Леонтьева. Лекции по ТФКП, страница 10

Аналитическое продолжение. Но сих пор мы рассматривали однозначные функции комцлексыого переменного. Переходя к многозначным функциям, встает вопрос о том, можно ли выделить соответствующие области, на которых многозначные функции можно было бы рассматривать как однозначные или разделить многозначные функции на так называемые однозначные ветви и применить к ним ту теорию функций комплексного переменного, которую мы до сих пор рассматривали. Все сказанное проиллюстрируем на примерах элементарных функций и обратным к ним. 1.

Рассмотрим функцию ый = х и обратную к ней в = 7/х, п н 1»1, и > 1, ег = гхг + 1егз, х = х +»р (рис.16). — так называемая Й-ветвь многозначной функции ~/х, определена ыа С'1К+ и однозначная, она переводит С'1К+ на область Р». Так как на области Р» функция пг" однолистна и аналитична и (гх")' = лги" ' з» О, то по теореме об обратной функции функция ( 7г/х)<»1 аналитична ыа С'1К+ 1 1 1 и ( ./х), =— лгх»» и (»/х)»-» Тем самым к й-ой ветви многозначной функции О/х можно применить ту теорию аналитических функций, которую мы рассматривали для однозначных аналитических функций.

Если на комплексной плоскости х мы обойдем точку х = О или х = со один раз, то агя х получит приращение 2я, и мы с одной ветви ~/х перейдем ыа следующую ветвь. Такие точки называются точками ветвления многозначной функции. Зафиксируем й-ю ветвь ( «/х)» и обойдем точку х = О (или х = оо) л раз, тогда мы придем к той же ветви (~/х)».

Такая точка ветвления называется алгебраической точкой ветвления (п — 1) порядка. Итак, многозначная функция ~",/х допускает вьщеление и различных однозначных ветвей, каждая из которых является аналитической на С'1К+, точки О и оо являются точками ветвления (и — Ц порядка. 2. Рассмотрим функцию х = е, пг = гх, + ггхх, х = х + зр (рис.17).

Рис. 16 Функция гх» на всей комплексной плоскости гх не является одыолистыой„ поэтому обратная к ыей функция фм многозначная. Выделим на плоскости гх области однолистности функции ти" (выделить области можно по-разному). Мы всю пгюскость ю разобъем ыа области Рм й = 2лй 2я О,1,2,...,п — 1, где Р» = гх: — < агягх < — (й+ 1) . На каждой областк Р» функция и" однолистна, область Р» она отображает на плос- кость С1К+, К+ = (х: О < х < +со).

При фиксированном й обрат--- (') = .(-("")"-(""'"')) Рис. 17 Так как функция е" имеет период 2я», то на всей плоскости пг она не однолистная. Разобьем плоскость и на области Р» — (ги: -гг+ 2яй < 1пггх < я+ 2яЦ, л = О,Ы,~2,.... На области Р» функция е однолистна, поэтому обратная к ней функция будет однозначной. Функция е" отображает область Р» на область С~К, К = (х: — со < х < О). Имеем е = х, поэтому 1х) =е ' им =1п(х). Тогда х = 1х1ег" =е"' е и пгз — — ггг + 2Ьг, т.е.

и = 1п Ц + 1агя х+ 2Ьгг', й = О, ~1, х2,.... Обратную функцию к функции е' назовем 1 и х, тогда Еп х = 1п )х) + 1агях+ 2Ьгг', й = О,х1,х2,... — многозначная функция, но допускает выделение бесконечно много однозначных ветвей. При фиксированном й й-ая ветвь (Ьп г)» — — 1п 1г~ + 1 аг8 г + 2йл»' отображает С1К ва область Ю». Так как ва области 12» функция г = е одыолистна и аналитична, при этом (е )' = е";» О, то обратная к ней функция й-ая ветвь (Ьп г)» 1 1 есть однозначная и аналитическая функция на С1К, (Ьп г)» = — = —. Нулевую ветвь Ьп г обозначают 1п г, 1п г = 1п ф + 1агб г. гк При х > 0 1п 1х! = !пх и так как 1пх = „( — пры г = х > 0 в 1~ области С'1К то 1п)г1 +1агйг = 1п г = / —, г Е С'1К .

Нулевая ветвь г и~ » 1 Ьп г — 1и г называется главным значением Ьп г. При обходе точки г = 0 или г = оо аг8 г получает приращение 2л и мы с одной ветви перейдем на другую ветвь Ьпг. Совершая обход многократно, уже ые вернемся на прежнюю ветвь. Такая точка для многозначной функции называется логарифмической точкой ветвления. Итак, функция 1пг — многозначнзя функция, допускает выделение бесконечно много однозначных ветвей, каждая нз которых является одыозначной и аналитической функцией в С1К, точки г = О и г = оо являются логарифмическими точками ветвления.

3. Определив функцию Ьпг, можно определить функцию г, а Е С. По определению »» а»в» В зависимости от того, каково а, функция г может быть однозначыой нли многозначной. Можно допустить выделение конечного нли бесконечного числа сдыозначвых аналитических ветвей. Так при с» = и е г1 функция г — однозначная, аналитическаз функпия; при рациональном а ф О, а = — (тл и и взаимно просты, и > 1) функция г — много- и значная функция, имеет и различных ветвей.

Рассмотрим а = 1, тогда г* = е*'"'* = е""'1*1»ы ~»+~ О = е "з' '"'. е'м~»Ь Функция г' имеет бесконечно много однозначных аналитических ветвей в С1К, в частности зч = е "~з ы" (- вещественное число) имеет бесконечно много различных вещественных значений. 4. Рассмотрим функцию созе» = г, и = в»» + миг, г = х + 1р (рис.18).

Рис. 18 Так как функция сова периодическая с периодом 2лп и четная, то на плоскости ги она несднолистная функция. Разобъем плоскость и ыа области Х>» = (м: — и+лй < В,е в» < и+лЦ, й = О, х1, х2,.... Функция соз и область 11» переводит в область Щх: (-оо < х < — 1) Щ1 < х < +оо)). Мнимую ось — ~о = йиз функция соя в» переводит в луч: 1 < х < +со, обходящийся дважды е *+е' сов миг = = ей в~, -оо <»из < +со. 2 Второй участок границы Ри (или Ю») переходит в луч: -оо < х < -1, обходящийся дважды »и = и+ 1»»2 '» соз(л+ Фщ) = с»»»»2.

Определим обратную функцию к функции созыв е + ' 1+1' г=созв= = —, где з=е"". 2 2 Тогда 1 — 2гг + 1 = 0 и 1 = г+ з/гз — 1, поэтому и = — Ьп (г + з/гз — 1). г 1 1 Функцию, обратную к функции сов г, называют арккосинус г и обозначают Агсож г, тем самым 1 Агссоз г = —. Ьп (г + з6~~ — 1) . Функция Агссоз г допускает выделение однозначных, аналитических ветвей (их бесконечно много) в области СЦх: ( — оо < х < — 1) О (1 < х < +со)). Задача 27. Показать, что для многозначной функции Агссозг точки г = х1, г = оо есть точки ветвления.

Определить их характер. 5. Рассмотрим функцию»8 то = г, в» = вь + 1вв, г = х + 1р (рис.19). 73 Рис. 19 75 Разобъем всю плоскость в на области Ю» = 1в: — + ггй < 1шв < 2 — + кй), 6 = О,х1,х2,.... На каждой области 17» функция »бв одйозыачная н аналитическая, поэтому к ней обратная функция являегся однозначной.

Функция »бв область 12» переводит в область СЦр: 1 (-оо < р < — 1) 0 (1 < р < +оо)). Так как (»бв)' = — ~ О, в Е 12», сов»в „ то обратная функция к функции»б в является однозначной и аналитической на Щр: (-оо < р < -1) 0 (1 < р < +оо)). 1 Определим обратную функцию к функции »бв: я = »бв = — ° е'" — е' 1 à — -' 1+»я — ь, поэтому Гз — 1 = 1»(аз+ 1) или »а = —. Отсюда егл + е-'"' 1 Г + -, '' 1 — 1» Обратную функцию к функции $бя назовем арктаыгеысом и введем обозначение /1+»з~ А*»б = —,1 ~ —,~.

21 1 1 — 1з) Агс»к» допускает выделение однозначных, аналитических ветвей в С~(р: (-со < р < -1) 0 (1 < р <+со)), их бесконечно много. В частыости, та ветвь, котоРаЯ отобРажает на область Ра назъааетсЯ агс»б к, а д~ лри я = х агс»бх = ) —, поэтому при я Е С~(р: ( — оо < р < — 1) 0 а 1+( з гЦ (1 < р < +со)) имеем «гс»б я = ) —. а 1+с 28. П , = Ы для многозначной функции Агс»бн Определить их характер. Аналитическое продолжение.

Многозначные функции могут быть получены за счет аналитического продолжения. 1. Аналитическое продолжение с вещественной оси. На действительной оси рассмотрим множество М = (х г а < х < 6), а или 6, а может быть и а и 6 могут равняться оо. Пусть на множестве М задана действительная функция у(х) (функция, принимаю»цая действительные значения), однозначная.

Скажем, что действительная функция Дх) аналитична на М, если аа 'агха Е М Зб > О: Ух Е Уа(ха) ~ У(х) = ~~',а»(х — ха) (1) Скажем, что фуйкция г"(я) — функция комплексного переменного — есть аналитическое продолжение функци Дх) с мыожества М в область О, если Р(я) Е А(В)» Р(х) = Дх), х Е М. Покажем, что если Дх) есть действительывя функция и аналитическая на множестве М, то она допускает аналитическое продолжение в некоторую область |) С С. Рассмотрим ряд ~; а»(х — ха)". По условию он сходится в Уа(ха), б > О. Тогда рял Я аг,(я — ха)" будет сходиться в области ~х — ха~ < б и »=а определять в этом круге аналитическую функцию Р(х), при х = х Е М функция у(х) = Р(х). Рассмотрим область |2 = () 4;„где К„= 1я: Фаям )я — ха~ < бу. Функция Г(х) е А(12) и при х е М совпадает с у(х). Так функцию е* можно рассматривать как аналитическое продолжение функции е* с множества М = К вЂ” действительная прямая.

+»»» яа е' = ~~г —,, ~х~ < оо, е* = ~~г —,, ф < оо. »»=а »»=О Функции егп я, соз х как аналитические продолжения с вещественной оси функций зшх, сов х: Лекция 9 Функцию )п(1+х) можно рассматривать как аналитическое продолжение функции 1п(1+ х) с интервала (х) < 1 в круг ф < 1, а именно ( 1)»-1х» ( 1)»-г» 1п(1 + х) = ~с , ~х~ < 1, )п(1 + х) = ~~~ , )х) < 1. »=1 »»ч Понятие поверхности Римана. 7б +»о ( 1)» за+1 з1п х = ~~~,, ф < оо, (2п+1)! ' (-1)"хз" (2п)! ( 1)»хз»+1 з1п х = ~~~,, Ц < оо.

(2п+1)1 ' +~» ( 1)» 3» созх=') ( ),, ~х~ <со, »»е Аналитическое продолжение через границу области и через разложение в степенные ряды. На прошлой лекции мы рассмотрепи аналитическое продолжение функции, аналитической на интервале действительной оси, в комплексную область. Рассмотрим другой вид аналитического продолжения: 2. Аналитическое продолжение через границу области. Пусть зеланы две области Р, и Рг„так что РзйРз = е~ и области имеют обший участок границы Г, где à — жорданова, кусочно-гпадкая кривая. Будем рассматривать кривую Г без концевых точек.