Леонтьева. Лекции по ТФКП

контрвьныи листок сРОЖОВ мози%тъ мОскОВский Гось'дАрственный униВЕРситет КНВК А.~ДИЖНА ЫЛЬ. ВОЗВРАЦЛ~АНВ ПОЯЯж ЯиаАННОГО ЗДКСЬ СРОКА Мчет. билла Срокнозарата ххххх оу. оу- О~ Т.А.Леонтьева ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Учебное пособие МОСК ва 2ООЗ нм. М.В„ЛОМОНОСОВА ФАкультет Вычиолиткаьиой МАтемАтики и киБКРиетики УДК 517.5 БВК-22. 161.5 Л-47 Т.А. Леонтьева Лекции по теории фуикций комплексного переменного (учебное пособие). Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (лицензия ИД Х 05899 от 24.09.2001), 2003 — 156 с.

Печатается иа решению Редакционно-издательского совета Факультета вычислительной математики и кибернегаики ЮГУ им. лв.В. Паманосова Рецензенты: д.ф.м.н., проф. Седлецкий А.М., д.ф.м.н., проф. Шикин Е.В. Лекции по теории фующий комплексного переменного рассчитаны на студентов второго курса факультета ВМиК. Читается курс в течение одного семестра и состоит примерно из 18 лекпий. Рассматриваются такие фундаментальные понятия как непрерывность, интегрируемость н дифференцируемость функций комплексного переменного. Изучаются вопросы теории аналитических н гармонических функций и применение этой теории к конформным отображениям.

В конце лекций рассматриваются вопросы операционного исчисления и его связь с решениями дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Лекции содержат около 50 задач теоретического характера. Изложение лекций согласуется с курсом математическою анализа, который читается параллельно курсу ТФКП. Данное пособие будет полезно студентам н аспирантам технических университетов и вузов, изучающих курс ТФКП.

-3'У.~ — 3-е - язв БВХ 5-89407-151-8 © Издательский отдел факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова 2003 Оглавление. Предисловие.. .4 1. Комплексные числа и их свойства. Множества на комплексной плоскости. .6 2. Функции комплексного переменного. Непрерывность и дифференцируемость. Геометрический смысл аргумента и модуля производной.15 3. Элементарные функции комплексного переменного. Интегрировелие функций комплексного переменного.

Интегральная теорема Коши .25 4. Интегральная формула Коши. Интеграл тица Коши. Теорема Море1за. 37 5. Гармонические функции, принцип максимума модуля аналитической функции, принцип максимума гармонической функции........... 47 6. Числовые и функциональные ряды ........ 54 7. Теорема единственности аналитических функций. Разложение гармонических функций в ряды .64 8. Многозначные фуюсции. Анелитическое продолжение...........

70 9. Аналитическое продолжение через границу области и через разложение в степенные ряды. Понятие поверхности Римана............... 77 10. Ряды Лорана. Изолированные особые точки.................... 84 11. Вычет аналитической функции. Теорема о вычетах. Вычисление интегралов с помощью теоремы о вычетах . ........ 93 12. Логарифмический вычет, принцип аргумента, теорема Руше. 102 13. Конформные отображению Основные принципы конформных отображений. 108 14. Дробно-линейное невырождеиное преобразование и его свойства. 114 15.

Конформные отображения, осуществляемые функцией Жуковского, элементарными функциями (я", г*, сов », 18 я).................... 121 16. Задача Дирихле для оператора Лапласа.....,....,............ 128 17. Интеграл Лапласа н его основные свойстве................... 137 18. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.................

147 Список цитируемой литературы 156 Список рекомендованной литературы 156 Библиографическая справка. 157 Предисловие. Данный курс лекций по теории функций комплексного переменного в те. чение многих лет читался автором для студентов 2-го курса факультета ВМиК МГУ. Курс ТФКП входит как составная часть курса математического анализа. Ввиду этого, читается одна лекция в нацелю, и число лекций по ТФКП ограничивается 18 лекциями. За неимением дополнительнбго времени, автору пришлось ввести понятие аналитической функции как функции, имеющей непрерывную производную. Некоторые теоремы, а именно, теорема Р,амана о конформном отображении, большая теорема Пикара о поведении функции в окрестности существенно особой точки, даются без доказательства.

Курс ТФКП согласован с курсом математического апалвза. Так знание свойств криволинейных интегралов от функций действительного переменного, свойства равномерно сходящихся рядов действительных функций, методы суммирования расходящихся рклов (методы Чезаро и Пуассона-Абеля) предполагаются известными.

К моменту чтения лекций по ТФКП уже известны свойства несобствеииьп~ интегралов, зависящих от параметра. Параллельно с изложением теории рядов Фурье в курсе анализа изучаются в курсе ТФКП свойства гармонических функций и ях разложение в ряды Фурье. Изложение теории функций комплексного переменного начинается со свойств комплексных чисел и таких понятий, как непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость функций комплексного переменного.

Далее рассматривается теория аналитических функпий и применение этой теории к конформным отображениям. Подробно исследуются свойства дробно-линейной функции и элементарных функций. Наряду с однозначными функпнями рассматриваются многозначные. функции и методы выделения однозначвх ветвей многозначных Функций. Ввсаится понятие римановой поверхности. Наряду с аналитическими функциями исследуются свойства гармонических функций. Строится решение задачи Дирихле для оператора Лапласа для области определенного вида.

Вводится функция Грина или функция источника и показывается связь существования функции Грина для области и конформного отображения этой области на единичный круг. Как еще одно применение теории аналитических функций рассматривается преобразование Лапласа при решении дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Наряду с изложением лекций приводится список задач теоретического характера, рекомендуемых студентам для лучшего усвоения курса. Число задач около 50, некоторые из задач можно рассматривать как самостоятельные теоремы. Лекции согласованы также с задачником по теории Функций комплексного переменного: Т.А.Леонтьева, В.С.Панферов, В.С.Серов "Задачи по теории функций комплексного переменного".

