Леонтьева. Лекции по ТФКП, страница 8

Выражение х1+ хз+... +г„+... называется рядом из комплексных чисел и обои> и значается символом ~; г„. Введем частичную сумму ряда 8« и« '„«г. и«1 >' ° =1 Ряд называется сходящимся и имеет сумму, равную числу 8 если су- «О > шествует 1пп 8« = 8. Обозначим 8 = ~ х„. Тем самым по определению и> и«1 8= ),х„,если 1>г > О пг1(г) Чп >» 1>"(г) -+ 18 ~~1 'х ~ < е п и и> «-*я+'2рь> если х« = х«+зр„, ТО ряд,'«г„сж«диГСя 1=1 1=1 «=1 тогда и только тогда, когда сходятся ряды ~ хи, ~,' уи. Таким образом, п=1 п1 для рядов из комплексных чисел справедлив критерий Коши, аналогичный критерию Коши для рядов из действительных чисел.

Критерий Коши. Ряд «з«сходится тогда и только тогда, когда п«1 «рг > О 31>1(е) з>п » )А1(е)» 1р Н 1'1 + (8«+р 8«1 =1хп+1+ ° ° ° +хи+р! < г ° Неойвдимое условие сходимости ряда: 1цп х„= О. п->с« Рял Я г„называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд и«1 ОО ~х 1 Из абсолютной схслнмости следует сходимость ряда ~„х„. Так и=1 п=1 как 1х„~ > О, то все признаки абсолютной сходимостн ряда с комплексными числами,'«ги справедливы как признаки сходимости рядов с не««1 отрицательными членами.

Смотри, например, В.А.Ильин [4). Пусть множество Е с С и последовательность функций (Ц„(г) ~, х й Š— задана на Е, Ряд «" у„(х) называется функциональным рядом. Сходи««1 моста функционального ряда на множестве .Е может быть поточечной и равномерной. Поточечная сходимость — сходямость в каждой точке множества Е как сходимость числового ряда. Определение. Функциональный ряд ~ у„(я) сходится равномерно на и«1 множестве Е к функции Щ, если и у. > О Вр1(г) > О Щ > А>(е), >рз 6 Е -ь У(х) Х~' Уь(~) Ь«1 Критерий Коши равномерной сходимостн. Ряд ~; У„(х) сходится и=1 на множестве Е равномерно тпогда и только тогда, когда чг > О 3)«1(г) 1Рп»> г1(г)> >РР б Р1> чх н Е -+ 1У«+1(г)+...

+Ув+р(х)! < е. Пусть уи(х) = и' (х, 9) + 1ои(х р). Теорема. Ряд ~ у„(х) сходится равномерно на Е тогда и только тпоги«1 да, когда равномерно но Е сходятся два ряда х; ии(х р) х, и (х У). п=1 ««1 Показательство следует из справедливости неравенств: п+р и+р и+р 11(х) < ~~ и1(х,р)1+1 ~~~, ез(х 9) ' >=«+1 >«и+1 Ьи«+1 зС ( ) < «С >р1( ) ~» о1(х,р) <» л(г) Отметим свойства равномерно сходящихся рядов, которые нам понадобятся в дальнейшем: равномерно на ~4' — хо~ = б, то От 00 У( ) = , 'У.( ) = ~„-,†, /" и 1 п«1 Е У.(4) 2111 ( — х У (СМ К-М=б К-тп)пб Уайет* = К/т.н т*.

г п«1 г 56 1, Пусть )ти а 111 Уп(х) ~ С(Е), ряд 2 У„(х) сходится равномерно на «=1 Е к функции У(х). Тогда У(х) е С(Е). 2. Пусть т)н Е 1") существует интеграл,) У«(х) дх Рял т Уп(х) скопит г «=1 ся равномерно на кривой Г к функции У(х). Тогда существует интеграл ) У(х) дх, при этом г Доказательство этих свойств следует из предыдущей теоремы и аналогичных свойств действительных рядов. Смотри, например, В.А.Ильин [4].

Определение. функциональный ряд 2; Уп(х) сходится равномерно внут««1 Ри области Р, если РЯд 2; Уп(х) сходитсЯ РавномеРно на любом компакте п«1 К С Р. Заметим, что условие равномерной сходимости внутри — более слабое условие, чем условие равномерной сходимостн.

Первая теорема Вейерштрасса. Пустпь Чп ~ 1) Уп(х) б А(Р) и длх любого компактна К С Р ряд ~ У (х) сходитпсх равномерно к У(х) на «=1 К. Тогда 1) У(х) Е А(Р); ЙУ Ут )(х) =,С У (х), х б .Р. «=1 о) Рхд 2; У«1 )(х) сходитпсх равномерно внутпри областпи Р. п«1 Доказательство. Для любого хо б Р существует замкнутая окрестность стб(хо) = (х: )х — хо~ < б) С Р, б > О.

