Леонтьева. Лекции по ТФКП, страница 3

о"тоо о-тот 16 17 Функция называется алнолистной, если она осуществляет взаимно- однозначное отображение множества Е на множество Р. Пример: у (х) = х", и Е 1т1, и > 1 не является однолистиой на С, но если в качестве Е взять множество Е = (»: 0 < агй» < г„") — угол раствора Н, то на множестве Е функция 7"(х) будет однолистной. В дальнейшем, если не оговорено особо, будем рассматривать однозначные функции. предельное значение функции ~(х) в точке »0 Пусть Цх) определена'на множестве Е, для которого точка хо — предель- ная точка Определение предельного значения функции по Коши и запись йта Дх) = ш. Если уе>О Зб(е)>О З»еЕ, 0<[» — »[<б -+ [У(х) — ит[<е.

Иногда пишут 1аа 7'(х) = ит, когда хотят подчеркнуть, что рассматризев л-ты вают предельное значение функции по множеству Е. Пусть х = х + ту, 7" (х) = и(х, у) + ое(х, у), »о = хо + туо. Теорема 2. Ялх того, чтобы сутцестпвовал предел йш )'(х) = ит = а+гЬ л~то необходимо и достпатпочно, ~тобы суитестпвовали пределы Доказательство следует кз выполнения следующих неравенств: [и(х,у) — а[ ( [т(х) — ит[ = < [и(х, у) — а[+ [и(х, у) — Ь[, [у(х) — то[ ~~ [9(хэ у) — а[. Пусть 3 йш Л(х) = мь 3 1аа Уг(х) = го»1 тогда справедливы следу т мо т"+то ющие утверждения: 1.

З йш [Л(х) ~ Ь(х)! = и т ~ тог 2. 3 1аа [~,(х) Ях)) = тот . тог, 3. Если тиг Ф О, то 3 1аа ф~ = — ~. Доказательства этих утверждений следуют из справедливости соответствующих утверждений для функций действительного переменного и теоремы 2. Определение предельною значения функции по Гейне: 11ш у(х) = то, если Ч(л ) СЕ, х ~»о.' 3 Ета х =хо -+ 3!ап Дх ) =то. Определения предельного значения по Коши и ао Гейне эквивалентны.

Определения: 1. 1аа )'(х) = оо: *-ту ог> Р Зб(е) >О о»ЕЕ: 0< [» — хо[ <б -+ Щх)[>е, 2. 1аа 7'(х) = то: **Й' те > О Зб(е) > О ох чЕ: [х[> б -+ Щх) — то[ <с. 3. Еш у(х) = оо: теЖ 'ое>0 Зб(е)>О охеЕ: ф>б -+ Щх)[>е. Непрерывность функции у(х) в точке хо. Пусть функция 7'(х) определена на множестве Е с С, точка хо е .Е, хо — предельная точка множества Е. По определению функция 7(х) непре- рывна в точке хо, если 3 1аа Дх) = Дхо).

бгногда говорят, что функция 7'(х) непрерывна в точке хо по множеству „Е. Функция непрерывная в каждой точке х е Е называется функцией не. "'; прерывной на множестве Е. Класс непрерывных функций на множестве 'Е будем обозначать С(Е). '~еоРема 3. Ллх того, чтобы б)Уннии» У(») = и(хтр)+ ги(х,У) была умпрерыена в тпо ане хо —— хо+туз необходимо и достпаточно, чтобы деббтпвитпельные утунниии и(х, у), е(х, у) были непрерывны в тпочне (хо, уо).

