Леонтьева. Лекции по ТФКП, страница 6

DJVU-файл Леонтьева. Лекции по ТФКП, страница 6 Математический анализ (2697): Лекции - 4 семестрЛеонтьева. Лекции по ТФКП: Математический анализ - DJVU, страница 6 (2697) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Леонтьева. Лекции по ТФКП", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 6 - страница

Распишем разность Г(«+ Ьх) — Р(х) 1 / И) вК Ьх 22'в в' (с — х)2 г = —.У~И) ~~ 2нв'/ ~~~ — («+вз«) ( — «/ вз«(4-х) ! 2~ ВК= г 1 = —. !! И), 2 вг ЕЫ-«)Ы-( +Ь«)) Ы- )2~ ,1 Лб= г И)21 2яв,/ (!;- )2(~-( +21 )) г Отсюда следует, что 1 М! 2я рв < — Ф] Г(х+ ья) — е(х) 1 / И) «!с Гвя 2тв / (с — х)2 г где м = ивах ]У(«)], К вЂ” х] > р, ]с — («+ «1«)] > р, ! — длина кривой Г. «ег Переходя к пределу при ввх -+ О, получим Е («) = — / —. г у(дыр -У' И- )' г Теперь предположим, что при Й = и равенство справедливо: ,(и( ) 21! )Г У(4) !( 2яв У (с — «)«+1 г Докажем, что при Й = и+ 1 равенство также будет выполненным: ,„+О (и+1)! ~ У(с)й( 22.в' / (С - «)"+2 ' г Рассмотрим разность г"!"!(«+ В!~«) — г"в"!(«) (и+ 1)! Г У(1) в!С 11« ! («««)«+г г и! !Г ~(4) ( 1 1 2ввв /,~д ! [«(«+ лх)]«+1 («х)ч+1 г (и+1)! ~ И) К 2нв 2! (~ «)«+2 г — '.( И) ~ и! Г !«(С вЂ” х)"+1 — [С вЂ” (х+ 21«)]"+1 и+ 1 2яв' У 1(С вЂ” х) "+1«2»[С вЂ” (х + Ьх)]"+1 (Я вЂ” «)"+2 Щ= г = —.2! УЫ) (с - «) [(ч - )" ы — [Ы - ) — 21«]""] 2яв „! (р «)«+2Г1«[~ («+ 21,«)]«+1 вЦ'— г ( +1)11 [(С-я)-21«]"" 2яв У (ф — «) "+221 х[~ — (х + в".вх)]"+1 г и! У УК)АМ.А,«) 2яв «! (««)«+222»[«(»+ л»)]«+1 г где А(«, с, в2«) = (с — л) [(с — «) "+ — [(с — х) — в«я]" + ! — (и + 1)Ь« [(С вЂ” л) — 2!«я]"+~.

Преобразуем А(«, С, Ьх). Будем иметь А( 6Ь ) = (4 — ) (К вЂ” )"+' — К вЂ” )"+'+ (и+1)21 (4 — )"— -О„'+1(О, )'Ы- )"-'-...+ + ( — 1)"(Ья)"+1) — (и + 1)Ь«(С вЂ” я)"+'+ (и + 1)(Ь«)2С1 Я вЂ” л) —... + +( — 1)" (и + 1) (в««)"+2 = (взх)2 - В(л, С, 41«); г!"!( +л)-Р!">() ( +ц! г у®й Ья 2яв У (~ — л)"+2 г и! ММве < — ° — ° !2««] 2я рв«+2 Тем самым !.,О() ( +1)' Г УЫ)в!с 2яв' 2( (( «)«+2 ' г где В(«,С,в2«) — многочлен фиксированной степени по л, (', Ь«. При ]Ьх[ < о модуль В(«, с, Ьх) на кривой Г ограничен: ивах ]В(х, с, Ьх)] < !е !<в М,.

Поэтому 40 иь-Ц=б = б (л) Е А(с'б( )), 1 Г Г(б) б(( (- !*о-б=б при этом Рис. 11 у, )(,) ' 1 У(с) дб 2лб',б' (С вЂ” л)" +г Рь-Я=б Поэтому Г(л), л Е бпб Г, б ~( ) ~ = О л Е С1Рг* 2лб,/ С вЂ” л 1 г -У(л), л е Г. 42 Теорема доказана. Рассмотрим функцию Г(л) е А(Р). Пусть точка ло Е Р, тогда сушествует У~~~а) С Р, б > О. По интегральной формуле Коши имеем Г(л) = — / , л е Уб(ло) 1 Г Г(~) ас Так как интеграл Коши есть частный случай интеграла типа Коши, то по только что доказанной теореме получаем, что Так как точка ло е Р— произвольная точка области, то отсюда сле- дует, что аналигаическая функббия Дл) в обаасгаи Р есть бесконечно- диффиринцируеббая функция в этой области 1ь. оу г-,у,~, р ь ~он~ Г(л) е С(Г), точка ло е Г. Обозначим за Г, = Г1(л: ~л — ло) < е», е > О, Г (ло) = —. / .

По определению интегралом типа Коши в смысле г Г(г) дб 2л4,/ с — ло г, главного значения называется 1пп Г (ло). Обозначают этот предел, если 1 ГЫ)дс он сушествует, также как и интеграл Коши: Г(ло) = — б ..По2лг б' с — ло г казать, что если функция Дл) принадлежит классу Гельдера порядка а, О < сб < 1 на кривой Г, то сушествует интеграл типа Коши в смысле главного значения в любой точке кривой Г. Задача 11.

Пусть функция Г(л) е А(Р), Р— односвязная область, контур С, тлт Г С Р. Тогда Понитие первообразной функции. Пусть Р— односвязная область и функция Г(л) Е А(Р) (рис.11). Зафик- сируем точку ло Е Р и рассмотрим интеграл по жордановой кусочно- гладкой кривой с началом в точке ло и концом в точке л. Функция Г(л) = ( У(() б(С определена корректно, так как ее значения не зависят от пути йнтегрирования, а зависят от начала и конца пути, поэтому мы не указываем саму кривую в интеграле, а только точки ло и л. Покажем, что функция Г(л) Е А(Р) и ее производная Г'(л) = У(л). Рассмотрим разность 1 Г(~) К-,).ГЫ)д~ — Лл) = ', ' — У(л) ь+аь б (Я йС вЂ” бляди(Л) ь+аь 1 У(~) — У( ),К Ьл / б1л ! .( !УЫ)-Х( )!!46 — Г(л) « ' гаах Щс) — Г(л)~ .

В силу аналитичности Г(л) при Ьл -+ О шах ~~(() — Г(л)) -+ О. Итак бФ.ь+а~! Г'(л) = г'(л). Следовательно Г(л) й А(Р). Определение. Функция Ф(л) называется первообразной функции Г(л), если Ф(л) — аналитическакая функция в области Р и Ф(л) = Г(л). Рис. 13 Рис. 12 Г(л) дл = О, г то Г(л) б А(Р). Доказательство. Введем функцию Р(л) = У(ОЖ 44 Пусть Ф(л) — первообразнвя функция для функции Г(л).

По доказанному, функция г(л) = ) Г(С) дС тоже первообразная. Покажем, что Е(л) — Ф(л) есть ~он~~а~~а. Функцию Г(л) = ( Г(4)де в дальнейшем будем называть неопределенным интегралом. Итак, пусть Р(л) — Ф(л) = ~р(л) б А(Р), тогда ~о'(л) = Р'(л) — Ф'(х) = О. Покажем, что зг(л) тогда константа. Если у(л) = и(х,у) + гс(х,у), то из условий Коши-Римана следует и,' = и'„= е'„= и', = О, т.е, и(х, у) = см и(х, у) = сг, у(л) = с, + гсг гв с 1 — константа. Поэтому Ф(л) = Р(л) + с = )'Я) д~с+ с, Ф(ле) = с или ) Г(С) дс' = Ф(л) — Ф(ле). Эта формула есть формула Ньютона-Лейбница м известная ранее для действительного случая.

Пусть Р— односвязная область, О К Р, 1 й Р (рис.12). 1 Рассмотрим функцюо Г(л) = — б А(Р). Тогда неопрелеленный инГИ~ 1 теграл ) — есть цервообразная для Г(л) = -. Назовем этот интеграл л 1 малым логарифмом л или главным значением логарифма: 1п л = / —, Гдб 1 Г дл тогда (1п л)' = —. Заметим, что при л = х > О интеграл / — = 1п х. л / 1 ~зь~:.1Яп ю,, ь*=ьН» ч*, — к*~ . Пусть Р— односвязнвл область, О б Р; г', — г й .Р. 1 Рассмотрим функцию Г(л) = — б А(Р) (рис.13). Тогда неопределг Г йс 1 ленный интеграл ) — есть первообразная для Г(л) = —.

Назо./ 1+Р 1+ г а пс вем этот интеграл ) — малым арктавгенсом л, агсьй л = ) —, / 1+Р =/ 1+0 * 1 Г пг (агслй л)' = —. Замесим, что ) — = агссб х при л = х. 1+ лг / 1+Гг о Е:::::2 Г1+ гл~ Задача 13. Показать, что ахссб л = — 1п ~ —,) . 2г 11 — гл)' Ранее мы доказали интегральную теорему Коши для аналитической функции Г(л) в односвязной области Р.

Можно поставить задачу, в каком-то смысле, обратную данной. Если в сдносвязной области задана функция Г(л), для которой интеграл ( Г(С) с(~ = О ло любому контуру г Г С Р, то можно ли утверждать, что Г(л) б А(Р)? Ответ положительный, если потребовать, лто У(л) е С(Р). Справедлива теорема Теорема Морера. Пусть Р— односехэнал область и Г(л) б С(Р). Если длл любоео контура Г С Р хв — фиксированная точка, хе е Р, я е Р. В силу условия теоремы определение функции Цг) корректно, так как значение функции Е(я) не зависит от выбора кривой, а зависит от начальной и конечной точек.

Рассмотрим разность Р( Д ) Р() 3' У(1)-7())~К вЂ” Л)= ая Ьх Тогда ! — Л ) <,ю~, й0 -1( П. Е(я + Ья) — Е(х) Тем самым производная Е'(я) = У(я). Так как У(я) е С(Р), то .Р(я) е С(Р) и Е(х) аналитическая, таким образом, функция в области Р. Но аналитическая функция имеет бесконечно много производных, отсюда следует, что у(х) е А(Р). Теорема доказана.

Лекция 5 Гармонические функции, принцип максимума модуля аналитической функции, принцип максимума гармонической функции. Рассмотрим функцию Дя) е А(Р). По доказанному ранее сждует, что у(х) — бесконечно дифференцируемея функция. Воли Дя) а(х, у) + ге(х, у), то функпии и(х,у) и е(х, у) также являются бесконечно дифференцируемыми функциями. Из условий Коши-Римана вытекает, что я е я я и„= е,е = ее, = -из„ т.е. и,", + и" = О. Аналогично е,", +е" = О.

Введем в рассмотрение оператор д' д' Ь= — + —, — дхк д„ который называется операторам Лапласа. Определение. Функпия и(х, у) дважды непрерывно дифференцируемая в области Р (обозначение — и(х, у) е Сз(Р) ) и удовлетворяющая условию Ьи = О называется гармонической. Мы показали, что если Дя) е А(Р), то В.е Дя) и 1т Дх) есть гармонические функции в области Р. Предположим, что в области Р задана гармоническая функция и(х, у). Возникает вопрос — можно ли по данной гармонической функции построить аналитическую функцию у(я) такую, что Вву(я) = а(х,у).

Покажем, что если область Р— односвязная, то вопрос решается положительно. Пусть Р— односвязная область и и(х, у) — гармоническая функция в Р. Введем функцию (чд и(х,у) = -и'„дх+ й ду, (талое где точки (хо, уо), (х, у) е Р. Определение функции и(х, у) корректно, так как инреграл, ствпций справа, не зависит от выбора пути интегрирования.

Если à — контур (замкнутая, кусочно-гладкая жорданова кривая), /-' ' =И ГГ( а , д -и' дх+и' Ау = а ~ — (й) — — (-и')~ дхду= О д~д. * б от (использовали условие (1и = 0). Дифференциал функции е(х, у) — ди = -й дх + й ду. Поэтому и,' = — и'„, й„= й и Гзи = О, т.е, и(х, у) — гармоническая функция в области Р, функции и(х, у) и и(х, у) связаны условиями Коши-Римана и функция Г(г) = и(х, у) + Ы(х, у) аналитична в Р. Функция и(х, у) определяется по функции и(х, у) с точностью до константы. Пусть функция и(х, у) гармонична в Р и точка го е Р, тогда существует окрестность У,(го) с Р, е > О.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4995
Авторов
на СтудИзбе
467
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее