А.Н. Матвеев - Механика и теория относительности (1111874), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Однако этот радиус все же много больше гравитационного и звезда не в состоянии превратиться в «черную дыру». Если н«е масса звезды превосходит примерно две массы Солнца, то под действием тяготения она неудержимо сжимается и в определенный момент радиус звезды станет равным гравитационному, а она превратится в «черную дыру». «Черные дыры» пока еще не открыты, хотя очень многие ученые и не сомневаются в их существовании. Если «черные дыры» будут обнаружены, то зто, несомненно, будет крупнейшим научным событием.
Можно также представить себе, что сравнительно небольшая масса, например в несколько тонн, по каким-то причинам оказалась заключенной в таком маленьком объеме, соответствующем формуле (30.16), что превратилась в маленькую «черную дыру». По одной из гипотез предполагается, что некоторое количество таких черных дыр осталось от первоначального сверхплотного состояния Вселенной. Они называются реликтовыми «чернымн дырамн» и также пока не обнаружены в природе. 31.
Движение планет и комет Уравнение движения. В первом приближении, как зто было показано в $ 30, »южно считать, что Солнце неподвижно, и пренебречь силами взаимодействия между планетами. Обозначим массу планеты т, массу Солнца М и будем называть их материальной точкой и центром сил соответственно.
Начало системы координат поместим в центр Солнца. Уравнение движения планеты запишется в виде (31.1) где г — радиус-вектор планеты. Уравнение моментов. Сила, действующая на материальную точку, направлена вдоль радиуса-вектора. Момент этой силы относительно Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ 196 центра сил равен нулю, и уравнение моментов (22.4) имеет следую- щий вид: (31.2) Следовательно, момент импульса материальной точки относительно центра сил равен постоянной величине как по модулю, так и по направлению: Х =[г, тт|=сопз1. Плоскость движения. Равенство (31.3) можно переписать в виде (31.4) Отсюда следует, что элементарное перемещение Нг = тй и радиус- вектор г лежат в плоскости, перпендикулярной Х. Это означает, что движение происходит в одной и той же плоскости, т.
е. является плоским движением. Второй закон Кеплера. Он утверждает, что отрезок, соединяющий Солнце с планетой, описывает за равные промежутки времени равные площади. Этот закон является непосредственным следствием закона сохранения момента импульса (31.3). В самом деле, равенство (31.3) можно переписать так: [г, дг) = ~ Ж. (31.5) Установим геометрический смысл левой части этого равенства. Как это непосредственно видно на рис. 61, векторное произведение [г, пг) по абсолютному значению равно удвоенной площади треугольника, построенного на векторах г и Иг: ~ [г, с(г) ) = ~ г ! ) дг ~ з1 и (г, с(г) = пег вп а = пй = 2сКо. (31.6) Вектор !г, дг) перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы г и Йг.
Если взять некоторую элементарную поверхностьд8, то она полностью характеризуется своей величиной и ориентировкой в пространстве. Ее ориентировка в пространстве определяется направ, пением перпендикуляра к ней. Поэтому представляется естественным характеризовать элемент поверхности вектором пБ, перпендикулярным поверхности и по абсолютному значению равным ее площади. Необходимо лишь условиться о направлении. Оно дается правилом правого винта. Некоторый обход элемента поверхности принимается за положительный, н вектор НВ считается направленным в сторону двингения винта, если вращение его головки совпадает с обходом. 197 (31.7) 8 — Бо= 2лт (т — 1о) Х (Зг.В) или (31.8а) 31. Движение планет и комет Положительным обходом площадки (г, дг) считается движение от первого слагаемого ко второму, поэтому элемент поверхности выражается формулой НЯ = 1 = — '(г, дг] и закон сохранения момента импульса (31.5) можно записать так: Поскольку г1 = сопз1, то, интегрируя обе части этого равенства во времени, полу- чаем Это есть второй закон Кеплера, утверждающий, что за равные промежутки времени радиус-вектор планеты описывает равные площади.
Первый закон Кеплера. Он гласит, что все планеты движутся по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одном из фокусов. Для доказательства этого закона нужно найти орбиту. Расчет удобно вести в полярной системе координат, плоскость которой совпадает с плоскостью орбиты. Прежде всего необходимо записать законы сохранения энергии и момента импульса в полярных координатах. Для этого элементарное перемещение Нг разложим на два: (дг)~, перпендикулярное радиусу полярной системы координат, и (с1г), по направлению этого радиуса (рнс. 62). Первое перемещение обусловлено изменением угла ф при движении, а второе— изменением расстояния г планеты от начала координат.
Единичный вектор, направленный перпендикулярно радиусу г в сторону возрастания угла ф, обозначим етн 61. Изображение площади вектором, перпендикулярным поверхности, на которой лежит зта площадь Разложение вектора скорости в полярной системе координат на две составляющие: вдоль радиуса и перпендикулярно ему Глава 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ НВ а в сторону возрастания радиуса — е„. Перемещение Иг моя;но представить формулой с~г=е, (Ыг), +е„(с[г),. (31.9) Поскольку (я>г) есть элементарная дуга окружности радиуса г, то (Нг) = гя>~р; величина (я>г), есть изменение абсолютного значения г, т.
