Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности

А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности, страница 43

DJVU-файл А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности, страница 43 Классическая механика (2695): Книга - 3 семестрА.Н. Матвеев - Механика и теория относительности: Классическая механика - DJVU, страница 43 (2695) - СтудИзба2019-05-06СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "классическая механика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 43 - страница

Однако этот радиус все же много больше гравитационного и звезда не в состоянии превратиться в «черную дыру». Если н«е масса звезды превосходит примерно две массы Солнца, то под действием тяготения она неудержимо сжимается и в определенный момент радиус звезды станет равным гравитационному, а она превратится в «черную дыру». «Черные дыры» пока еще не открыты, хотя очень многие ученые и не сомневаются в их существовании. Если «черные дыры» будут обнаружены, то зто, несомненно, будет крупнейшим научным событием.

Можно также представить себе, что сравнительно небольшая масса, например в несколько тонн, по каким-то причинам оказалась заключенной в таком маленьком объеме, соответствующем формуле (30.16), что превратилась в маленькую «черную дыру». По одной из гипотез предполагается, что некоторое количество таких черных дыр осталось от первоначального сверхплотного состояния Вселенной. Они называются реликтовыми «чернымн дырамн» и также пока не обнаружены в природе. 31.

Движение планет и комет Уравнение движения. В первом приближении, как зто было показано в $ 30, »южно считать, что Солнце неподвижно, и пренебречь силами взаимодействия между планетами. Обозначим массу планеты т, массу Солнца М и будем называть их материальной точкой и центром сил соответственно.

Начало системы координат поместим в центр Солнца. Уравнение движения планеты запишется в виде (31.1) где г — радиус-вектор планеты. Уравнение моментов. Сила, действующая на материальную точку, направлена вдоль радиуса-вектора. Момент этой силы относительно Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ 196 центра сил равен нулю, и уравнение моментов (22.4) имеет следую- щий вид: (31.2) Следовательно, момент импульса материальной точки относительно центра сил равен постоянной величине как по модулю, так и по направлению: Х =[г, тт|=сопз1. Плоскость движения. Равенство (31.3) можно переписать в виде (31.4) Отсюда следует, что элементарное перемещение Нг = тй и радиус- вектор г лежат в плоскости, перпендикулярной Х. Это означает, что движение происходит в одной и той же плоскости, т.

е. является плоским движением. Второй закон Кеплера. Он утверждает, что отрезок, соединяющий Солнце с планетой, описывает за равные промежутки времени равные площади. Этот закон является непосредственным следствием закона сохранения момента импульса (31.3). В самом деле, равенство (31.3) можно переписать так: [г, дг) = ~ Ж. (31.5) Установим геометрический смысл левой части этого равенства. Как это непосредственно видно на рис. 61, векторное произведение [г, пг) по абсолютному значению равно удвоенной площади треугольника, построенного на векторах г и Иг: ~ [г, с(г) ) = ~ г ! ) дг ~ з1 и (г, с(г) = пег вп а = пй = 2сКо. (31.6) Вектор !г, дг) перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы г и Йг.

Если взять некоторую элементарную поверхностьд8, то она полностью характеризуется своей величиной и ориентировкой в пространстве. Ее ориентировка в пространстве определяется направ, пением перпендикуляра к ней. Поэтому представляется естественным характеризовать элемент поверхности вектором пБ, перпендикулярным поверхности и по абсолютному значению равным ее площади. Необходимо лишь условиться о направлении. Оно дается правилом правого винта. Некоторый обход элемента поверхности принимается за положительный, н вектор НВ считается направленным в сторону двингения винта, если вращение его головки совпадает с обходом. 197 (31.7) 8 — Бо= 2лт (т — 1о) Х (Зг.В) или (31.8а) 31. Движение планет и комет Положительным обходом площадки (г, дг) считается движение от первого слагаемого ко второму, поэтому элемент поверхности выражается формулой НЯ = 1 = — '(г, дг] и закон сохранения момента импульса (31.5) можно записать так: Поскольку г1 = сопз1, то, интегрируя обе части этого равенства во времени, полу- чаем Это есть второй закон Кеплера, утверждающий, что за равные промежутки времени радиус-вектор планеты описывает равные площади.

Первый закон Кеплера. Он гласит, что все планеты движутся по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одном из фокусов. Для доказательства этого закона нужно найти орбиту. Расчет удобно вести в полярной системе координат, плоскость которой совпадает с плоскостью орбиты. Прежде всего необходимо записать законы сохранения энергии и момента импульса в полярных координатах. Для этого элементарное перемещение Нг разложим на два: (дг)~, перпендикулярное радиусу полярной системы координат, и (с1г), по направлению этого радиуса (рнс. 62). Первое перемещение обусловлено изменением угла ф при движении, а второе— изменением расстояния г планеты от начала координат.

Единичный вектор, направленный перпендикулярно радиусу г в сторону возрастания угла ф, обозначим етн 61. Изображение площади вектором, перпендикулярным поверхности, на которой лежит зта площадь Разложение вектора скорости в полярной системе координат на две составляющие: вдоль радиуса и перпендикулярно ему Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ НВ а в сторону возрастания радиуса — е„. Перемещение Иг моя;но представить формулой с~г=е, (Ыг), +е„(с[г),. (31.9) Поскольку (я>г) есть элементарная дуга окружности радиуса г, то (Нг) = гя>~р; величина (я>г), есть изменение абсолютного значения г, т.

