Леонтьева. Лекции по ТФКП, страница 9

Поэтому К-~о!=.» — 1 Г УК) И4 (х — хе)" = 2 (х — хо)» («х х )«+ «=О «=О 1 )" Я)»1С 11"'(хэ) » 2яз „( (»х х )»+1 п» Так как р, и рз были любые, р1 с р, рз < р, то разложение в степенной ряд справедливо в круге ~х — хе~ < р — максимальный круг с центром в точке хе, лежаший в области Р. Рял сходится равномерно внутри этого круга.

Теорема доказана. Рассмотрим функцию Дх) ~ А(С) (целая функция). По теореме Тейлора ее можно разложить на всей комплексной плоскости в ряд Тейлора с центром в точке хе = О (например) Для коэффициентов имеем оценку (неравенства Коши) Если Щх)( < сопхг, то, устремляя р -+ +со, получим т.е.

Дх) «е ае. Мы доказали следствие из теоремы Лиувилля, исходя из степенных рядов. Выпишем для конкретных функций разложение их в ряды Тейлора: м « 1.е*= 2,—,, ~э~<ос; «=О П ( ц» з»+1 2. О»пх = ), ~х~ с со; «=О (2п+ 1)' »» [ Ц» ь» 3. соэ х = ~, ~х~ < со; «0 хз» 4. сЬ х = "„» , '—, ф < оо; О (2п)1' Хз»+1 б. вЬ х = 2;,, Ц < оо.

»=О ( и+ )" (::::Л Задача 19. Привести пример функционального ряда, сходящегося рав- номерно внутри области В, но не сходящегося равномерно в области Р. Задача 20. Показать аналог теоремы Вейерштрасса для гармонических функций: если последовательность (и»(х)1 гармонических функций в области В и непрерывных в Р такова, что ряд ",»,' и„(х) сходится равно- »«1 мерно на границе дР области В (область ограничена), то ряд сходится равномерно в В и его сумма есть гармоническая функция в В и непрерывная в Р. ~Зм; »». И.., . у„»,»», », Ях) 6 А(В), »»п е И,  — область, послееовательность (Веу„(х)) сходится равномерно внутри В, последовательность (Ц„(хе)) сходится„точка хе б Р,то последовательность Ц„(х)) сходится равномерно внутри области Р. Задача 22.

Пусть последовательность (и„(х)) — последовательность гармонических функций, 1пп п„(х) = и(х), схопимость равномерна внуг«-»с« ри области В, тогда и(х) — гармоническая функция в области В. Лекция 7 Теорема единственности аналитических функций. Разложение гармонических функций в ряды. Пусть функция У(х) е А(У,(хо)), в > О. Определение. Точка «о является нулем кратности й аналитической функции У(х), если У( о) =О, У'( ) = О, ..., У'" О(,) = О, У1"1(~) ,-о О, Если й = 1, то нуль хо называется простым нулем функции у(х). Из определения нуля кратности й следует, что в окрестности У,(хо) функция У(х) представима в виле У(х) = л~ аа(х — хо)", ао ~ Оэ ~х — «о~ ( г .

Тем самым У(х) = (х — хо)~~Р(х), 1о Е А(У,(хо)), 1Р(го) ~ О, Теорема единственности. Пусть функции У(х),д(х) е А(Р), последовательпость (х„~ Е Р, х; уь «1, 1 ~ У и такая, чпю существует предельная точка хо Е Р. Тогда, ес в У(хь) = д(хь), Чй Е И, то У(х) гн д(х), х е Р. Доказагельство. Так как последовательность (х„) имеет предельную точку хо, то существует подпоследовательиость (х„„) последовательности (х„), сходящаяся к точке го.

Будем эту подпоследовательность обозначать («'„). Итак 11ш х„' = хо. Из того, что «о е Р следует, что существует ь-+ьь окрестность У,(хо) с Р, г > О. Разложим в этой окрестности функции У(х) и у(х) в степенные ряды: У(х) = Ч~~ а„(х — хо)"„ у(х) = ~ б„(х — «о)", )х — «о~ < г, гле ао = У(хо) = 1пп У(х„'); бо = д(го) = 1пп д(х,',). Из условия У(х„') = д(х„'), Чп Е И вытекаег, что ао — — бо. Представим функции У(х) и у(г) в виде У(х) = ао+ (х — хо)У,(х); у(х) = $о+ (х — хо)дг(х), где Ях),д,(х) Е А(У,(хо)), Я«„') = дг(~). Повторяя прелыдушее рассуждение, получим Яхо) = уг(«о) или а, = 6,. На (и+ 1) шаге, повторяя тот же процесс рассуждений, получим, что а„= 6„, тем самым У(х) = у(х), х Е У,(хо). Покажем, что У(г) = д(х) для любой точки х Е Р.

Соединим точку х с точкой хо непрерывной кривой Г С Р. Кривая à — юмпакт. А теперь проведем доказательство, аналогичное доказательству принципа максимума модуля аиалитичесюй функции, а именно: устроим открытое покрытие компакта Г кругами радиуса б/3, где б = р(Г, дР), с центром в каждой точке кривой Г. По лемме Гейне-Бореля существует конечное число кругов из этою открытого покрытия, также покрывающих кривую Г. Соседние круги пересекаются и, следуя из точки хо в точку х, последовательно будем получать равенство функций У(х) = д(х) в этих кругах. Последний щаг приведет к кругу, в котором содержится данная точка х, следовательно У(х) = у(х) для любой точки х Е Р.

Теорема доказана. Следствие 1. Пусть функция У(х) Е А1,Р), последовательность («„1 Е Р, г; ф «1, 1 ф У. Точка хо Е Р и «о — предельная точка последовательности (х„). Если У(х„) = О, п Е М, то У(х) = О, г Е Р. Следствие 2. Пусть функция У(х) Е А(Р), У(«) к О, тогда на любом компакте К С Р функция У(х) имеет не более конечного числа нулей. Следствие 3. Пусть функция У(х) Е А(Р). Тогда нли У(«) = О или в области Р функция У(х) имеет не более счетного числа нулей, которые могут накапливаться только к границе области. Пример, подтверждающий, что предельная точка хо Е .Р— по существу. /11 Пусть Р = (х: Нех > О), функция У(х) = г1п ~ — ) Е А(Р), У(«ь) = 1 О, хь = —, й = 1, 2,.... Точки хь Е Р, 1пп «„= О.

Предельная точка яй ь — ка «о — — О Е дР, У(хь) = О, но У(х) ф О. Задача 23. Показать, что для любой области Р существует последовательность компактов (К„У такая, что К„С К„м ( ) К„= Р. Показать, а=1 что для любой области Р существует последсеательность ограниченных областей (Р„) такая, что Р„С Р„+ь ( ) Р„= Р. К-.о!- К" о1» или »=О = г( у 6 — — -с», ~((п е 1Ч. Тем самьгм 66 (з~ ур.

(»Р р роу Г((о»((*( ц,у((»о, оращающейся на последовательности (»») в ноль, Г(«») = О, [»»[ с 1 и множество предельных точек последовательности («„) есть вся граница области — [»[ = 1. Рассмотрим гармоническую функцию и(х, р) в круге [»- »о] < Я, «2 > О. Так как круг есть односвязная область, то существует функция Г(») Е А([» — «о[ < «1) такая, что Ке Г(») = и(х,р). Рэзложим функцию 7(») в степенной ряд в этом круге У(») = ~~р а»(» — «о)", ]« — »о] < Я, Пусть точка» Е 1»: [» — «о] < 1г)у тогда» = «о+ реов, О < р < Л, и пусть а„= а„+ цу„. Имеем У(») = ~~о (а„+ 2Д,)р»е( в = ~ ~(а„р" созп(р — (В„р" зшпоо) + »=О ру О +2~~ (р„р" созп(р+ а»р"аппо().

Введем обозначение Г(«о+ ре'") = и(р, р) +во(р,(р), тогда и(р,р) = ~(а„р"ссеп(р — 33 р" з1птвр) » — О +оо О(р, р) = "о ~Д,р" созп(р+ а„,о" или(р) +оо +оо Лва тригонометрических ряда )', (о созпур+ 6„зш п(р) и 2, (с» соя п(р+ » — О » О (1» з1п п(р) называются сопряженными, если их коэффициенты удовлетворжот соотношению: Мы получили, что комплексно-сопряженным функциям соответствуют сопряженные тригонометрические ряды. Итак, гармоническая функция и(х, р) в круге [« — «о[ < Я разлагается в тригонометрический ряд, рав- номерно сходящийся внутри этого круга и(р,(р) = ~~о (а„р»ажл(р — Д,р" з1пп(р), р < В.

Покажем, что этот тригонометрический ряд есть ряд Фурье для функции и(р, (р), т.е. коэф((жциенты этого ряда есть коэффициенты ряда Фурье. Рассмотрим коэффициенты разложения функции Г(») в степенной ряд — коэффициенты о„. Пусть О < г с В. Имеем а„= = — пбМ Сделаем замену с = «о + теор, В Е [О, 2гг], тогда 2» эру о = — ( оте' аВ= — — / Г(»о+теог)е е"(г)В. 1 Г/(«о+того) 'в 1 1 Г 2ко ([ т»+'е(»+г(в,.

2к/ Так как функция Г(») й А([« — «о[ с Я), то — Я)(с — «о)™ас = О, т = 0,1,2,..., 1 — Д«о+те(~)е("~аВ = О, и= 1,2, 2я,/ о 1 2» Так как а„= а„+ 2В„= — . — [ [и(т, В) + ои(т, В)] е ("в аВ, то т" 2з" о +О= + — ° — ~ [и(,В)+ 'и(т,В)]ег И»о т» 2т/ о 2$у 1 1 à — — / [и(т,В)+ое(т,В)! 2созпВВВ. о 1 1 Г 1 1 Г а„= — . — ~ и(т, В) сги т(В ИВ,,В„= — — / э(т, В) соз пВ ВВ. г» я/ (» т/ Поэтому С другой стороны, представим а„в виде 1 1 Г а„=о„— О = и„— — — ( [и(т,В) +ге(т,В))е ог(6 = г» 2я/ о 1 1 Г = †. — / [и(г;6) + ои(т, В)) ( — тьв(ппд) ЙВ. т» 2 / а 1 1 Г 1 1 Г сг = — — ~ и(т, 6) в1п тбВг16, Р„= — — / и(т, 6) в1лпВ ИВ.

т" я » ' / о» 1 ьу Так как сго = — ) и(т, В) йВ, Д = — ) и(т,В) о6, то окончательно имеем 2я а 2я а о 1Г и(р,ур) =гга +~> '(-) .— Г и(т,6)соап666 совпур+ а р» 1 Р(-) -У Р,222, Р» Ю р) эр р» 1 Г а(р,гр) = Во +~~ ( — ) . — / е(тВ)совп6266 совтир+ » — г о р» :.-Я. -~' б,у)»» ю р) о где р < В, О < т < В Видим, что коэффициенты соответствугощвх тригонометрических рядов есть коэффициенты Фурье функций и(т, 6) и ю(т, 6). Заметим, что в разложении функций и(р, ур) и а(р, ~а) в ряды Фурье параметры р и т не связаны между собой. Е::.Л яо — тэ Задача 25.

Доказать, что функция и(т, 6)— Н+ тэ — 2тЯсов(6 — бр) гармоническая функция в круге [в — во[ < В, в = во + тем, т < Л, ур— фиксировано, Ее разложение в ряд имеет вид дэ .2 Г г' 2» Во+то -2тВсов(6 — ур) 'гбЫ вЂ” 1+2~~ ~ — ! совп(6 — ур). Эта функция носит название ядра Пуассона. уб. П~фу»» р р у руау сана и разложить ее в ряд Фурье. Лекция 8 Многозначные функции.