е. (я>г)„ = йг. Поэтому (31.9) принимает вид (31.10) Нг = е„пЬр+ е„дг. Разделив обе части (31.10) на время перемещения, находим (рис. 62) (31.11) где»ч = (госр/й) =- гФ, н„= (ИгЯ>) = г. Возводя обе части равенства (31.11) в квадрат и учитывая, что в силу взаимной перпендикулярности векторов е„и е„их скалярное произведение равно нулю: (е, е„) = О, получаем для квадрата скорости следующее выражение: нг и-' + э-' гцг+ гэ (31,12) Х =тг'ф[е„, е )=сопз1. (31.13) Вектор [е,, е [ является единичным векторолц перпендикулярным плоскости двия'ения. Он фиксирует направление Х.
Закон сохране- ния импульса для абсолютного значения [Ч в полярных координатах на основании (31.13) имеет следующий вид: (31. 14) Закон сохранения энергии записывается с помощью (31.12) без дополнительных вычислений: то2 «>М >>1 а 2 ° 2 тМ 2 — — С вЂ” = — (г'+ г'ф') — С вЂ” = сопаФ. г 2 (31.15) Получены два уравнения (31.14) и (31.15) с двумя неизвестными функциями г (г) и ~р (г). Их достаточно, чтобы полностью определить движение. Однако нас сейчас интересует не вопрос о том, как протекает дни>кение по времени, а форма траектории, Поэтому исключим из уравнений зависимость от времени.
Из уравнения (31.14) следует, что ф =- Х/тг'. Подставив это выра>кение в уравнение (31.15), исключим из него ф. Далее представим г как Подставим в формулу (31.3) выражения для радиуса-вектора г в виде г = е,.г и (31.11) для скорости. По правилу получения векторного произведения находим 31. Движение планет и комет (31.17) Р— =г— р 1+е сов (ф — фа) (31.21) Из аналитической геометрии известно, что это есть коническое сечение, т. е.
кривая в сечении конуса плоскостью. Величина р называется параметром орбиты, а постоянная е — эксцентриситетом. Коническое сечение является либо эллипсом (е < 1), либо окруж- сложную функцию от времени: г (1) = г [ф (1)). Для удобства решения введем вместо г функцию р=1/г. (31.16) Получаем аг аг Йр а' /1 ~ йр 1 Нр 1Ч Л' ар сИ аф ~й а'ф ~р/ сй ра аф п1га т йр' Подставив это выражение для г и 1/р из (31.16) вместо г в равенство (31.15), находим ( ) а'р ~т т 2тЧХ вЂ” ) +р~ — 6 — р=сопв1. 1р/ Дифференцируя это уравнение еще раз по ф, получаем —,"", +р=с, (31Л8) где С = (бт'М/Х') ) О.
Общее решение уравнения (31Л8) хорошо известно: р=С+А совф+Вв1пф, (31.19) где А и  — произвольные постоянные, которые надо определить из начальных условий. Правую часть этого равенства можно преобразовать так: р=С+А совф+Вв(пф= =с-~-1'А'-~-В'~ сы~-(- а ~)= тт А В , У Ат+Вт У А~+ Ва = С+ ~' А" + В' (сов фа сов ф + в1 и фа ил ф) = =с.~ гА .$-В а,в~р ~,~=с~1.у. "';~~',щрр ~)~ = — '(1+е сов (ф — ф,)1, 1 (31.20) Р где введены обозначения р = (1/С) = /1/'/СттМ, е=~/ Ат+В'/С и угол ф, определен равенствами ш ~, АфА'-)-В', а~~ =Вфл'.~-В'.
Таким образом, уравнение кривой, по которой движется тело (планета), в полярных координатах имеет следующий вид: 200 гон р/(1+с сов гр). (31.21а) (31.24б) Различные возможные траектории движения в поле тяжести точечного тела: 1 — оаруиноста; г — эллипс; г— парабола; г — гнпарбола Силу притяуквния в наандои точке орбиты можно разложить на двв компоненты: тангенциальную по скорости и нормальную перпендинулярно скорости.
Тангенциальиая компонента обусловливает изменение абсолютного значения скорости планеты, а нормальная — изменение направления скорости. Гла ва 7. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ностью (е = 0), либо параболой (е = 1), либо гиперболой (е" 1). Из формулы (31.21) видно, что расстояние г до тела принимает минимальное значение г ж при <р = тра. Поэтому удобно направить ось полярной системы координат через точку наибольшего приближения тела к центру притяжения.
Зта точка называется перигелием. Противополонтная точка орбиты эллипса называется афелием. При указанном выборе оси полярной системы координат в уравнении кривой (31.21) надо положить трь = О и оно примет еще более простой вид: Кривые, описываемые этим уравнением, изображены на рис. 63. Рассмотрим более подробно движение по эллипсу. На наименьшем удалении г,унл от центра притяжения тело находится при <р = О, а на наибольшем — при ср = п. Поэтому из (31.21а) можно написать: улнл=Р((1+с) гжаг = Р~(1 — е). (31.22) В моменты наименыпего и наибольшего удалений радиальная скорость тела г = О. Поэтому закон сохранения энергии (31.15) в этих точках с учетом (31.14) имеет вид где через Ев обозначена полная энергия тела, т.
е. сумма кинетической и потенциальной энергий. Значение величины р =- 1/С дано в равенстве (31.18). Подставляя выражения (31.22) в (31.23), находим следующую связь между эксцентриситетом е и энергией Е,: е=(1+ (31.24а) саглгМг Ев Вдг (1 — е ). 31. Движение планет и комет Ю= — T т'т' 2т (31.25) где Я вЂ” площадь эллипса. Иа геометрии известно, что площадь эллипса Б = ттаЬ, где а и Ь вЂ” его полуоси (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