Доказательство следует из теоремы 2 и определения непрерывной функции. отсюда Свойства непрерывных функций. ПУсть Функпин У(х), д(х) непрерывны в точке х, тогда 1. У(х) ~ у(х) непрерывна в точке хо, 2. У(х) -у(х) непрерывна в точке хо, 3. Если у(хо) У- О, то функция — непрерывна в точке х . У(х) у() 4 Суперпозипия двух непрерывных функпий есть функпия непрерыв- ная, а именно: Пусть функция У(х) определена на множестве Е и непрерывна в точ- ке хо, хо й .Е. Множество Е отображается функцией У(х) в множество ооо = У(хо), гоо й Р. Функция д(го) определена на множестве С и непрерывна в точке гоо, Г с О.

Тогда функция у(У(х)) есть функлия непрерывная в точке хо. Определение. Функция У(х) назывэлтся равномерно-непрерывной на мно- жестве Е если Че > О Зб(в) > О охь хг й Е: 1хг — хг! ( б — У ~У(хг) — У(хг)( < х. Теорема 4. Ялх того, чтобы функция У(х) = и(х,у) + ге(х,у) была равномерно-непрерывной на многхестве Е необходимо и достаточно, чтобы и(х, у) и е(х, у) были равномерно-непрерывны на многхестве Е. Свойства непрерывных функций на компакте Е.

Пусть функция У(х) С С(Е), тогда 1. Щх) ~ — ограниченная функция на Е. 2. ~У(х)( достигает своей верхней и нижней грани иа Е. 3. У(х) — равномерно-непрерывная функпня на Е (теорема Кантора). Локазательства этвх утверждений следует из теоремы 4 и выполнения соответствующих утверждений для функций и(х, у), е(х, у).

Лифференцируемость функции У(х). Пусть У(х) определена на Уо(хо), б > О. Если существуег пре У(х) У(хо) аппп , то этот предел называют производной функпии у( ) - оо х — хо в точке хо и обозначают У'(хо) = йш *о х — »о По и„У(х) = и(х,у)+ге(х,у), х = х+гу, хо = о+гуо и дУ = У(х) — У(хо) дУ = ди+ где, дх = х — хо, дх = дх+ гду, где Ди = и(х, у)-и(хо, уо), Де = е(х, у)-е(хо, уо), Дх = х-хо, Ду = у — уо. Предположим, что ЗУ'(хо), тогда — — У'(хо) = о(1), Огп д(1) = О. 'дУ Тогда дУ = У'(хо)дх+ о(1) д». Определение. Функпия У(х) называется дифференпируемой, если приращение ДУ = АД»+ д(1)Д», йш о(1) = О, А не зависит от Дх.

о -оо Итак, если ЛУ'(хо), то функпия У(х) дифференпируема, если она дифференпируема, то 3У'(хо) = А. Из дифференпируемости следует непрерывность. Лостаточно найти йш дУ = йш (АД»+о(1)дх) =О. а* о а* о Пусть У(х) — дифференпируемая функция в точке хо, т.е. дУ У (;)Дх+ д(1)Д..

Обозначим У'(хо) = а+ УЬ, д(1) = бг(1) + гдг(1), причем рш дг(1) = йгп дг(1) = О Ймеем Ди + где = (а+ гЬ)(Дх + 4Ду) + (бг(1) + гдг(1)ПДх + УДу). Ди = аДх — 6Ду+ бг(1)Д» — дг(1)Ду Де = ЬДх+ аДу+ о~(1)Ду+ ог(1)Дх. Дх + О > Дх -о О и Ду -о О. Получаем, что функпии и(х, у), е(х, у) дифференпируемы в точке (хо, уо) и при этом и' =а, и' =-6, е,'=Ь, е„'=а, У(хо) =й.+ге* У или Г: —::: —::2 и' = е' и -е, — условия Коши Римана У' У ипи условия Эйлера-йэламбера. Условия (1) имеют основное значение в теории аналитических функций и в приложениях этой теории к задачам механики и физики.

По традиции условия (1) называются условиями Коши-Римана математиками, механики и физики условия (1) называют условиями Лапамбера-Эйлера, так как еще в 18 веке Паламбер (Д'Аламбер), а потом и Эйлер изучали эти условия применительно к вопросам гнпродинамики, картографии и интегральному исчислению.

Итак, доказана теорема 20 Предположим, что функции и(х, у) и и(х, у) дифференцируемы в точке (хо, уо) и выполнены условия (1). Пусть и', = а = и„', и'„= — 6 = — и',. Имеем Ь = а — 6бЛу+ б,(1)ах+ оз(1)ъу, Ьэ — 6Ьх + айу + Оз(1)ььх + Оо(1)ььу 1пп бт(1) = йп оз(1) = 11ш оз(1) = 1пп оо(1)т аз-то аз-,о аз.о аз".3 Отсюда ЬУ = б1и+зь1и = абЛх-6бЛу+от(1)дзх+бз(1)бЛу+з6йх+зайу+таз(1)Йх+ збб(1) Ьу = бЛх(а + т6) + Ьу( — 6+ за) + т«х(от(1) + зоз(1)) + бзу(бз(1) + 'бб(1)) = (а+ 16)(11х+ тбзу) + б1+(1) + зоз(1)) + б1у(бз(1) + збо(1)). Тем самым — = а + з6+ — (бт(1) + зоз(1)) + — (бз(1) + зоб(1)), Ьх, Ьу так как ]б1х] < ]б1«], ]тлу] < ]дх], то айтпод — а+зЬ=У(хо) и +зи =из — зи,=и тй =и„+ей. Теорема б.

Для тпого, чтпобы функция У(х) = и(х,у) + зи(х,у) была дифференцируема в тпочне хо = хо+зуо необходимо и достпапючно, чтпобы функции и(х,у), и(х,у) были дифференцируемы в тпочне (хо,уо) и чтпобы выполнялись условия КоитиРимана Свойства дифференцируемых функций. Пусть Ю'(хо), д'(хо), тогда Ф+д]' =У'( о) ~д'(хо). 2 МУ д]'„=У'(хо) д(хо)+У(«о) д'(хо). (У)' У'( о)д( о) — У(«о)д'( о) ~д)м д'( о) 4.

Пусть функция У(х) определена в Уб(хо), б > О и У(хо) тоо, ЗУ'(хо). Функция У(х) окрестность Уб(хо) перевалит в множество Р, ито е Г, е с бтб,(тяо), на множестве Уб,(ито), б, > О определена функция д(тя) и Зд'(ито). Тогда суперпозипия д(У(х)] дифференцнруема в точке хо н при этом (д(У( ))]' =д'( о)У'(х). 5. Пусть функция У(х) определена в Уб(хо), б > О и 3У'(хо) об О, У(хо) = тьо. Функция У(х) отображает взаимно однозначно Уб(хо) на Вт (тяо), бт > О.

Тогда, если обратная функция к функции У(х) — от(то) = бт т 1 х непрерывна в точке ито, то ~р'(тоо) = ут(~1. 11(онвзательство. Рассмотрим предел 1пп $Р(ит) — $в(юо) . 1 . 1 = !пп — 1пп тт" тчь тя — тво м-ньь ит тво т-+ло У(х) — У(«в) От(ит) — От(тьо) х — «о 1 1 У(х) — У(хо) У'(«о) «-шь х — хо При доказательстве мы использовали по существу взаимно-однозначное отображение (и об тяо, х об хо) и непрерывность функции от(ит) в точке тво (при тя -+ тяо следует х -ь «о).

; Геометрический смысл аргумента производной. ; ' Рассмотрим непрерывную кривую АВ (рис.б): Лд(Г),у = Лз(З), 1 Е [о„В], б - действительный параметр, ;.!, Лз(з), Лз(1) Е С(]а, 1я!), тогда х = х + зу = Лт(1) + 6Л«(Г) = Л(т) - комплекснозначная функция действительного переменного. Пусть возрастанию параметра г соответствует данное направление от точки А к точке В. Возьмем точки хо = Л(бо), х, = Л(г,), го < зт на кривой АВ. Пусть ЗЛ'(бо) об О.

Вектор х, — хо имеет такое же направление как и вектор ~ — ), Так как 3 1нп = Л'(то) Ф О, то агкЛ'(Йо) = «т хо «т — хо гт — то тт-+ть гт — хо Ухт — хо'т Ыш эхб ~ ( при условии, что Л'(бо) не есть отрицательное число. ~б,-бо/ Если Л'(1э) < О, то, ваабше говоря, 1пп агй ~™1 может не сушест- ' п-к, ~~ -ь) вовать. Тогда мы будем писать АгбЛ'(Гэ) = Ьш Агб ~л='Я1, понимая и-~Фо ~а и) это равенство с точностью да 2яй, й е Е.

Итак, эгя Л'(8э) есть угол наклона касательного луча, исходящего иэ точки яэ, с положительным направлением оси ОХ. Рассмотрим функцию у(я), заданную на области Р, точка яэ е Р и рассмотрим две непрерывные кривые (рис.б) я = Л(1), я х д(1), 8 Е ]о,д], пересекающиеся в точке яэ — — Л(гз) = Р(1г) 1мйг ч ]сг,р], пусть также ЭЛ'(1,) ф О, Щгз) ф О. Предположим, что йУ'(яд) ф О, юэ = у( о). Рис. 6 С помощью функции ~(я) кривые я = Л(1)(1-кривая), я = р(1)(2 кривая) пеРейдУт в кРивые ю = У(Л(1))(1'-кРиваЯ), ю — Щ(1))(2~ кр я) и секаюшвеся в точке юо.

Пусть |(Л(1)) = д(1), 1(,б(1)) = 1 (г). Угол между 1-кривой и 2-кривой (направление от 1-кривой ко 2-кривой) равен АЩУ(1э) — Агя Л'(1,), Угол между образами этих кривых равен Агк г/(1г) — Агк г41г) =Ахи ~У(ЯГз))] — Агб(У(Л(гг))] = Агк Г(яэ)+ Агн 33'(1г) — Агб ~'(ге) — Агк ЛЩ = Агк ф'(1з) — Агб Л'(11 ). Таким образом угол между кривыми, пересекающимися в некоторой тачке яэ и имеющим в этой точке касательные, равен углу между вх образамн при отображении У(я), если у'(я) ~ О. ОРд .с б~ яе ыяяи ли при этом отображении сохраняются углы между гладквми кривыми (нли кривыми, имеющими в точке яэ касательные) — т.е.

угол между двумя кривыми, пересекающимися в точке гэ, равен углу между их образами, пересекаюшвмися в точке вэ — — У(яэ). Если при этом сохраняется и направление отсчета углов, то отображение называется конформным отображением 1 рада, в другом случае — конформным отображением 2 рода. Таким образом, если в области .Р функция у(я) имеет производную у'(я) ф О, то отображение у (я) — конформное отображение 1 рода области Р на свой образ. В дальнейшем отображение 1 рода мы и будем называть конформным отображением. Геометрический смысл модуля производной.

Пусть существует производная ~'(яр) = Ъгп, тогда ]~'(яэ)] = !иа *и я — го *-+и ~ я — яэ э Величина " ' ' " ' '1 называется растяжением вектора я — яэ при я — яэ отображении у(я). Величина ]У'(яэ)] называется растяжением в точке яэ при отображении у(я). Эта величина не зависит от направления вектора я — ге. Гэ „,л] пр . „ щ р фу юа я*) : у'~*,) = ю р отображение в точке яэ 1) будет конформным; 2)отображение не является конформным.

Достаточное условие, при котором существует У'(я). Если 1(я) = и(х,р) + ив(х,р) и функции и(х,р),е(х,р) в области Р имеют непрерывные частные правзвадные первого порядка и выполняются условия Коши-Римана, то функция у(я) дифференпируема в области Р и ~'(я) е С(Р). Определение.