А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В зависимости от баланса втекающих и вытекающих нз объема зарядов в нем образуется связанный заряд, объемная плотность которого р . С учетом (17.14) запишем закон сохранения заряда в объеме Р в виде 1 р )к'= — ) Р 65. (17.15) знак минус показывает, что в объеме возникает заряд, противоположный по знаку тому, который вытекает через ограничивающую объем поверхность. Перепишем равенство (17.15), применив к правой его части теорему Гаусса — Остроградского: )(Р,. — Йгв Р) О~'= О. (17.16) б 17.
Электростатическое поле при наличии диэлектриков 141 Вн !тсэ (17.19) Вели равенство (17.16) тождественно выполняется при любых ); то подынтегральная функция будет тождественно равна нулю. Следовательно, р р = -х(!тр. (17.17) Таким образом, абьемные связанные заряды возникают лишь в нюм случае, когда лоляризованность Р изменяется от тачки к точке.
Это понятно и без вычислений, поскольку прн однородной поляризованности заряды переходят на новое место, занимая места ушедших в таком же количестве зарядов, в результате чего соответствующие части объема диэлектрика остаются электрически нейтральными. Иа границе двух различных диэлектриков возникают поверхностные заряды. Это очевидно из следующих соображений. При одной и той же напряженности электрического поля в различных диэлектриках поляризованность различна. Следовательно, граничная поверхность пересекается разным числом поляризационных зарядов со стороны каждого из диэлектриков.
В результате вблизи границы сосредоточится некоторый связанный заряд, который называешься поверхностным связанным зарядом. Обозначим и — его поверхностную плотность. Для ее нахождения проще всего исходить из формулы (17.17). Построим на границе раздела между диэлектри«амн прямой цилиндр с площадью основания Л5 и высотой (рис. 81) и проинтегрируем обе части уравнения (17.17) по объему этого цилиндра: ) р„г)Ф'= — ) к)!тРк)Р. (17ЛЗ) В левой части (17.18) стоит полный заряд внутри объема, т.
е. поверхностный заряд п„Ы. Правую часть равенства преобразуем по теореме Гаусса — Остроградского в интеграл по поверхности: ) 1 2 ' Х('з2 + ) Р! ' Х)'э! 5 51 5, 61 К зызолу зырзнсккз для поырхкостпоя пэотпостк связанных ззряпоз Поле з конденсаторе прк пк- зкчкк пюзсктрккк ° Поллрнзацмонные (плн связанные) заряды воэннкают в пестах пзнянення лоллрмзованностн. Прн налпчмн внешнего электрического поля натернальные тела сани станевятсл пстечнпканн алектрнческого поня, в результате чего наблюдаемое лоле нзненяетсл.
Прп этом злемтрмческне поля в от. нетепла сваля неточна. ков ведут сеял так, как будто деле пропскодмт в вакууме м нпкакмк натернальньи тел нят. Полярмзацпеа называется процесс образовання дмпольньи моментов у макроскопнческпк обаенов дпэлектрнка. 142 2. Постоянное электрическое иоле Напомним, что интеграл по боковой поверхности не учитывается.
Принимая во внимание значение интеграла в левой части уравнения (17.18), окончательно получаем сг = — (Рг„— Р1ч). Поэтому, обозначая пэ — единичный вектор нормали, направленной во вторую среду, формулу (17.21а) можно представить в виде (17216) Полезно заметить, что вакуум также можно рассматривать как диэлектрик, поляризованность которого равна нулю. Формула (1721) может быть применена к границе между диэлектриком и вакуумом. Принимая в этом случае полоэкнтельной нормалью внешнюю нормаль к диэлектрику 1т.е. считая диэлектрик в формуле (17.21а) средой 1], положим Р,„= О. Следовательно 1см.
(1721)3, сг, =Р„, (17.22) где Є— нормальная компонента поляризованности диэлектрика на его границе с вакуумом. Формулы (17,17) и (17.21) позволяют полностью учесть влияние диэлектрика на электрическое поле. Создаваемая связанными зарядами напряженность поля вычисляется по тем же формулам, по которым определяется напряженность в вакууме, порождаемая свободными зарядами. В частности, потенциал ~р„создаваемый связанными зарядами диэлектрика, дается формулами (14.35) и (14.36) с заменой в пих свободных зарядов на связанные: 1 (р ЙГ 1 (о ЙЯ 4кео ( г 4као ( ГР,„— Р „ 4кео г 4кко ~ (17.23) где индексами 1 и 2 обозначены величины, относящиеся к первому и второму диэлектрикам по разные стороны границы раздела. Поток поляризованности вектора Р слагается из потоков через основания и через боковые поверхности цилиндра.
Потоки через боковые поверхности полагаются равными нулю, поскольку в пределе высота й цилиндра стремится к нулю. Выберем в качестве положительной нормали к границе раздела направленную от первого диэлектрика ко второму. Следовательно, бааз направлен по положительному направлению нормали, а <Б, — по отрицательному. Поэтому ) Р.бВ=Р „Л5 — Р,„М.
8 17 Электростатическое поле лри наличии диэлектриков 143 Этот потенциал слагается с потенциалом, создаваемым свободными зарядами. Теперь полезно еще рвз в явном виде сформулировать основную идею учета влияния вещества на поле, которая была прослежена на примере проводников и диэлектрихов: нри наличии внешнего электрического ноля вещество само становится источником электрического поля, е резулолилие чего внешнее иоле изменяется. Рассмотрим этот процесс на примере образования поля в плоском конденсаторе, пространство между обкладками которого заполнено диэлектриком (рис 82). Будем считать, что на обкладках конденсатора находится заряд с поверхностной плотностью о.
Если между обкладками конденсатора будет вакуум, то Е' = о/ео (см. (1б.12)]. Вследствие поляризации диэлектрика напряженность поля уменьшается. Определим поляризованность диэлектрика по формуле (17,11), учитывая, что ЕМ о/ко. Вследствие однородности диэлектрика и однородности поля между параллельными заряженными пластинами заключаем, что полярнзованность диэлектрика однородна, т.е. обьемные связанные заряды отсутствуют. Имеются лишь связанные поверхностные заряды, поверхностная плотность которых (см. (17.22)] и = икоЕ, (1724) где Š— проекция напряженности по внешней нормали диэлектрика.
Известно, что напряженность направлена от положительно, заряженной пластины конденсатора к отрицательно заряженной. Поэтому из (17.24) следует, что поверхностная плотность связанного заряда на границе с положительно заряженной пластиной отрицательна, а на границе с отрицательно заряженной — положительна. Поэтому напряженность поля в диэлектрике между пластинами конденсатора равна напряженности поля в вакууме между теми же пластинами, но при поверхностной плотности заряда и — о . На основании этого можно к)вписать уравнение Лля определения неизвестной величины Е = (о — о, )/ко = (о — иеоЕ)/ко. (17,2э1 Решение этого уравнения имеет вцц Е = о/(ео(1+ и)] (17.26) '"~лектрическое смешение Уравнение (13.19) с учетом связанных зарядов как источников поля может быть записано, очевидно, следующим образом: Ж» Е = р/ео + р./ео.
(17.27) Заменяя в (17.27) р„выражением из (17.17), получаем с(1» (коЕ + Р) = р. (17.28) Вектор Р= кой+ Р (17.29) 144 2. Постоянное злектрнческое поле называется вектором смещеняя. Он не являен1ся чисто нолевым вектором, поскольку учитывает ноляризованность среды. Запишем с его помощью уравнения (17.28) в виде а йтР р. (17.30) Припоминая смысл дивергенция вектора, из (17.30) можно заключить о преимуществах использования Р. Видно, что единственным источником Р являются свободные заряды, на которых этот вектор начинается и заканчивается. В точках без свободных зарядов он непрерывен, включая точки со связанными зарядами. Изменения напряженности поля, обусловленные связанными зарядами, учтены уже в самом векторе Р [см.
(17.29)3. Выразив Р в (17.29) по формуле (17.11), находим Р=(со+ нео)Е'=еЕ, в =(1+я)ео, (17.31) где е — диэлектрическая проннцаемость. Использование Р значительно упрощает анализ поля при наличии диэлектрика. Наряду с е удобно использовать также безразмерную величину (17.32) называемую относительной диэлектрической проазцаемостью. Электростатическая теорема Гаусса при наличии диэлектриков. Умножая обе части (1730) на о('к'н интегрируя по объему к', получаем ')йчРЙФ'=) рд$'.
(17.33) к Справа в (17.33) стоит полный заряд Д внутри объема, а левая часть преобразуется в интеграл по поверхности с помощью теоремы Гаусса— Остроградского. В результате находим формулу (17.34) которая называется электростатической теоремой Гаусса при наличии диэлектриков. Она справедлива при любом расположении диэлектриков и граничных поверхностей: часть нли весь объем может быть заполнен различными диэлектриками, а поверхность Я может проходить как в вакууме, так и пересекать диэлектрики.
Применив формулу (17.34) к точечному заряду 4, находящемуся в безграничной однородной диэлектрической среде, и взяв в качестве поверхности интегрирования сферу радиусом г с центром в точке нахождения точечного заряда, получим закон Кулона в однородной диэлектрической среде: 1 д г Е = — — —. (17.35) 4яе г' г ' 1 17.
Электростатическое поле при наличии диэлектриков 145 Напряженносп, поля в среде в с, раз меньше, чем в вакууме. Во столько же раз меньше и потенциал точечного заряда.Формула (17.26) показывает, что напряженность поля между обкладками конденсатора прн наличии диэлектрика также уменьшается в в„ раз по сравнению с напряженностью поля в вакууме.