Леонтьева. Лекции по ТФКП (1118496), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Г(х) Е АЩ > 11О), ВΠ— достаточно большое. По определению где контур Г лежит в области [х[ > ЯО и содержит точку 0 внутри. Обход по контуру Г совершается по часовой стрелке или область Вг, ипи о ~ Лез,Г(х) = О. »=о а = — О [Г(х)( — о) )! (т — 1)! о-м. 95 содержащая точку хо, остается слева при обходе по контуру Г. По теореме Коши дпя всех Л > Ло Вез Г(х) = — — / Я) бб (обход против часовой стрелки).
1 Г ,=с 2ят,/ Как вычислить вычет Г(х)2 Пусть хо ф со. По теореме Лорана в области О < [х — хо[ < т функцию Г(х) можно разложить в ряд Лорана, равномерно сходящийся на любом компакте, принадлежащем этой области, поэтому Лх)= ~; »( -")" — УЫ) К=,'>- .— ~' Ы-")- б=а— 2я! 2тп' / и-оо1=о й-оо!е Таким образом, ЯезГ(х) = а ь о=то Пусть хо — — оо. Проводя аналогичные рассуждения, получим Вез Г(х) = — —, ~! ~ ~~ а„с" ас =-а,. то=.оо 2я! .Г Пусть хо ф оо и хо — полюс порядка т для функции Г(х). Тогда ряд Лорана В обнес'ги О < [х — хо[ < т имеет Вид Г(х) = а (х — хо) +а +т(х-хо) +~+...+а т(х хо) +,у ао(х — хо)о »=о Г(х)(х-хо) = а +а +,(х — хо)+...+а т(х — хо) '+~~~ сч(х-хо)' Возьмем производную (т — Ц порядка от правой и левой части: [Г(х)(х — х )"'[!" О = (т-1)[а т+~~ '(!+т)(!+т — 1)...
(!+2)сч(» — хо)'+', '=о Тогда !пп [Г(х)(х — хо) ]! О = (т — 1)! а ь Итак, о-ооо Пусть т = 1 и функция Г"(х) имеет вид: Г(х) = —, где Л(хо) ~ О, а Л(х) .Гз(х) ' функция Гз(х) имеет точку хо нулем кратности 1. В этом случае Лез Г(х) = !пп Л(»П» — хо) . 1 Яхо) = Л(хо). !цп — = —, о=оо о-ооо Гз(х) о-ооо йЖ Гз(хо) Теорема о вычетах. Пусть ограниченно» область Р с границей дР, яооояянаебсх контура»о, такова, что точки хм хо,..., х„ŠР— изояиРоеанные особые п1очки фрикции Г(х) и Г(х) й А(Р11»м хз,..., »„Г) П С(дР). Тогда — '.|оооо=у:о яо.
до Доказательство. Каждую точку х» окружим окружностью [х — х»[ = б» так, что круг [х — х„[ < б» целиком лежит в области Р и круги не пересекаются (рис.25). Рис. 25 По теореме Коши дпя многосвязной области справедливо равенство |яо)а'=Е | по)а-Ео тю дп !о-оо!=бо »»а Теорема доказана.
Следствие. Пусть Г(») е А(С~(»м»з,..., »„)), где хм х»,..., х„- особые изолированные точки Дх) и хо = оо также особая изолированная точка, тогда +««« .«.|л*)ю*=«Е«д.г «=1 тах. В(вгп д, сов д) дд, р Рис. 26 По теореме о вычетах имеем | « |(х) дх = 2згг ~ В»в |(г), г я 1=1 с другой стороны 1(г) 11» = 1(х) 11»+ |[г) г(х. г« Оценим интеграл 1 у(х) лг: 97 Доказательство. Возьмем Я достаточно большое, так чтобы внутри области ]х] < В содержались все точки»м г«,..., х„. По теореме о выче- тах будем иметь — ', | ле«г=Е«л*~=-«дгр1 16=в или, что то же самое, С Ввв У(х) = О. р««г Вычисление интегралов с помощью теоремы о выче- 1.
Рассмотрим 1 класс интегралов — интегралы вида где В(х,у) — рациональная функция двух аргументов х,у, функция В(вгп д, сов д) непрерывна на (0,2«г]. если д е [О, 21г], то множество точек г = ем принадлежит единичной окружности ]х] = 1. Сделаем замену г = егг, тогда дг = ге~Ю, Ю = 11» г †-1 —. Так как» = ровд+«вгпд,тот = совд — гвшд, вгпд = —, ровд= г 1 1 21 х+х 1, х — —, »+- в. Если ]г] =1, тот=- и вгпд= *, совд= '. Тем самым 2 х 21 ' 2 | Я «-1Г» а+1~«« В(вш д,ровд) ггд = -1 ( и = Вг(г) г1», р («~=1 И=1 глв Я,(») — рвциональная фунтик, непрерывная на ]г] = 1. О~сюда сле- дует по теореме о вычетах: 3« | Я(вшд,ровд) дд = 21г«~~1 Вез В1(г), р 1=1 где »1 — полюсы рациональной функции Вг(г), лежащие в области ]х] < 1 П. Рассмотрим П класс интегралов — интегралы вида г.р.
7(х) г(х (главное значение в смысле Коши). Напомним, что жр.| у(х) 11» = )пп | У(х) Их. и-++о« Пусть функция Дх) е А((1шг > ОИ»1, »з,..., «„)) г'г С(1гп» = О), г„»«,...,»„— особые изолированные точки |(г), лежащие в области 1гпх > О. Пусть также У(х) = о(1/х), х-г со, Ьпх > О. Тогда ПУсть Сл - веРхнЯЯ лолУокРУжность: (]х] = В) гг (1шг > О), Гл = Слп( — Я, В], где В достаточно большое, так что точки »1, хг,..., г„лежат внутри Гл (рис.26).
Г Дг) гЬ < шах ]|(г)] ° ггВ = о(1/В) ггВ -+ О при Я -+ +ос мЕСя Итак, 1пп 1' Дх)г(х=2тз,"'г, 'Ввел(г). л-«+0«л 1 «=«« Тем самым получаем л гщ г(л сн 2я1 7 Вж(л '7'(л)) =.7(1 — е "') к=1 ипи н .7=, ~г Вез(л ~7'(л)). к=1 Рассмотрим интеграв 101 100 Обход по границе положительный.
Оценим интеграл | л '7(л) г(л с, л 'ЩгЬ < шахол~ ~)7(л)~) 2яг <г ~.2яг.С»г ~ = 2яСл.г И= Если взять 0 < д < а, то при г -+ 0 интеграл | л '7"(л) г7л ~ О. с, Оценим интеграл 7' л г7(л) Ил: сн < шах()л)~ ~~7(л))) 2я77 < 2к.71н Слг К г+л». Щ=Я Если взять 0 < дг < 1 — а, то при 77-+ +со интеграл 7' л '7(л) г7л -+ О.
с, Таким образом г л -гг(л ,У= (, О<а<1, Л>0. х+Л' а +О» Г Л гх" "'гЮ Преобразуем этот интеграл: У = /, сделаем замену р = 1+1 о 1 —, тогда 1+1 .У = Л ~ (1 — р) 'р г7р = Л гВ(а, 1 — сг) = Л гГ(а) ° Г(1 — а), о где В(л, р), Г(л) — эйперовы интегралы. 1 Функция 7(л) = — удовпетворяет всем трем условиям, перечис- к+Л ленным выше.
Поэтому ,7 — иле л 1 . — Л 1 г 1)щ— 7 езмч»=-д л+ Л 1 — езмн = Л 'Г(а) . Г(1 — а). 2я$ег '>"' 2»пемн 2к1 я Г(а) . Г(1 — а)— 1 ез™ ез™ 1 ены е- г егп яа' Итак, мы получили для Гамма-функции Эйлера формулу дополнения Г(а) Г(1 — а) = —., 0 < а < 1. Гзнн м. н, ь ~,гМ.*ю0.-1.-1.", * и пей. Формула дополнения Г(л) Г(1 — л) = —. справедлива дпя всех зш»гл л й 2 (множество целых чисел). Лекция 12 тогда теорема Руше. Тем самым У(») ( -6;)-' Е4( -6')" Тогда Тем самым У(») ( — сч) ' 2, а~(» — а;)" в=а руф 2кй,/ У(с) г — Р(»). 1 » — о; 102 103 Логарифмический вычет, принцип аргумента, Пусть à — жорданов, замкнутый, кусочно-гладкий контур, ограничивающий область юг (ограниченнал область). Функция У(») А(Вр ~ (6м Ьз,..., 6~ ~), где Ьм Ьз,..., Ь вЂ” полюсы порядка б1,,бз,..., )1 функции У(») соотнетственно, Ьы1и,...,6 й 0г. Пусть также У(») ф О, » е Г, но внутри области Бг функция У(») имеет нули ам аз,...,о кратности ам аз,..., а„соответственно.
Рассмотрим функцию ф(») = —. Функция ф(») аналитична в области Вг, за исключением точек У'( ) У()' а„аз,...,а„и 6м6»,..,,Ь . В достаточно малой окрестности точки а; — Ум(а;) = (» ~» — а;~ < е;), е; > 0 функцию У(») разложим в ряд Тейлора. Разложение имеет вид У(») = (» — а;) '~ а'„(» — л;)", ав зе О, (» — а,~ < ео У'(») =си(» — а;)см '~ь а~(» — а;)" +(» — а;) ') а'„-й(» — а;)" з. ,( , ~о; Х; а'„(» — а;) + (» — а;) 2.
а*„ й(» — сч)» ' Функция Р(») Е А(У,,(а;)), Р(а;) = «ц, поэтому Вез — = а;. У'( ) -ч У(») Рассмотрим функцию ф(») в достаточно малой окрестности точки Ь;: 0 < (» — Ь;( < бо Из условий, наложенных на функцию У(»), ее разложение в ряд Лорана в окрестности О < ~» — Ц < б; имеет вид У(») = (» — 6;) е' ~ с~(» — 6,)", се ве О, »=в ОО Со У'(») ж -Д(» — 6;) а ~се(» — 6;) +(» — 6;) а~ с~ 6(» — 6;) ь=е »=1 (»-6,)-л ~-Д(»-6,)-~ У'.с,(»-6,)'+ ~', с', lс(»-Ьф)'-' У'( ) я=в Окончательно, — = +Р1(»), где функция Р1(») Е А(/» — Ь;! < б;). У'(») -А. У(»)» — Ь; Тогда Вев — = -Д. У'(») ык У(') 1 УУ'(с) У'() По теореме о вычетах интеграл —.
з — д~ = з Ве —. Обо- 2~1 У У(с) ~-' *=и У(~) значим за Ф = Фг полное число нулей функции У(») внутри Вг, за Р = Р~ — полное число полюсов соответственно с учетом кратности нулей и полюсов. Интеграл — / — сК называется логарифмическим вычег у'(р) 2к1/ У(с) г том функции У(») по кривой Г (относительно контура Г). Тем самым мы доказали теорему: Теорема. Лоеари4мический вычегл функции У(») ло кривой Г ровен разносгли между числом нулей пункции У(») и числом полюсов 1бункции У(»), содержозци»с» внуглри кривой Г, т.е.
По условию 1(л) ф О, л Е Г, тогда — = (1 и 1(л))~ь~, л Е Г, где 1'( ) 1(л) (ВпУ(л)) — й-я ветвь многозначной функции ВпУ(л). Напомним, что (Ьп У(л)) „) —— 1п |1(л) ! + т ехй 1(л) + 2кйт'. Пусть точка ль Е Г н Фь = ах81(л) в точке ль, а Фг = агй 1(л) в точке ле после однократного обхода кривой Г из точки ль в ле.
Тогда г Приращение аргумента функции 1(л) — Фг — Фе называют вариацией аргумента функции при обходе по кривой Г и обозначают 1уаг агб 1(л) ~ гг Фг — Фь. В терминах вариации аргумента функции 1(л) данная теорема носит название принцип аргумента. Теорема (принцип аргумента). Пусть функция 1(л) А(Рг~(Ь~:Ьл .
Ь )), где ЬыЬз .-.,Ь Е Рг, Ь,Ьх,...,Ь вЂ” полюсы функции 1(л), Ру — полное масло полюсов с уметпо,ч краггьности. Функция 1(л) ф О, л Е Г, а точки аг,ар,...,а„Е Рг являются нулями 1(л), Ну — полное масло нулей. Тогда логарифхгический вычета ( 1'(с) „с 1У 81(х) ~ 2.11 ~«~~= г Применим принцип аргумента при доказательстве теоремы Руше. Теорема Руше. Пустль функции У(л) Е А(Р), уг(л) Е А(Р), область Р— ограниченная область, граница дР— контур. Па границе дР справедливо неравенстпво !1(л)! >1р(л)1* теда угу — угг уугуу+ и угуу — полное масло нулей функций внутлри области Р.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
