Леонтьева. Лекции по ТФКП, страница 3

DJVU-файл Леонтьева. Лекции по ТФКП, страница 3 Математический анализ (2697): Лекции - 4 семестрЛеонтьева. Лекции по ТФКП: Математический анализ - DJVU, страница 3 (2697) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Леонтьева. Лекции по ТФКП", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 3 - страница

о"тоо о-тот 16 17 Функция называется алнолистной, если она осуществляет взаимно- однозначное отображение множества Е на множество Р. Пример: у (х) = х", и Е 1т1, и > 1 не является однолистиой на С, но если в качестве Е взять множество Е = (»: 0 < агй» < г„") — угол раствора Н, то на множестве Е функция 7"(х) будет однолистной. В дальнейшем, если не оговорено особо, будем рассматривать однозначные функции. предельное значение функции ~(х) в точке »0 Пусть Цх) определена'на множестве Е, для которого точка хо — предель- ная точка Определение предельного значения функции по Коши и запись йта Дх) = ш. Если уе>О Зб(е)>О З»еЕ, 0<[» — »[<б -+ [У(х) — ит[<е.

Иногда пишут 1аа 7'(х) = ит, когда хотят подчеркнуть, что рассматризев л-ты вают предельное значение функции по множеству Е. Пусть х = х + ту, 7" (х) = и(х, у) + ое(х, у), »о = хо + туо. Теорема 2. Ялх того, чтобы сутцестпвовал предел йш )'(х) = ит = а+гЬ л~то необходимо и достпатпочно, ~тобы суитестпвовали пределы Доказательство следует кз выполнения следующих неравенств: [и(х,у) — а[ ( [т(х) — ит[ = < [и(х, у) — а[+ [и(х, у) — Ь[, [у(х) — то[ ~~ [9(хэ у) — а[. Пусть 3 йш Л(х) = мь 3 1аа Уг(х) = го»1 тогда справедливы следу т мо т"+то ющие утверждения: 1.

З йш [Л(х) ~ Ь(х)! = и т ~ тог 2. 3 1аа [~,(х) Ях)) = тот . тог, 3. Если тиг Ф О, то 3 1аа ф~ = — ~. Доказательства этих утверждений следуют из справедливости соответствующих утверждений для функций действительного переменного и теоремы 2. Определение предельною значения функции по Гейне: 11ш у(х) = то, если Ч(л ) СЕ, х ~»о.' 3 Ета х =хо -+ 3!ап Дх ) =то. Определения предельного значения по Коши и ао Гейне эквивалентны.

Определения: 1. 1аа )'(х) = оо: *-ту ог> Р Зб(е) >О о»ЕЕ: 0< [» — хо[ <б -+ Щх)[>е, 2. 1аа 7'(х) = то: **Й' те > О Зб(е) > О ох чЕ: [х[> б -+ Щх) — то[ <с. 3. Еш у(х) = оо: теЖ 'ое>0 Зб(е)>О охеЕ: ф>б -+ Щх)[>е. Непрерывность функции у(х) в точке хо. Пусть функция 7'(х) определена на множестве Е с С, точка хо е .Е, хо — предельная точка множества Е. По определению функция 7(х) непре- рывна в точке хо, если 3 1аа Дх) = Дхо).

бгногда говорят, что функция 7'(х) непрерывна в точке хо по множеству „Е. Функция непрерывная в каждой точке х е Е называется функцией не. "'; прерывной на множестве Е. Класс непрерывных функций на множестве 'Е будем обозначать С(Е). '~еоРема 3. Ллх того, чтобы б)Уннии» У(») = и(хтр)+ ги(х,У) была умпрерыена в тпо ане хо —— хо+туз необходимо и достпаточно, чтобы деббтпвитпельные утунниии и(х, у), е(х, у) были непрерывны в тпочне (хо, уо).

Доказательство следует из теоремы 2 и определения непрерывной функции. отсюда Свойства непрерывных функций. ПУсть Функпин У(х), д(х) непрерывны в точке х, тогда 1. У(х) ~ у(х) непрерывна в точке хо, 2. У(х) -у(х) непрерывна в точке хо, 3. Если у(хо) У- О, то функция — непрерывна в точке х . У(х) у() 4 Суперпозипия двух непрерывных функпий есть функпия непрерыв- ная, а именно: Пусть функция У(х) определена на множестве Е и непрерывна в точ- ке хо, хо й .Е. Множество Е отображается функцией У(х) в множество ооо = У(хо), гоо й Р. Функция д(го) определена на множестве С и непрерывна в точке гоо, Г с О.

Тогда функция у(У(х)) есть функлия непрерывная в точке хо. Определение. Функция У(х) назывэлтся равномерно-непрерывной на мно- жестве Е если Че > О Зб(в) > О охь хг й Е: 1хг — хг! ( б — У ~У(хг) — У(хг)( < х. Теорема 4. Ялх того, чтобы функция У(х) = и(х,у) + ге(х,у) была равномерно-непрерывной на многхестве Е необходимо и достаточно, чтобы и(х, у) и е(х, у) были равномерно-непрерывны на многхестве Е. Свойства непрерывных функций на компакте Е.

Пусть функция У(х) С С(Е), тогда 1. Щх) ~ — ограниченная функция на Е. 2. ~У(х)( достигает своей верхней и нижней грани иа Е. 3. У(х) — равномерно-непрерывная функпня на Е (теорема Кантора). Локазательства этвх утверждений следует из теоремы 4 и выполнения соответствующих утверждений для функций и(х, у), е(х, у).

Лифференцируемость функции У(х). Пусть У(х) определена на Уо(хо), б > О. Если существуег пре У(х) У(хо) аппп , то этот предел называют производной функпии у( ) - оо х — хо в точке хо и обозначают У'(хо) = йш *о х — »о По и„У(х) = и(х,у)+ге(х,у), х = х+гу, хо = о+гуо и дУ = У(х) — У(хо) дУ = ди+ где, дх = х — хо, дх = дх+ гду, где Ди = и(х, у)-и(хо, уо), Де = е(х, у)-е(хо, уо), Дх = х-хо, Ду = у — уо. Предположим, что ЗУ'(хо), тогда — — У'(хо) = о(1), Огп д(1) = О. 'дУ Тогда дУ = У'(хо)дх+ о(1) д». Определение. Функпия У(х) называется дифференпируемой, если приращение ДУ = АД»+ д(1)Д», йш о(1) = О, А не зависит от Дх.

о -оо Итак, если ЛУ'(хо), то функпия У(х) дифференпируема, если она дифференпируема, то 3У'(хо) = А. Из дифференпируемости следует непрерывность. Лостаточно найти йш дУ = йш (АД»+о(1)дх) =О. а* о а* о Пусть У(х) — дифференпируемая функция в точке хо, т.е. дУ У (;)Дх+ д(1)Д..

Обозначим У'(хо) = а+ УЬ, д(1) = бг(1) + гдг(1), причем рш дг(1) = йгп дг(1) = О Ймеем Ди + где = (а+ гЬ)(Дх + 4Ду) + (бг(1) + гдг(1)ПДх + УДу). Ди = аДх — 6Ду+ бг(1)Д» — дг(1)Ду Де = ЬДх+ аДу+ о~(1)Ду+ ог(1)Дх. Дх + О > Дх -о О и Ду -о О. Получаем, что функпии и(х, у), е(х, у) дифференпируемы в точке (хо, уо) и при этом и' =а, и' =-6, е,'=Ь, е„'=а, У(хо) =й.+ге* У или Г: —::: —::2 и' = е' и -е, — условия Коши Римана У' У ипи условия Эйлера-йэламбера. Условия (1) имеют основное значение в теории аналитических функций и в приложениях этой теории к задачам механики и физики.