е. (я>г)„ = йг. Поэтому (31.9) принимает вид (31.10) Нг = е„пЬр+ е„дг. Разделив обе части (31.10) на время перемещения, находим (рис. 62) (31.11) где»ч = (госр/й) =- гФ, н„= (ИгЯ>) = г. Возводя обе части равенства (31.11) в квадрат и учитывая, что в силу взаимной перпендикулярности векторов е„и е„их скалярное произведение равно нулю: (е, е„) = О, получаем для квадрата скорости следующее выражение: нг и-' + э-' гцг+ гэ (31,12) Х =тг'ф[е„, е )=сопз1. (31.13) Вектор [е,, е [ является единичным векторолц перпендикулярным плоскости двия'ения. Он фиксирует направление Х.

Закон сохране- ния импульса для абсолютного значения [Ч в полярных координатах на основании (31.13) имеет следующий вид: (31. 14) Закон сохранения энергии записывается с помощью (31.12) без дополнительных вычислений: то2 «>М >>1 а 2 ° 2 тМ 2 — — С вЂ” = — (г'+ г'ф') — С вЂ” = сопаФ. г 2 (31.15) Получены два уравнения (31.14) и (31.15) с двумя неизвестными функциями г (г) и ~р (г). Их достаточно, чтобы полностью определить движение. Однако нас сейчас интересует не вопрос о том, как протекает дни>кение по времени, а форма траектории, Поэтому исключим из уравнений зависимость от времени.

Из уравнения (31.14) следует, что ф =- Х/тг'. Подставив это выра>кение в уравнение (31.15), исключим из него ф. Далее представим г как Подставим в формулу (31.3) выражения для радиуса-вектора г в виде г = е,.г и (31.11) для скорости. По правилу получения векторного произведения находим 31. Движение планет и комет (31.17) Р— =г— р 1+е сов (ф — фа) (31.21) Из аналитической геометрии известно, что это есть коническое сечение, т. е.

кривая в сечении конуса плоскостью. Величина р называется параметром орбиты, а постоянная е — эксцентриситетом. Коническое сечение является либо эллипсом (е < 1), либо окруж- сложную функцию от времени: г (1) = г [ф (1)). Для удобства решения введем вместо г функцию р=1/г. (31.16) Получаем аг аг Йр а' /1 ~ йр 1 Нр 1Ч Л' ар сИ аф ~й а'ф ~р/ сй ра аф п1га т йр' Подставив это выражение для г и 1/р из (31.16) вместо г в равенство (31.15), находим ( ) а'р ~т т 2тЧХ вЂ” ) +р~ — 6 — р=сопв1. 1р/ Дифференцируя это уравнение еще раз по ф, получаем —,"", +р=с, (31Л8) где С = (бт'М/Х') ) О.

Общее решение уравнения (31Л8) хорошо известно: р=С+А совф+Вв1пф, (31.19) где А и  — произвольные постоянные, которые надо определить из начальных условий. Правую часть этого равенства можно преобразовать так: р=С+А совф+Вв(пф= =с-~-1'А'-~-В'~ сы~-(- а ~)= тт А В , У Ат+Вт У А~+ Ва = С+ ~' А" + В' (сов фа сов ф + в1 и фа ил ф) = =с.~ гА .$-В а,в~р ~,~=с~1.у. "';~~',щрр ~)~ = — '(1+е сов (ф — ф,)1, 1 (31.20) Р где введены обозначения р = (1/С) = /1/'/СттМ, е=~/ Ат+В'/С и угол ф, определен равенствами ш ~, АфА'-)-В', а~~ =Вфл'.~-В'.

Таким образом, уравнение кривой, по которой движется тело (планета), в полярных координатах имеет следующий вид: 200 гон р/(1+с сов гр). (31.21а) (31.24б) Различные возможные траектории движения в поле тяжести точечного тела: 1 — оаруиноста; г — эллипс; г— парабола; г — гнпарбола Силу притяуквния в наандои точке орбиты можно разложить на двв компоненты: тангенциальную по скорости и нормальную перпендинулярно скорости.

Тангенциальиая компонента обусловливает изменение абсолютного значения скорости планеты, а нормальная — изменение направления скорости. Гла ва 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ностью (е = 0), либо параболой (е = 1), либо гиперболой (е" 1). Из формулы (31.21) видно, что расстояние г до тела принимает минимальное значение г ж при <р = тра. Поэтому удобно направить ось полярной системы координат через точку наибольшего приближения тела к центру притяжения.

Зта точка называется перигелием. Противополонтная точка орбиты эллипса называется афелием. При указанном выборе оси полярной системы координат в уравнении кривой (31.21) надо положить трь = О и оно примет еще более простой вид: Кривые, описываемые этим уравнением, изображены на рис. 63. Рассмотрим более подробно движение по эллипсу. На наименьшем удалении г,унл от центра притяжения тело находится при <р = О, а на наибольшем — при ср = п. Поэтому из (31.21а) можно написать: улнл=Р((1+с) гжаг = Р~(1 — е). (31.22) В моменты наименыпего и наибольшего удалений радиальная скорость тела г = О. Поэтому закон сохранения энергии (31.15) в этих точках с учетом (31.14) имеет вид где через Ев обозначена полная энергия тела, т.

е. сумма кинетической и потенциальной энергий. Значение величины р =- 1/С дано в равенстве (31.18). Подставляя выражения (31.22) в (31.23), находим следующую связь между эксцентриситетом е и энергией Е,: е=(1+ (31.24а) саглгМг Ев Вдг (1 — е ). 31. Движение планет и комет Ю= — T т'т' 2т (31.25) где Я вЂ” площадь эллипса. Иа геометрии известно, что площадь эллипса Б = ттаЬ, где а и Ь вЂ” его полуоси (рис.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее