Леонтьева. Лекции по ТФКП, страница 2

А именно, рассмотрим трегыерное пространство (12,0, С), в нем сферу (сферу Римана) (рис.2): сз+ г+ьг Центр сферы точка 0(0,0, 1/2), радиус 1/2, точка Р(0,0,1) — полюс. Рис. 2 Комплексную плоскость С совместим с плоскостью (1„0) так, чтобы действительная ось совпала с осью ь", а мнимая — с осью гг. Рассмотрим точку я е С, я = х+ гу. Соединим точку я с полюсом Р и рассмотрим векторы Ря, Рм, где М вЂ” точка пересечения прямой Рз и сферы Римана. — + — ъ.ь Рвг = (С, и, 1" ,— 1), Рх = (х, у, — 1). Так как РЛФ '0' Ря, то — = —" = — = а -+ С = ах, 21 = ау, 1, = — а+ 1 С 0 ('-1 х у -1 Подставим координаты (С, л, 1,) в уравнение сферы Римана: 2(,2+ 2)+( 1)2 +1 2( 2 1 2) (1 ) 2 1 а(2~ =1 — а -+ а = 1+И' !4' — ч= —" <= — ' 1+ 1ХР' 1+ М Р' 1+ 14' Точка М(~,21,() называется стереографической проеюгдей точки я = х + гу на комплексной плоскости 1С.

Тем самым установлено взаимно- Однозначное соответствие между С и сферой Римана с полюсом в точке Р(0,0, 1). Бесконечно удаленной точке (оо) соответствует точка Р. Е:::Л Задача 2. Найти расстояние между стереографическими проекциями точек 21 — хг + гу11 22 = х2 + 1уз. Доказать> что 112(21 ) 22) теоремы и теоре- ЗМ > 0: ул е Е -+ Ц 4 М. или В(Л»), Ли Е Е, ПШ Л» = ЛО, Ли Ф Лв . 10 ~21 — 22~ , расстояние р,(л1,22) — расстояние между стереот~+ ~~,~гйт~+ ~ )2' графическйми проекциями в трехмерном пространстве.

Гр~~з. п,,р ~ .рк р р ~ р окружности на комплексной плоскости переводятся в окружности на сфере Римана. И обратно: любая окружность на сфере Римана является образом прямой или окружности на комплексной плоскости при стереографической проекции. Множества на комплексной плоскости. Рассмотрим последовательность комплексных чисел (ли),л„е С. По определению последовательность (ли) сходится к комплексному числу л е С, если Че > 0 312 (е) ип > Ф(е) -т ~л„— л) с е. ТЕОрЕМа 1. ДЛя таага, ОПОбм ПОСЛЕдаеатПЕЛЬНОСтПЬ (Л„), Л„= Хи + туи сходилась к конечному пределу л = х+ ту необходимо и доспзатпочно, чпюбм последоватпельностпи (х») и (уи) сходились: йп хи ро х, и-рос 11ш Уи ос У.

Определение. Последовательность (ли) — фундаментальная, если уе > 0 ~1у(е) уп ~ )1у(е), ур е 1% -+ ~л„+р — л„~ с е. Критерий Коши. Для тпого, чтобы последоватпельносттть комтьлекснмх чисел (ли) сходилась к конечному пределу, необходимо и достпапзочно, чтпобм она бьсла фундаментпальной. Замечание. Доказательство теоремы 1 и критерия Коши легко получить, если воспользоваться неравенствами, справедливыми для любых двух комплексных чисел. Пусть 21 = х1 + туг, 22 = хл+ туз, тогда ~21 — 22) р ~х1 — х21) !21 — 22! ~ эЬт узь ~21 22~ ~( ~х1 — хз~ + ~у1 у2! Для сходящихся последовательностей справедливы следующие теоремы: Теорема.

Пусть йп л„' = л', йп л„" = л", тпогда 3 Пш (л„'хл„") = л'хл". и-рсо»-кю и-рсо Теорема. Пусть Пттп л„'= л', йп л,"', = л", тпогда 3 йп (л„' ° ло) = л' л". и-кю и-+оо «-кю Теорема. Пустпь йп л'„= л', Ьп л'„' = ли 2В О, тогда В йп — ", и-+со и рсо и-роо Л'р Доказательство теорем следует из того, что соответствующие справедливы для последовательностей деиствительных чисел мы 1. Множество Е С С называется ограниченным, если Справедлива теорема Больцано - Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности комплексных чисел можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Определение. Множество У,(лв) = (л: ~л — лв~ < е), е > О называется е-открытой окрестностью точки 20. Это есть открытый круг с центром в точке ль н радиусом е. Точка 20 по определению называется предельной точкой множества Е С С„если 1тре > О В21 е Е, 21 Ф лв -+ 21 Е Ур(ль) Из теоремы Больцано-Вейерштрасса следует, что любое бесконечное ограниченное множество имеет, по крайней мере, одну предельную точку. е-окрестностью оо или бесконечно удаленной точки называется множество точек Ур(оо) = (л: Ц > е). Говорят, что йо л„= оо, если 'тг > 0 3)т'(Е) тл > тт"(Е) -~ )Л„~ > Е. Множество Е имеет оо предельной точкой, если ое > 0 Зл Е Е: ~л~ > е.

Рассмотрим С вЂ” расширенную комплексную плоскость. Справедлива Теорема Любое бесконечное множестпво Е С С имеетп, по крайней мере, одну предельную тпочку. Доказательство. Если множество Š— ограниченное, то зто следует из теоремы Больцано-Вейерштрасса. Если множество не ограниченно, то 3(ли) С Е: йп л„= оо, следовательно оо Е С вЂ” пРедельнаЯ точка «-кю Определение.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. 7х б Е ЗО» б (О): х Е Ох . ОЕ = Ей(С~~ Е), или, что то же самое, Рис. 3 13 Опрщеление. Множество е называется замыканием множества Е, если Е С Е и Е содержит все предельные точки множества Е. Таким образом Е всегда замкнутое множество. Определение. Множество дЕ называется границей множества Е, если Чг ) 0 Чхг б дЕ Зх| б Е, ЗхгбЕ: х1 б У,(хг), хз б Уг(хф) .

Определение. Множество Е С С называется компактом, если оно замкнуто и огрщтчено. Определение. Множество 0 С (: называется открытым, если Чг б 0 ЗУ,(х) : У,(х) С О. Определение. Точка х называется внутренней точкой множества Е С Й, если Зсг,(х) С Е. Таким образом, для открытого множества О все точки этого множества являются внутренними. Для замкнутых и открытых множеств справедливы следующие утверждения: Б Конечная сумма или конечное пересечение открытых илн замкнутых мнсзкеств есть множество открытое илн замкнутое, а именно пусть О;— открытое множество, Р; — замкнутое множество, г е р(, и 6-г(, тогда П О; — открытое множество; П Р) — замкнутое множество; мз ьм Я и Ц Оз — открытое множество; Ц Р; — замкнутое множество. ьм ьы СО ОР П..Ц 0; — открытое множество, П Р; — замкнутое множство.

М1 4=1 Пустое множество и С вЂ” одзювременно и замкнутые и открытые множества. Говорят, что система открытых и замкнутых мнсгкеств иа комплексной плоскости С, 6 определяют топологию. Топологии в С и в Й различны. Например: сама плоскость С в топологии к. — открытое и замкнутое множество одновременно, но С в топологии 6 не есть замкнутое множество. Множество Š— ограниченное и замкнутое есть компакт в С, множество Š— замкнутое, но не обязательно ограниченное, может быть компактом в 6 (определение компактного множества в типологическом пространстве будет дано немного позже). Определение. Окажем, что система открытых множеств (О), множество Π— открытое, образует открытое покрытие множества Е, если Лемма Гейне-Бореля. Ез любого бесконечного открытого покрытия (0) комтшкта Е можно выделить конечное подиокрытиг.

Доказательство. Предположим противное. Пусть существует беско- нечное открытое покрытие (0) компакта Е, из которого нельзя выде- лить конечного подпокрытия. Так как Š— компакт, то оно ограничено, тогда Е можно заюпочить в некоторый замкнутый прямоугольник Мг со сторонами, параллельными осям координат на плоскости (рис.3). Разобьем прямоугольник М, на четыре прямоугольника, проведя прямые, параллельные осям координат и проходящие через середины сторон прямоугольника М,.

Из этих четырех прямоугольников выберем тот и ', обозначим его Мз, так что для Мз П Е не существует конечного подпокрытия. Процесс построения прямоугольников продолжим. Будем иметь последовательность прямоугольников (М„), М„- замкнутое множест' „во, М„+, С М„, ЕПМ„не имеет конечного подпокрытия множествами (О).

Так как размеры прямоугольников М„стремятся к нулю, то (1 М„= хг, хг й Е (т.к. Š— замкнутое множество). По условию система н-.,1 (0) — открытое покрытие, следовательно существует открытое множество О„с (0), хг б Оег Так как 0„— открытое множество, то существует У,(хг) С О„„но ге = П М„, отсюда следует существование п=1 пРЯмоУгольника Мл С У,(хг) С О„„позтомУ Е П Мл С О„вЂ” пРотиворечие с построением (М„). ,'Лекция 2 Рис.

4 Задача 4. Пусть множество Е с С таково, что для любого открыто- ~Л го покрытия 10) множества Е можно выделить конечное подпокрытие. Следует ли отскда, что Š— компакт? Определение. Множество Е в топологическом пространстве называется компактом, если из любого открытого покрытия (О) множества Е можно выделить конечное подпокрытие. Лемма Гейне-Бореля показывает, что для комплексной плоскости С это определение компакта эквивалентно ограниченности и замкнутости. Определение. Множество Е в топологическом пространстве называется связным, если из того, что Е представимо в виде Е = Ег Ц Ез, Ег зе 6, Ез ~ 6, Ег П Ез Ф 6 следует, что или Е1ДЕэ 146 или ЕзПЕ, ~ 6.

Определение. Множество .0 называется областью, если это множество связное и открытое одновременно, Й вЂ” замкнутая область. Рассмотрим Ю С С. Пля областей Р с С связность эквивалентна следующему определенню. Определение. Множество Е называется связным, если для любых ям яз е Е существует ломаная, состоюдея из конечного числа прямолинейных отрезков, целиком принадлежащих множеству Е. В обцхем случае последнее определение связности не эквивалентно определению связности в топологическом пространстве. Функции комплексного переменного. Непрерывность и дифференцируемость. Геометрический смысл аргумента и мцпулд.

произвоцной. Пусть множества Е, Е с С, точки я е Е, ю с Е (рис.4). Скажем, что на множестве Е задана функция комплексного переменного Д2), если для ~Ь б Е Чи б Е:,((х) = ш. Множество Р называется областью изменения функции Дя), если Фи б Р Вг б Е: 1(х) = и. Вообще говоря, каждому я Е Е может соответствовать одно или более значений ю: у(я) = в. Если такое ге — единственное, то 1(я) — однозначная функция, в противном случае многозначная. Например: 1.

У(я) = я", и е И вЂ” однозначная функция на Е = С. 2. Дя) = ~/з, и Е 1Ч. По определению число ю есть ~/х, если хэ" = х. ПУсты = Щсоз~р+ гешу) = фсозэхбх +1зш эхях) — тригонометрическая запись комплексного числа, тогда у(х) = ~/я= ~з)- соз +ззш Й = 0„1,2,...,о — 1. Функция бй многозначная, а именно, п-значная функция, каждому значению х, х ~ 0 соответствует и различных зна- чений /(я). Функция ~/~ определена на всей комплексной плоскости С и является обратной к функции з". 1аа и(х,у) =а, 11ш и(х,у) =Ь.