По традиции условия (1) называются условиями Коши-Римана математиками, механики и физики условия (1) называют условиями Лапамбера-Эйлера, так как еще в 18 веке Паламбер (Д'Аламбер), а потом и Эйлер изучали эти условия применительно к вопросам гнпродинамики, картографии и интегральному исчислению.

Итак, доказана теорема 20 Предположим, что функции и(х, у) и и(х, у) дифференцируемы в точке (хо, уо) и выполнены условия (1). Пусть и', = а = и„', и'„= — 6 = — и',. Имеем Ь = а — 6бЛу+ б,(1)ах+ оз(1)ъу, Ьэ — 6Ьх + айу + Оз(1)ььх + Оо(1)ььу 1пп бт(1) = йп оз(1) = 11ш оз(1) = 1пп оо(1)т аз-то аз-,о аз.о аз".3 Отсюда ЬУ = б1и+зь1и = абЛх-6бЛу+от(1)дзх+бз(1)бЛу+з6йх+зайу+таз(1)Йх+ збб(1) Ьу = бЛх(а + т6) + Ьу( — 6+ за) + т«х(от(1) + зоз(1)) + бзу(бз(1) + 'бб(1)) = (а+ 16)(11х+ тбзу) + б1+(1) + зоз(1)) + б1у(бз(1) + збо(1)). Тем самым — = а + з6+ — (бт(1) + зоз(1)) + — (бз(1) + зоб(1)), Ьх, Ьу так как ]б1х] < ]б1«], ]тлу] < ]дх], то айтпод — а+зЬ=У(хо) и +зи =из — зи,=и тй =и„+ей. Теорема б.

Для тпого, чтпобы функция У(х) = и(х,у) + зи(х,у) была дифференцируема в тпочне хо = хо+зуо необходимо и достпапючно, чтпобы функции и(х,у), и(х,у) были дифференцируемы в тпочне (хо,уо) и чтпобы выполнялись условия КоитиРимана Свойства дифференцируемых функций. Пусть Ю'(хо), д'(хо), тогда Ф+д]' =У'( о) ~д'(хо). 2 МУ д]'„=У'(хо) д(хо)+У(«о) д'(хо). (У)' У'( о)д( о) — У(«о)д'( о) ~д)м д'( о) 4.

Пусть функция У(х) определена в Уб(хо), б > О и У(хо) тоо, ЗУ'(хо). Функция У(х) окрестность Уб(хо) перевалит в множество Р, ито е Г, е с бтб,(тяо), на множестве Уб,(ито), б, > О определена функция д(тя) и Зд'(ито). Тогда суперпозипия д(У(х)] дифференцнруема в точке хо н при этом (д(У( ))]' =д'( о)У'(х). 5. Пусть функция У(х) определена в Уб(хо), б > О и 3У'(хо) об О, У(хо) = тьо. Функция У(х) отображает взаимно однозначно Уб(хо) на Вт (тяо), бт > О.

Тогда, если обратная функция к функции У(х) — от(то) = бт т 1 х непрерывна в точке ито, то ~р'(тоо) = ут(~1. 11(онвзательство. Рассмотрим предел 1пп $Р(ит) — $в(юо) . 1 . 1 = !пп — 1пп тт" тчь тя — тво м-ньь ит тво т-+ло У(х) — У(«в) От(ит) — От(тьо) х — «о 1 1 У(х) — У(хо) У'(«о) «-шь х — хо При доказательстве мы использовали по существу взаимно-однозначное отображение (и об тяо, х об хо) и непрерывность функции от(ит) в точке тво (при тя -+ тяо следует х -ь «о).

; Геометрический смысл аргумента производной. ; ' Рассмотрим непрерывную кривую АВ (рис.б): Лд(Г),у = Лз(З), 1 Е [о„В], б - действительный параметр, ;.!, Лз(з), Лз(1) Е С(]а, 1я!), тогда х = х + зу = Лт(1) + 6Л«(Г) = Л(т) - комплекснозначная функция действительного переменного. Пусть возрастанию параметра г соответствует данное направление от точки А к точке В. Возьмем точки хо = Л(бо), х, = Л(г,), го < зт на кривой АВ. Пусть ЗЛ'(бо) об О.

Вектор х, — хо имеет такое же направление как и вектор ~ — ), Так как 3 1нп = Л'(то) Ф О, то агкЛ'(Йо) = «т хо «т — хо гт — то тт-+ть гт — хо Ухт — хо'т Ыш эхб ~ ( при условии, что Л'(бо) не есть отрицательное число. ~б,-бо/ Если Л'(1э) < О, то, ваабше говоря, 1пп агй ~™1 может не сушест- ' п-к, ~~ -ь) вовать. Тогда мы будем писать АгбЛ'(Гэ) = Ьш Агб ~л='Я1, понимая и-~Фо ~а и) это равенство с точностью да 2яй, й е Е.

Итак, эгя Л'(8э) есть угол наклона касательного луча, исходящего иэ точки яэ, с положительным направлением оси ОХ. Рассмотрим функцию у(я), заданную на области Р, точка яэ е Р и рассмотрим две непрерывные кривые (рис.б) я = Л(1), я х д(1), 8 Е ]о,д], пересекающиеся в точке яэ — — Л(гз) = Р(1г) 1мйг ч ]сг,р], пусть также ЭЛ'(1,) ф О, Щгз) ф О. Предположим, что йУ'(яд) ф О, юэ = у( о). Рис. 6 С помощью функции ~(я) кривые я = Л(1)(1-кривая), я = р(1)(2 кривая) пеРейдУт в кРивые ю = У(Л(1))(1'-кРиваЯ), ю — Щ(1))(2~ кр я) и секаюшвеся в точке юо.

Пусть |(Л(1)) = д(1), 1(,б(1)) = 1 (г). Угол между 1-кривой и 2-кривой (направление от 1-кривой ко 2-кривой) равен АЩУ(1э) — Агя Л'(1,), Угол между образами этих кривых равен Агк г/(1г) — Агк г41г) =Ахи ~У(ЯГз))] — Агб(У(Л(гг))] = Агк Г(яэ)+ Агн 33'(1г) — Агб ~'(ге) — Агк ЛЩ = Агк ф'(1з) — Агб Л'(11 ). Таким образом угол между кривыми, пересекающимися в некоторой тачке яэ и имеющим в этой точке касательные, равен углу между вх образамн при отображении У(я), если у'(я) ~ О. ОРд .с б~ яе ыяяи ли при этом отображении сохраняются углы между гладквми кривыми (нли кривыми, имеющими в точке яэ касательные) — т.е.

угол между двумя кривыми, пересекающимися в точке гэ, равен углу между их образами, пересекаюшвмися в точке вэ — — У(яэ). Если при этом сохраняется и направление отсчета углов, то отображение называется конформным отображением 1 рада, в другом случае — конформным отображением 2 рода. Таким образом, если в области .Р функция у(я) имеет производную у'(я) ф О, то отображение у (я) — конформное отображение 1 рода области Р на свой образ. В дальнейшем отображение 1 рода мы и будем называть конформным отображением. Геометрический смысл модуля производной.

Пусть существует производная ~'(яр) = Ъгп, тогда ]~'(яэ)] = !иа *и я — го *-+и ~ я — яэ э Величина " ' ' " ' '1 называется растяжением вектора я — яэ при я — яэ отображении у(я). Величина ]У'(яэ)] называется растяжением в точке яэ при отображении у(я). Эта величина не зависит от направления вектора я — ге. Гэ „,л] пр . „ щ р фу юа я*) : у'~*,) = ю р отображение в точке яэ 1) будет конформным; 2)отображение не является конформным.

Достаточное условие, при котором существует У'(я). Если 1(я) = и(х,р) + ив(х,р) и функции и(х,р),е(х,р) в области Р имеют непрерывные частные правзвадные первого порядка и выполняются условия Коши-Римана, то функция у(я) дифференпируема в области Р и ~'(я) е С(Р). Определение.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее