Леонтьева. Лекции по ТФКП, страница 9

DJVU-файл Леонтьева. Лекции по ТФКП, страница 9 Математический анализ (2697): Лекции - 4 семестрЛеонтьева. Лекции по ТФКП: Математический анализ - DJVU, страница 9 (2697) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Леонтьева. Лекции по ТФКП", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 9 - страница

Поэтому К-~о!=.» — 1 Г УК) И4 (х — хе)" = 2 (х — хо)» («х х )«+ «=О «=О 1 )" Я)»1С 11"'(хэ) » 2яз „( (»х х )»+1 п» Так как р, и рз были любые, р1 с р, рз < р, то разложение в степенной ряд справедливо в круге ~х — хе~ < р — максимальный круг с центром в точке хе, лежаший в области Р. Рял сходится равномерно внутри этого круга.

Теорема доказана. Рассмотрим функцию Дх) ~ А(С) (целая функция). По теореме Тейлора ее можно разложить на всей комплексной плоскости в ряд Тейлора с центром в точке хе = О (например) Для коэффициентов имеем оценку (неравенства Коши) Если Щх)( < сопхг, то, устремляя р -+ +со, получим т.е.

Дх) «е ае. Мы доказали следствие из теоремы Лиувилля, исходя из степенных рядов. Выпишем для конкретных функций разложение их в ряды Тейлора: м « 1.е*= 2,—,, ~э~<ос; «=О П ( ц» з»+1 2. О»пх = ), ~х~ с со; «=О (2п+ 1)' »» [ Ц» ь» 3. соэ х = ~, ~х~ < со; «0 хз» 4. сЬ х = "„» , '—, ф < оо; О (2п)1' Хз»+1 б. вЬ х = 2;,, Ц < оо.

»=О ( и+ )" (::::Л Задача 19. Привести пример функционального ряда, сходящегося рав- номерно внутри области В, но не сходящегося равномерно в области Р. Задача 20. Показать аналог теоремы Вейерштрасса для гармонических функций: если последовательность (и»(х)1 гармонических функций в области В и непрерывных в Р такова, что ряд ",»,' и„(х) сходится равно- »«1 мерно на границе дР области В (область ограничена), то ряд сходится равномерно в В и его сумма есть гармоническая функция в В и непрерывная в Р. ~Зм; »». И.., . у„»,»», », Ях) 6 А(В), »»п е И,  — область, послееовательность (Веу„(х)) сходится равномерно внутри В, последовательность (Ц„(хе)) сходится„точка хе б Р,то последовательность Ц„(х)) сходится равномерно внутри области Р. Задача 22.

Пусть последовательность (и„(х)) — последовательность гармонических функций, 1пп п„(х) = и(х), схопимость равномерна внуг«-»с« ри области В, тогда и(х) — гармоническая функция в области В. Лекция 7 Теорема единственности аналитических функций. Разложение гармонических функций в ряды. Пусть функция У(х) е А(У,(хо)), в > О. Определение. Точка «о является нулем кратности й аналитической функции У(х), если У( о) =О, У'( ) = О, ..., У'" О(,) = О, У1"1(~) ,-о О, Если й = 1, то нуль хо называется простым нулем функции у(х). Из определения нуля кратности й следует, что в окрестности У,(хо) функция У(х) представима в виле У(х) = л~ аа(х — хо)", ао ~ Оэ ~х — «о~ ( г .

Тем самым У(х) = (х — хо)~~Р(х), 1о Е А(У,(хо)), 1Р(го) ~ О, Теорема единственности. Пусть функции У(х),д(х) е А(Р), последовательпость (х„~ Е Р, х; уь «1, 1 ~ У и такая, чпю существует предельная точка хо Е Р. Тогда, ес в У(хь) = д(хь), Чй Е И, то У(х) гн д(х), х е Р. Доказагельство. Так как последовательность (х„) имеет предельную точку хо, то существует подпоследовательиость (х„„) последовательности (х„), сходящаяся к точке го.

Будем эту подпоследовательность обозначать («'„). Итак 11ш х„' = хо. Из того, что «о е Р следует, что существует ь-+ьь окрестность У,(хо) с Р, г > О. Разложим в этой окрестности функции У(х) и у(х) в степенные ряды: У(х) = Ч~~ а„(х — хо)"„ у(х) = ~ б„(х — «о)", )х — «о~ < г, гле ао = У(хо) = 1пп У(х„'); бо = д(го) = 1пп д(х,',). Из условия У(х„') = д(х„'), Чп Е И вытекаег, что ао — — бо. Представим функции У(х) и у(г) в виде У(х) = ао+ (х — хо)У,(х); у(х) = $о+ (х — хо)дг(х), где Ях),д,(х) Е А(У,(хо)), Я«„') = дг(~). Повторяя прелыдушее рассуждение, получим Яхо) = уг(«о) или а, = 6,. На (и+ 1) шаге, повторяя тот же процесс рассуждений, получим, что а„= 6„, тем самым У(х) = у(х), х Е У,(хо). Покажем, что У(г) = д(х) для любой точки х Е Р.

Соединим точку х с точкой хо непрерывной кривой Г С Р. Кривая à — юмпакт. А теперь проведем доказательство, аналогичное доказательству принципа максимума модуля аиалитичесюй функции, а именно: устроим открытое покрытие компакта Г кругами радиуса б/3, где б = р(Г, дР), с центром в каждой точке кривой Г. По лемме Гейне-Бореля существует конечное число кругов из этою открытого покрытия, также покрывающих кривую Г. Соседние круги пересекаются и, следуя из точки хо в точку х, последовательно будем получать равенство функций У(х) = д(х) в этих кругах. Последний щаг приведет к кругу, в котором содержится данная точка х, следовательно У(х) = у(х) для любой точки х Е Р.

Теорема доказана. Следствие 1. Пусть функция У(х) Е А1,Р), последовательность («„1 Е Р, г; ф «1, 1 ф У. Точка хо Е Р и «о — предельная точка последовательности (х„). Если У(х„) = О, п Е М, то У(х) = О, г Е Р. Следствие 2. Пусть функция У(х) Е А(Р), У(«) к О, тогда на любом компакте К С Р функция У(х) имеет не более конечного числа нулей. Следствие 3. Пусть функция У(х) Е А(Р). Тогда нли У(«) = О или в области Р функция У(х) имеет не более счетного числа нулей, которые могут накапливаться только к границе области. Пример, подтверждающий, что предельная точка хо Е .Р— по существу. /11 Пусть Р = (х: Нех > О), функция У(х) = г1п ~ — ) Е А(Р), У(«ь) = 1 О, хь = —, й = 1, 2,.... Точки хь Е Р, 1пп «„= О.

Предельная точка яй ь — ка «о — — О Е дР, У(хь) = О, но У(х) ф О. Задача 23. Показать, что для любой области Р существует последовательность компактов (К„У такая, что К„С К„м ( ) К„= Р. Показать, а=1 что для любой области Р существует последсеательность ограниченных областей (Р„) такая, что Р„С Р„+ь ( ) Р„= Р. К-.о!- К" о1» или »=О = г( у 6 — — -с», ~((п е 1Ч. Тем самьгм 66 (з~ ур.

(»Р р роу Г((о»((*( ц,у((»о, оращающейся на последовательности (»») в ноль, Г(«») = О, [»»[ с 1 и множество предельных точек последовательности («„) есть вся граница области — [»[ = 1. Рассмотрим гармоническую функцию и(х, р) в круге [»- »о] < Я, «2 > О. Так как круг есть односвязная область, то существует функция Г(») Е А([» — «о[ < «1) такая, что Ке Г(») = и(х,р). Рэзложим функцию 7(») в степенной ряд в этом круге У(») = ~~р а»(» — «о)", ]« — »о] < Я, Пусть точка» Е 1»: [» — «о] < 1г)у тогда» = «о+ реов, О < р < Л, и пусть а„= а„+ цу„. Имеем У(») = ~~о (а„+ 2Д,)р»е( в = ~ ~(а„р" созп(р — (В„р" зшпоо) + »=О ру О +2~~ (р„р" созп(р+ а»р"аппо().

Введем обозначение Г(«о+ ре'") = и(р, р) +во(р,(р), тогда и(р,р) = ~(а„р"ссеп(р — 33 р" з1птвр) » — О +оо О(р, р) = "о ~Д,р" созп(р+ а„,о" или(р) +оо +оо Лва тригонометрических ряда )', (о созпур+ 6„зш п(р) и 2, (с» соя п(р+ » — О » О (1» з1п п(р) называются сопряженными, если их коэффициенты удовлетворжот соотношению: Мы получили, что комплексно-сопряженным функциям соответствуют сопряженные тригонометрические ряды. Итак, гармоническая функция и(х, р) в круге [« — «о[ < Я разлагается в тригонометрический ряд, рав- номерно сходящийся внутри этого круга и(р,(р) = ~~о (а„р»ажл(р — Д,р" з1пп(р), р < В.

Покажем, что этот тригонометрический ряд есть ряд Фурье для функции и(р, (р), т.е. коэф((жциенты этого ряда есть коэффициенты ряда Фурье. Рассмотрим коэффициенты разложения функции Г(») в степенной ряд — коэффициенты о„. Пусть О < г с В. Имеем а„= = — пбМ Сделаем замену с = «о + теор, В Е [О, 2гг], тогда 2» эру о = — ( оте' аВ= — — / Г(»о+теог)е е"(г)В. 1 Г/(«о+того) 'в 1 1 Г 2ко ([ т»+'е(»+г(в,.

2к/ Так как функция Г(») й А([« — «о[ с Я), то — Я)(с — «о)™ас = О, т = 0,1,2,..., 1 — Д«о+те(~)е("~аВ = О, и= 1,2, 2я,/ о 1 2» Так как а„= а„+ 2В„= — . — [ [и(т, В) + ои(т, В)] е ("в аВ, то т" 2з" о +О= + — ° — ~ [и(,В)+ 'и(т,В)]ег И»о т» 2т/ о 2$у 1 1 à — — / [и(т,В)+ое(т,В)! 2созпВВВ. о 1 1 Г 1 1 Г а„= — . — ~ и(т, В) сги т(В ИВ,,В„= — — / э(т, В) соз пВ ВВ. г» я/ (» т/ Поэтому С другой стороны, представим а„в виде 1 1 Г а„=о„— О = и„— — — ( [и(т,В) +ге(т,В))е ог(6 = г» 2я/ о 1 1 Г = †. — / [и(г;6) + ои(т, В)) ( — тьв(ппд) ЙВ. т» 2 / а 1 1 Г 1 1 Г сг = — — ~ и(т, 6) в1п тбВг16, Р„= — — / и(т, 6) в1лпВ ИВ.

т" я » ' / о» 1 ьу Так как сго = — ) и(т, В) йВ, Д = — ) и(т,В) о6, то окончательно имеем 2я а 2я а о 1Г и(р,ур) =гга +~> '(-) .— Г и(т,6)соап666 совпур+ а р» 1 Р(-) -У Р,222, Р» Ю р) эр р» 1 Г а(р,гр) = Во +~~ ( — ) . — / е(тВ)совп6266 совтир+ » — г о р» :.-Я. -~' б,у)»» ю р) о где р < В, О < т < В Видим, что коэффициенты соответствугощвх тригонометрических рядов есть коэффициенты Фурье функций и(т, 6) и ю(т, 6). Заметим, что в разложении функций и(р, ур) и а(р, ~а) в ряды Фурье параметры р и т не связаны между собой. Е::.Л яо — тэ Задача 25.

Доказать, что функция и(т, 6)— Н+ тэ — 2тЯсов(6 — бр) гармоническая функция в круге [в — во[ < В, в = во + тем, т < Л, ур— фиксировано, Ее разложение в ряд имеет вид дэ .2 Г г' 2» Во+то -2тВсов(6 — ур) 'гбЫ вЂ” 1+2~~ ~ — ! совп(6 — ур). Эта функция носит название ядра Пуассона. уб. П~фу»» р р у руау сана и разложить ее в ряд Фурье. Лекция 8 Многозначные функции.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее