Леонтьева. Лекции по ТФКП, страница 6

Распишем разность Г(«+ Ьх) — Р(х) 1 / И) вК Ьх 22'в в' (с — х)2 г = —.У~И) ~~ 2нв'/ ~~~ — («+вз«) ( — «/ вз«(4-х) ! 2~ ВК= г 1 = —. !! И), 2 вг ЕЫ-«)Ы-( +Ь«)) Ы- )2~ ,1 Лб= г И)21 2яв,/ (!;- )2(~-( +21 )) г Отсюда следует, что 1 М! 2я рв < — Ф] Г(х+ ья) — е(х) 1 / И) «!с Гвя 2тв / (с — х)2 г где м = ивах ]У(«)], К вЂ” х] > р, ]с — («+ «1«)] > р, ! — длина кривой Г. «ег Переходя к пределу при ввх -+ О, получим Е («) = — / —. г у(дыр -У' И- )' г Теперь предположим, что при Й = и равенство справедливо: ,(и( ) 21! )Г У(4) !( 2яв У (с — «)«+1 г Докажем, что при Й = и+ 1 равенство также будет выполненным: ,„+О (и+1)! ~ У(с)й( 22.в' / (С - «)"+2 ' г Рассмотрим разность г"!"!(«+ В!~«) — г"в"!(«) (и+ 1)! Г У(1) в!С 11« ! («««)«+г г и! !Г ~(4) ( 1 1 2ввв /,~д ! [«(«+ лх)]«+1 («х)ч+1 г (и+1)! ~ И) К 2нв 2! (~ «)«+2 г — '.( И) ~ и! Г !«(С вЂ” х)"+1 — [С вЂ” (х+ 21«)]"+1 и+ 1 2яв' У 1(С вЂ” х) "+1«2»[С вЂ” (х + Ьх)]"+1 (Я вЂ” «)"+2 Щ= г = —.2! УЫ) (с - «) [(ч - )" ы — [Ы - ) — 21«]""] 2яв „! (р «)«+2Г1«[~ («+ 21,«)]«+1 вЦ'— г ( +1)11 [(С-я)-21«]"" 2яв У (ф — «) "+221 х[~ — (х + в".вх)]"+1 г и! У УК)АМ.А,«) 2яв «! (««)«+222»[«(»+ л»)]«+1 г где А(«, с, в2«) = (с — л) [(с — «) "+ — [(с — х) — в«я]" + ! — (и + 1)Ь« [(С вЂ” л) — 2!«я]"+~.

Преобразуем А(«, С, Ьх). Будем иметь А( 6Ь ) = (4 — ) (К вЂ” )"+' — К вЂ” )"+'+ (и+1)21 (4 — )"— -О„'+1(О, )'Ы- )"-'-...+ + ( — 1)"(Ья)"+1) — (и + 1)Ь«(С вЂ” я)"+'+ (и + 1)(Ь«)2С1 Я вЂ” л) —... + +( — 1)" (и + 1) (в««)"+2 = (взх)2 - В(л, С, 41«); г!"!( +л)-Р!">() ( +ц! г у®й Ья 2яв У (~ — л)"+2 г и! ММве < — ° — ° !2««] 2я рв«+2 Тем самым !.,О() ( +1)' Г УЫ)в!с 2яв' 2( (( «)«+2 ' г где В(«,С,в2«) — многочлен фиксированной степени по л, (', Ь«. При ]Ьх[ < о модуль В(«, с, Ьх) на кривой Г ограничен: ивах ]В(х, с, Ьх)] < !е !<в М,.

Поэтому 40 иь-Ц=б = б (л) Е А(с'б( )), 1 Г Г(б) б(( (- !*о-б=б при этом Рис. 11 у, )(,) ' 1 У(с) дб 2лб',б' (С вЂ” л)" +г Рь-Я=б Поэтому Г(л), л Е бпб Г, б ~( ) ~ = О л Е С1Рг* 2лб,/ С вЂ” л 1 г -У(л), л е Г. 42 Теорема доказана. Рассмотрим функцию Г(л) е А(Р). Пусть точка ло Е Р, тогда сушествует У~~~а) С Р, б > О. По интегральной формуле Коши имеем Г(л) = — / , л е Уб(ло) 1 Г Г(~) ас Так как интеграл Коши есть частный случай интеграла типа Коши, то по только что доказанной теореме получаем, что Так как точка ло е Р— произвольная точка области, то отсюда сле- дует, что аналигаическая функббия Дл) в обаасгаи Р есть бесконечно- диффиринцируеббая функция в этой области 1ь. оу г-,у,~, р ь ~он~ Г(л) е С(Г), точка ло е Г. Обозначим за Г, = Г1(л: ~л — ло) < е», е > О, Г (ло) = —. / .

По определению интегралом типа Коши в смысле г Г(г) дб 2л4,/ с — ло г, главного значения называется 1пп Г (ло). Обозначают этот предел, если 1 ГЫ)дс он сушествует, также как и интеграл Коши: Г(ло) = — б ..По2лг б' с — ло г казать, что если функция Дл) принадлежит классу Гельдера порядка а, О < сб < 1 на кривой Г, то сушествует интеграл типа Коши в смысле главного значения в любой точке кривой Г. Задача 11.

Пусть функция Г(л) е А(Р), Р— односвязная область, контур С, тлт Г С Р. Тогда Понитие первообразной функции. Пусть Р— односвязная область и функция Г(л) Е А(Р) (рис.11). Зафик- сируем точку ло Е Р и рассмотрим интеграл по жордановой кусочно- гладкой кривой с началом в точке ло и концом в точке л. Функция Г(л) = ( У(() б(С определена корректно, так как ее значения не зависят от пути йнтегрирования, а зависят от начала и конца пути, поэтому мы не указываем саму кривую в интеграле, а только точки ло и л. Покажем, что функция Г(л) Е А(Р) и ее производная Г'(л) = У(л). Рассмотрим разность 1 Г(~) К-,).ГЫ)д~ — Лл) = ', ' — У(л) ь+аь б (Я йС вЂ” бляди(Л) ь+аь 1 У(~) — У( ),К Ьл / б1л ! .( !УЫ)-Х( )!!46 — Г(л) « ' гаах Щс) — Г(л)~ .

В силу аналитичности Г(л) при Ьл -+ О шах ~~(() — Г(л)) -+ О. Итак бФ.ь+а~! Г'(л) = г'(л). Следовательно Г(л) й А(Р). Определение. Функция Ф(л) называется первообразной функции Г(л), если Ф(л) — аналитическакая функция в области Р и Ф(л) = Г(л). Рис. 13 Рис. 12 Г(л) дл = О, г то Г(л) б А(Р). Доказательство. Введем функцию Р(л) = У(ОЖ 44 Пусть Ф(л) — первообразнвя функция для функции Г(л).

По доказанному, функция г(л) = ) Г(С) дС тоже первообразная. Покажем, что Е(л) — Ф(л) есть ~он~~а~~а. Функцию Г(л) = ( Г(4)де в дальнейшем будем называть неопределенным интегралом. Итак, пусть Р(л) — Ф(л) = ~р(л) б А(Р), тогда ~о'(л) = Р'(л) — Ф'(х) = О. Покажем, что зг(л) тогда константа. Если у(л) = и(х,у) + гс(х,у), то из условий Коши-Римана следует и,' = и'„= е'„= и', = О, т.е, и(х, у) = см и(х, у) = сг, у(л) = с, + гсг гв с 1 — константа. Поэтому Ф(л) = Р(л) + с = )'Я) д~с+ с, Ф(ле) = с или ) Г(С) дс' = Ф(л) — Ф(ле). Эта формула есть формула Ньютона-Лейбница м известная ранее для действительного случая.

Пусть Р— односвязная область, О К Р, 1 й Р (рис.12). 1 Рассмотрим функцюо Г(л) = — б А(Р). Тогда неопрелеленный инГИ~ 1 теграл ) — есть цервообразная для Г(л) = -. Назовем этот интеграл л 1 малым логарифмом л или главным значением логарифма: 1п л = / —, Гдб 1 Г дл тогда (1п л)' = —. Заметим, что при л = х > О интеграл / — = 1п х. л / 1 ~зь~:.1Яп ю,, ь*=ьН» ч*, — к*~ . Пусть Р— односвязнвл область, О б Р; г', — г й .Р. 1 Рассмотрим функцию Г(л) = — б А(Р) (рис.13). Тогда неопределг Г йс 1 ленный интеграл ) — есть первообразная для Г(л) = —.

Назо./ 1+Р 1+ г а пс вем этот интеграл ) — малым арктавгенсом л, агсьй л = ) —, / 1+Р =/ 1+0 * 1 Г пг (агслй л)' = —. Замесим, что ) — = агссб х при л = х. 1+ лг / 1+Гг о Е:::::2 Г1+ гл~ Задача 13. Показать, что ахссб л = — 1п ~ —,) . 2г 11 — гл)' Ранее мы доказали интегральную теорему Коши для аналитической функции Г(л) в односвязной области Р.

Можно поставить задачу, в каком-то смысле, обратную данной. Если в сдносвязной области задана функция Г(л), для которой интеграл ( Г(С) с(~ = О ло любому контуру г Г С Р, то можно ли утверждать, что Г(л) б А(Р)? Ответ положительный, если потребовать, лто У(л) е С(Р). Справедлива теорема Теорема Морера. Пусть Р— односехэнал область и Г(л) б С(Р). Если длл любоео контура Г С Р хв — фиксированная точка, хе е Р, я е Р. В силу условия теоремы определение функции Цг) корректно, так как значение функции Е(я) не зависит от выбора кривой, а зависит от начальной и конечной точек.

Рассмотрим разность Р( Д ) Р() 3' У(1)-7())~К вЂ” Л)= ая Ьх Тогда ! — Л ) <,ю~, й0 -1( П. Е(я + Ья) — Е(х) Тем самым производная Е'(я) = У(я). Так как У(я) е С(Р), то .Р(я) е С(Р) и Е(х) аналитическая, таким образом, функция в области Р. Но аналитическая функция имеет бесконечно много производных, отсюда следует, что у(х) е А(Р). Теорема доказана.

Лекция 5 Гармонические функции, принцип максимума модуля аналитической функции, принцип максимума гармонической функции. Рассмотрим функцию Дя) е А(Р). По доказанному ранее сждует, что у(х) — бесконечно дифференцируемея функция. Воли Дя) а(х, у) + ге(х, у), то функпии и(х,у) и е(х, у) также являются бесконечно дифференцируемыми функциями. Из условий Коши-Римана вытекает, что я е я я и„= е,е = ее, = -из„ т.е. и,", + и" = О. Аналогично е,", +е" = О.

Введем в рассмотрение оператор д' д' Ь= — + —, — дхк д„ который называется операторам Лапласа. Определение. Функпия и(х, у) дважды непрерывно дифференцируемая в области Р (обозначение — и(х, у) е Сз(Р) ) и удовлетворяющая условию Ьи = О называется гармонической. Мы показали, что если Дя) е А(Р), то В.е Дя) и 1т Дх) есть гармонические функции в области Р. Предположим, что в области Р задана гармоническая функция и(х, у). Возникает вопрос — можно ли по данной гармонической функции построить аналитическую функцию у(я) такую, что Вву(я) = а(х,у).

Покажем, что если область Р— односвязная, то вопрос решается положительно. Пусть Р— односвязная область и и(х, у) — гармоническая функция в Р. Введем функцию (чд и(х,у) = -и'„дх+ й ду, (талое где точки (хо, уо), (х, у) е Р. Определение функции и(х, у) корректно, так как инреграл, ствпций справа, не зависит от выбора пути интегрирования.

Если à — контур (замкнутая, кусочно-гладкая жорданова кривая), /-' ' =И ГГ( а , д -и' дх+и' Ау = а ~ — (й) — — (-и')~ дхду= О д~д. * б от (использовали условие (1и = 0). Дифференциал функции е(х, у) — ди = -й дх + й ду. Поэтому и,' = — и'„, й„= й и Гзи = О, т.е, и(х, у) — гармоническая функция в области Р, функции и(х, у) и и(х, у) связаны условиями Коши-Римана и функция Г(г) = и(х, у) + Ы(х, у) аналитична в Р. Функция и(х, у) определяется по функции и(х, у) с точностью до константы. Пусть функция и(х, у) гармонична в Р и точка го е Р, тогда существует окрестность У,(го) с Р, е > О.