По интегральной формуле 1 У УИ)44 Уп(х) = . /, х е стб(хо)- 2ят,т' С вЂ” х К-*а)=б Так как множество )~ — хо~ = б — компакт и ряд Я Уп(с) сходится ««1 Из равномерной схсдимости ряда на К вЂ” хо~ = б следует, что У(х) к С()4 — хо~ = б), тогла интеграл —. ( " есть интеграл типа 1 У (О~К 2яъ)б ) б ~ — х Коши и есть аналитическоя функция внутри Уб(хо), т.е, функция У(х) б А(Уб(хо)).

Так как точка хо произвольная, хо е Р, то У(х) й А(Р). Докажем справедливость второго утверждения. Для любого й б 1)) У (х) = . у ~ы, б и~( ). В У Уп(6 д(' Из равномерной сходимости ряда С У„(~) на множестве ~~ — х ~ = б следует й) У Е У"® ~ й) У У(~) д~ 2ят,/ Ц' — х)"+' 2ят / (~ — х)"+1 К-*а)пб К-тй=б Осталось доказать равномерную сходимость внутри области Р ряда (х). Напомним, что равномерная сходимость внутри области Р (о) ппа есть равномерная ствдимость на любом компакте К С Р. Покажем, что это условие эквивалентно равномерной сходимости на любом круге,лежащем в области Р. Действительно, если есть равномерная сходнмость на любом компакте,то будет равномерная сходимость и на любом круге, лежащем в области Р, так как круг — компакт. Обратно, пусть есть равномерная сходимость на любом круге, лежащем в области Р.

Возьмем компакт К с Р (рнс.14). В силу леммы Гейне-Бореля существует конечное число кругов, накрывающих компакт К„можно взять круги таким образом, что замкнутые круги целиком принадлежат области Р. Так как этих кругов конечное число, то из равномерной сходимости на этих кругах будет следовать равномернэя скспимость на самом компакте К С Р. Итак, будем доказывать равномерную схолимость ряда 2 у„(х) на лю- то] пп1 бом круге К С Р. Рис.

14 пусть к = (х: ~г — го~ < т) с Р. существует круг большего радиуса (О < т <т,) — Цх — го~ < т11с Р. Пусть хб К, т.е. ~х — хо~ < г, имеем И) — 2., Л(с) дс тю(,) т; ~с ~(,) " ( -2ят,' М х)1+1 К-ПП= 1 или п к1 2я ° г1 п х"'()-Х;Ф"() --„' („"'„"„„.„„, ~я)-Х:аа. Ьп1 Оп! В силу равномерной сходимости ряда 2; ЯС) на любом компакте, сле- п=1 дует равномерны сходимость ряда 2; у, ~(г) к этот(х) на круге К = пп1 (х: ~х — го~ < т). Так как круг — произвольный, лежащий в области Р, то отсюда следует равномерная сходимость внутри области Р ряда 2; ф ~(г). Теорема Вейерштрасса доказана.

Ьп1 Вторая теорема Вейерштрасса. Пустль Р— ограниченно» областпь, длг любого п б тч У„(г) ч А(Р) й С(Р), ряд ~" у1"т(г) сходиптся раенопп1 Фп »терно на »ранние дР областпи Р. Тогда ргд 2; Ях) сходитпся раено- пп1 мерно е (Р) к некотпороб функции т'(г) ч А(Р) и С(Р). Доказательство.

Из равномерной схопимости ряда 2 у„(г) на дР следует п+р Чг > О 311т(е) ттп > Ф(е), Орк й, т» е дР -+ ~ Яг) < е, п+р но 2 уо(г) б А(Р) т1 С(Р), поэтому в силу принципа максимума мог=а+1 дуля аналитической функции следует и+р Ях) <г, гбР, О=а+1 пэ т.е. ряд 2, уь(х) сходится равномерно на Р и, поэтому, у(г) = 2; уь(г) б Гт=1 В=1 С(Р), а по первой теореме Вейерштрасса Дг) ч А(Р). Теорема доказана. Все, что было сказано для функциональных рядов, можно перенести на функциональные последовательности.

Если задана функциональная последовательность Ц„(х)), то можно составить ряд 2;(уь+1(г)-Яг)), Ь=1 при этом частичные суммы Яп 1(х) = тп(х) — Я»). И, наоборот, по функциональому ряду 2,' Ях) можно рассмотреть последовательность часа 1 тичных сумм Я„(х) = 2 ть(х). Ь 1 Рассмотрим частный случай функционольных рядов — степенные ряды. Рхд втша 2, аи(г — хо)п называетсЯ степенным Рхдом с центРом Разипо ЛажЕНИК В ТОЧКЕ го, ГдЕ (ап) — фИКСнранаииая ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСть КОМП- лексных чисел.

Первая теорема Абели. Если ряд ,'С, 'ап(г — хо)п сходитпся е точке г, ф хо, тпо он сходиптея е тоже г: ~г-хо~ < ~»1 — го~, причепт абсолютпно. п 1» — го Доказательство. Имеем!ап(г — хо)"! = ~а„(»1 — го)п~ ~ . Так как Х, — »,1 ряд 2 ап(»1 — хо)п сходится, то ЗМ > О: ~ап(»1 — го)" ~ < М для любого п=о п б г(. Тогда общий член ряда ',т , 'а„(»- хо)п удовлетворяет неравенству ~ » — го ~ 1~(.

)-! М-;, „„= — 1.1, »1 — го! и Рвд 2 аи(г — »о)п схсдитсл абсолютно ппО 1 Введем радиус сходимости степенного ряда Я = . В курсе 'тпп фа„~ !аь~ < —, Й й !Ч М(р) Положим х = хо, тогда т! !( ) ь!агл „~!"("). к! Рис. 15 лпв К-оо!пм 61 математического анализа в 3-м семестре доказывается теорема Коши- Адамара (см., например, В.А.Ильин [4)). Теорема Коши-Адамара. Если В = О (т.е. Вш ~/Я = ос~, лтоо оо то ряд 2 ап(х — хо)л сходится только е точке хо.

Если В = оо п=о (т.е. 1!ш Яа„~ = О~, тпо ряд сходитпся абсолюцию во всей комплексной л~оо плоскости С и равномерно внутри С. Если О < В < со, то ряд сходится абсолютно внутпри круга !» — хо~ < В, равномерно внутпри круга; вне замкнутого круга ряд расходитса Пусть О < В. Так как общий член ряда ап(» — хо)л 6 А(С), по первой теоРеме ВейеРштРасса сУмма РЯда ((х) = 2, ап(х — хо)л есть аналитиппе ческая функция внутри круга !х — хо~ < В, при этом Х!~!(х) = ~~1 а„- н(п — 1)... (л — й+ 1)(х — хо)п ь = л=о оо = ~ оп п(п — 1)... (п — й+ 1)(х — хо)л ь. л=ь Тем самым, если О < В, то сумма степенного ряда имеет вид " .(!"!( ) Дх) = ~т ! (х — хо)', х й (х: !» — хо) < В).

Ряд, стоящий справа, носит название ряда Тейлора для функции у(х). Возьмем О < р < В, обозначим М(р) = ша'~ йх)) 7(х) !и-то!пр ап(х — хо)". Так как у(х) 6 А(!х — хо~ < В), то ~ У (хо) ~ = — ' — . 2ттр = — . 1с! уй ". М(Р) М(Р) 2я р"+т р" — неравенство Коши для производных функции У(»), й ч г!. Для коэффициентов степенного ряда имеем неравенства — неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда. Теорема Тейлора.

Пусть функцшт У(х) 6 А(В) и тпочка го й Ю. Пустпь р= р(хо,дЮ) > О (р можетп равнотпься оо). Тогда функцию у(х) можно разложитпь в ставленной ряд ,((Х) оо,"~ а,.»--О))", Хй(»: ~Х-Хц~ <Р) ([и) ( ) ряд сходитпся равномерно енутпри круго, при этпом а„= — о. Нэ вида коэффициентпов а„следует, что разложение функции у(х) в степенной ряд единстпв енно. Доказательство. Проведем круг с центром в точке хо и радиусом О < рг < р (рис.15). Круг !х — хо~ < рт целиком принадлежит В. Проведем также круг с центром в точке хо и рэлиусом рз . О < рт < р,.

Рассмотрим точки х: !» — хо~ < рт, для таких х имеем 1' Функцию — (часто называемую ядром интеграла) разложим в ряд: с — х 1 1 1 1 (х — хо 1" — ч — хо (х хо) (о ) ~1 я — т~) ч хо ) ч хо т й-»«!««» 1(х) = ~~» а„х", 1х~ < со. «=О ~аь~ < —, О < р < со. м(р) аь = О «« = 1, 2, 62 1 х — хе! рэ Так как ~ — 1 < — < 1, то ряд, стоящий справа, сходится равномерно нос: ~( — хе~ = р1 при х е(х: )х — хе) < рз).