Приводится список рекомендуемой литературы студентам для изучения курса ТФКП и при подготовке к экзамену. Приводится спясок цитируемой литературы. В конце лекций приводится также библиографическая справка об авторах, чьим именем названа та или иная теорема. Несмотря на то, что данный курс лекций рассчитан на студентов данного факультета ВМиК МГУ, он будет полезен студентам и аспирантам технических университетов и вузов, знакомжцнхся с курсом теории функций комплексного переменного, методы которой используются в физике, механике, аэродинамике, радиотехнике.

Пользуясь случаем, хочу выразить благодарность моим рецензентам: д.ф.м.н., профессору механико-математического факультета Седлецкому А.М. и д.ф.м.н., профессору факультета ВМиК Шикину Е.В. за труд прочтения лекций и за ценные замечания. Также хочется поблагодарить за профессиональный компьютерный набор рукописи Комарова М.В.

Лекция 1 Рис. 1 а =х+ау, х = Кеа, у =1ша. Комплексные числа и их свойства Множества на комплексной плоскости. "Инимые чис«а — вто прекрасное и чудесное убехсииае бохсестаенного духа, почти что амфибия бытия с неба«вием." (Лейбнащ [1)) Рассмотрим множество пар действительных чисел (х,у), х, у е К. Два элемента этого множества (х, у) и (хм уд) называются равными, если х = яму = у,. На этом множестве введем две операции — сложение и умножение: (х у)+(х уа) =(х+ у+уа) (х, у) * (х„ у,) = (х ха — у . уа, ха . у + х уа). Операции сложения и умножения обладают свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности умножения относительно сложения Элементы вида (х,О) = х будем отождествлять с действительными числами, в частности, элемент вида (О,О) = 0 будем считать нулевым элементом. Элемент (1,0) = 1 — единицей, элемент (0,1) = а назовем мнимой единицей.

Так аа = ааа = -1. Тогда а.у = (О, 1)*(у, 0) = (О, у). Элемент (О, у) будем называть чисто мнимым числом. Имеем (х, у) = х+ ау. Итак, элементы (х, у) данного множества будем называть комплексными числами и обозначать Для операции сложения комплексных чисел существует обратная операция — вычитание. Если ха = ха + аул ха — — ха + ауа, то «а — аа — (ха + ауа) — (ха + ауа) = (ха — ха) + 3(уа — уа), Для операции умножения существует обратная операция — деление. Пусть ха зе О, тогда ха ха + щ ха ауа каха + уауа .уаха — хауз а а +' аа ха+ауа ха ауа ха+уз ха+уз Таким образом, множество комплексных чисел с ввавгнными операциями сложения и умножения образует поле, ово называется полем комплексных чисел.

В курсе алгебры доказывается, что поле комплексных чисел есть минимальное поле, содержащее поле действительных чисел и элемент а, так что аа = -1. Е::::) Задача 1. Существует ли поле, для которого поле комплексных чисел (с введенными операциями сжокения и умножения) являлось бы подполем? Итак, а = х + ау.Число а = х — ау называется числом, комплексно сопряженным с числом а. Справедливы соотношения ~а '1 аа + аа = ва + ун аа ' ва аа ' аа; = : аа Ф О 'чаау аа Число )х) = з/ха+ уа называется модулем комплексного числа. Множество комплексных чисел можно отожцествить с точками плоскости, а именно, на плоскости введем декартову систему координат (х,;,в) (рис.1).

Рассмотрим точку Я с координатами (х, у) и радиус-вектор ОЯ. Угол р, который образует радиус-вектор с положительным направлени- 3': ем оси Ох, определен с точностью до 2хн, н = О, х1,х2,.... Имеем х = )а) соваа, у = )а) вш~р, а = )а)(сов~р+ аеш ь) — тригонометрическая запись комплексного числа, ва = «и + 2хн, -х «рв ч я. Под главным значением аргумента комплексного числа а будем понимать угол вав и обозначатырв = вгй в, тогда у = агй а+ 2в н = Агй ». Выразим агу 2 через действительную часть х и мнимую часть у комплексного числа 2.' агк2 = агсгб —, х > 0 у х агух = я+ ехсзб —, у > О, х < 0 у х' егия = -я+ агсзй —, у < О, х < 0 у х' Для точки 2 = 0 угол не определен. Если числа заданы в тригоно- метрической форме 2, = ~21((со8221 + 281в рг), 22 = )22~(со8222+ 28ш1рз), то 2 . 22 = ~21~ ~82((СО8(221 +аз) +281П(121+ 222)) .

В частности, если и Е гз и 2 = ~2((соя $2+ 3 81П 21), то 2 =12~ (Созйгз+$8!пп12), зта формула носит название формулы Муавра. Положим ~4 = г, соз 22+ 181в х = еч' (в дальнейшем будет Объяснена формула Эйлера егв = соз 12+ 181п 12), тогда 2 = геч', 2" = г"е' ~. Совокупность всех точек 2 на плоскости называют комплексной плоскостью и обозначают С.

Ось Ох называют вешественной осью, ось Оу называют мнимой осью. Стереографическая проекция. Во многих вопросах теории функций комплексного переменного наряду с комплексной плоскостью С рассматривается расширенная комплексная плоскость — совокупность всех комплекснчх чисел и их бесконечно удалениях точка (оо). Обозначение С. Как можно трактовать С? Для зтого вводится понятие стереографической проекции — как взаимно однозначное отображение С на сферу Римана.