х(х) в область Р через у. Лекция 14 ах+6 и(х) = —, а,б,с,(1 е С. сх+ Ы' Поэтому из — и1 хз — х1 схз + И из — их хз — хз схз + Н Окончательно 114 ,((робно-линейное невырожденное преобразование и его свойства. Будем рассматривать расширенную комплексную плоскость С.
Скажем, что две кривые Г( и Гз в бесконечно удаленной точке (оо) пересе- 1 Р каются под углом о, если при преобразовании — образы кривых Г и Гз х пересекаются в точке О под углом (х. Пробно-линейной функцией или дробно-линейным отображением называется функция и(х) вида Если а(1 — Ьс ф О, то отображение называется невыракденным. Так как а(1 — Ьс (1 и'(х) = ф. О, х зŠ—, х ф оо, то условие а(1-Ьс з1 О необходимо, (ох+ (1)з ' с' если мы рассматриваем конформное отображение. В дальнейшем будем рассматривать невырожденные дробно-линейные отображения.
Свойства дробно-линейных невырожденных отобра- жений. Свойство 1. Пробно-лннейное невырожденное отображение конформно отображает расширенную комплексную плоскость (С на С. ах Ь 1 случай: с = О, тогда по условию а ф О, Н ф О и и(х) = — + —, 6'1 (1 х = и — — ) —. Таким образом для любого и Е С существует единст- (4) а венное х Е С такое, что и(х) = и, т.е. отображение С на С взаимно- однозначное, при этом х = оо переходит в и = оо, и(х) е А(С) и и(х) — конформное отображение на С. Покажем, что оно конформно на С. Так как х = оо переходит в и = оо, то сделаем преобразование 1 1 (К х = —, из — — —, тогда и1(Д = —, но оно конформно в точке Ь' = О, и а+ 6'Ь следовательно, отображение и(х) конформно в С. ах+6 иИ вЂ” Ь а И 2случай:с~О, и(х)= — их= —, иФ вЂ”, х~ — —.Ессх+ (1 а — ис' с' с а (1 ли х = оо, то и = —, если х = —, то и = оо. Отсюда следует, что с с' отображение и(х) — отображение взаимно-однозначное на С, С переходит в С, и(х) Е АЩ(-Н/с)).
Покажем, что конформность сохраняется (1 (1 в точке х = —, х = оо. Если х = —, то и = оо. Сделаем преобразос' с' 1 ох+(1 ванне и1 = †,тогда и( = †, но в точке х = -- это преобразоваи ах+ Ь' с 1 ние конформно. Если х = оо то сделаем преобразование х = — тогда 1 ~ю а+~6 и = —, это преобразование в точке С = О конформно.
Итак, первое с+Я' свойство доказано. Свойство 2. Образы трех различных точек, при условии, что образы различны, единственным образом определяют дробно-линейное невы- рожденное преобразование. ах+ Ь Пусть х; ф х, и( ф и(., 1,,з = 1,2,3, где и, = и(х;), и(х) = —. ох+ (1 и — и1 Распишем и — из ах + 6 ахз + 6 — у хх( е, ~+ Г ~(* — ~( и — из ах + 6 ахз + 6 аН(х — хз) сх( + (1 ох+(з схх+(( Это соотношение называется ангармоническим соотношением (ангармоническое отношение). хз — х( из — и1 Если хз = оо илн из — — оо, то полагают — = 1 или = 1. хэ хз из из А(хз + р ) + 2Вх + 2ср+ В = О, Рис.
34 Рис. 35 116 П7 Из ангармонического отношения следует, что отображение по трем различным прообразам и трем различным образам определено однозначно. Свойство 3. При дробно-линейном невырожденном преобразовании прямые и окружности переходят либо в прямые, либо в окружности. Уравнение прямой илв окружности можно записать в виде при этом, если А = О, то это уравнение прямой, если А ~ О и Вх + Сз— АВ > О, то уравнение окружности. 1 Покажем, что при преобразовании и(х) = —, х = х + Ьр, утверждение справедливо. Перепишем уравнение в переменных х, х А(хз + рз) + 2Вх + 2Ср+ В = Ах р+ 2В ~ — 1 + 2С вЂ”,1 + В = =Ах ° х+ В+ — ) х+ ~ — —,) у+В=О, коэффициенты прн х и х взаимно сопряженные.
В переменных и и й уравнение примет вид А — + ~В+ —,) — + ~ — — ) — +Ю =О Юи.й+  — — ) и+ ~В+ —.) й+А = О. Таким образом, если В = О, то это уравнение прямой, если В Ф О, то это уравнение окружности. ах+ Ь В общем случае, представив преобразование и(х) = — как суперах+4 а аА — Ьс позицию преобразований и(х) = —— , учитывал, что преобразос с(сх+ а) ' 1 ванне — сохраняет свойство и умножение на константу и сдвиг на коня ах+ Ь станту сохраняет свойство, получим, что преобразование и(х) =— ел+ай сохраняет свойство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
