В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика, страница 8

При этом должна рассматриваться симметрия по отношению ко всем возможным поворотам вокруг центра 42 ФО'ГО!Л (т. е. по отношению ко всей группе сферической симметрии). Характеристикой свойств симметрии частицы по отношению к этой группе является ее спин в, определяющий кратность вырождения (число 2в+ 1 преобразующихся друг через друга различных волновых функций). В частности, частице с векторной 1три компоненты) волновой функцией отвечает спин 1. Для частицы же с равной нулю массой пе существует системы покоя в любой системе отсчета она движется со скоростью света. По отношению к такой частице всегда имеется выделенное направление в пространстве .

— направление вектора импульса 1« (ось 1,). Ясно, что в таком случае отсутствует симметрия по отношению ко всей группе трехмерных вращений, и можно говорить лишь об аксиатьной симметрии относительно выделенной оси. При аксиальной симметрии сохраняется лишь спиралылость частицы проекция момента на ось !„обозначим ее Л '). Если потребовать также симметрии по отношению к отражениям в плоскогугях! проходящих через ось 7„то состояния, различающиеся знаком Л, будут взаимно вырождены, при Л ф О мы будем иметь, следовательно, двукратное вырождение ') . Состояние фотона с определенным импульсом и соответствует одному из типов таких двукратно вырожденных состояний. Оно описывается «спиновой» волновой функцией, представляющей собой вектор е в плоскости бт); две компоненты этого вектора преобразуются друг через друга при всех поворотах вокруг оси 7, и при отражениях в плоскостях, проходящих через эту ось. Различные случаи поляризации фотона находятся в определенном соответствии с возможными значениями его спиральности.

Это соответствие можно установить по формулам П1, (57,9), связывающим компоненты векторной волновой функции с компонентами эквивалентного ей спинора второго ранга ') . Проекциям Л = +1 или — 1 соответствуют векторы е с отличной от нУлЯ лишь компонентой ее — лел или ее+1еш т.

е. соответственно е=е!т ) или е=ел ). Другими словами, значения Л=+ 1 и — 1 соответствуют правой и левой круговой поляризапии фотона (в 8 1б этот же резуль лат будет получен путем прямого вычисления собственных функций оператора проекции спина). Таким образом, проекция момента фотона на направление его движения может иметь лишь два значения (~1); значение О не возможно. ) В отличие от проекции Гв момента на заданное направление 1ось г) в прострапстве, о которой юла речь в предыдупЛеы параграфе. !) Отметим, что таким же образом классифицируются электронные термы двухатомиой молекулы (см.

111, 8 78). а) Напомним, что компонентам волновой функции как амплитудам вероятиости различных значений проекции момеита частицы 1о которых здесь и идет рЕчь) отвечалот кептравариаптпые компоненты спинора. поляРНЗАции! Фотон« Состояние фотона с определенными импульсом и поляризацией есть чистое состояние (в смысле, раз ьясненном в П1, 2 14); опо описывается волновой функцией и соответствует полному квантовомеханическому описанию состояния частицы (фотона). Возможны также и «смешанные» состояния фотона, соответствующие менее полному описапиюи осуществляемому не волновой функцией, а лишь матрицей плотности. Рассмотрим состояние фотона, смешанное по его поляризациии но соответствующее определенному значению импульса 1«.

В таком состоянии (его называют состоянием "сасьчичной поляризации существует «координатнаяии волновая функция. Поляризационная матрица плотности фотона представляет собой тензор второго ранга р д в плоскости, перпендикулярной вектору п (плоскость («1; индексы о, Р пробегают всего два значения). Этот тензор эрмитов: р-Ф = Р,з.

(8.3) и нормирован условием Роси =Р1~+Р22 = 1 (8.4) В силу (8.3) диагональные компоненты ры и р22 вещественны, причем определяются одна по другой условием (8.4) . Компонента же ргз комплексна, а р2« = р12. Всего, следовательно, матрица плотности характеризуется тремя вещественными параметрами.

Если известна поляризационпая матрица плотности, то можно найти вероятность того, что фотон имеет любую определенную поляризацию е. Эта вероятность определяется «проекцией» тензора р д на направление вектора е, т. е, величиной роде„ед. (8.5) Так, компоненты ры и р22 представляют собой вероятности .линейных поляризаций вдоль осей ~ и «ь Проецирование на векторы (8.'2) дает вероятности двух круговых поляризаций: -11~«(Р12 — р )). (8.6) 2 Свойства тензора р с«по форме и по существу совпадают со свойствами тензора 7 «, описывающего частично поляризованный свет в классической теории (см.

П, 2 50). Напомним здесь некоторые из этих свойств. В случае чистого состояния с определенной поляризацией е тЕНЗОР Роз СВОДИТСЯ К ПРОИЗВЕДРНИЯМ КОМПОПЕНт ВЕКтОРа Е: р с« = еоед. (8.7) При этом определитель ~род = 0~. В обратном случае неполяризованного фотона все направления поляризации равновероятр., = б.4 72, (8.8) при этом ~ро~«~ = 1сс4. гл. ! Фо'гон В общем случае частичную поляризацию удобно описывать с помощью трех вещественных параметров Стокса (ы ~з, сз '), через которые матрица плотности выражается в виде ч ~~1+4(я 1 — ~з /' 4 1+~з 6 46~ 8.9 Все три параметра пробегают значения между — 1 и +1. В неполяризованном состоянии (1 = ~з = (з = 0; для полностью поляРизованного фотона (~~ + (зз + ~зз = 1.

Параметр ~з характеризует линейную поляризацию вдоль осей ~ или г); вероятность линейной поляризации фотона вдоль этих осей равна соответственно (1+ (з)/2 или (1 — (з)/2. Значения ~з = +1 или — 1 отвечают поэтому полной поляризации в этих направлениях. Параметр (1 характеризует линейную поляризацию вдоль направлений, составляющих угол ~р = я/4 или ~р = — я/4 с осью б. Вероятность линейной поляризации фотона в этих направлениях равна соответственно (1+ ~1)/2 или (1 — ~1)/2; в этом легко убедиться, спроецировав тензор р,з на направления е = (1, ~1)/ьГ2. Наконец, параметр (з есть степень круговой поляризации; согласно (8.6) вероятность того,.

что фотон имеет правую или левую круговую поляризацию, равна (1+ ~з)/2 илн (1 — ~з)/2. Поскольку две поляризации отвечают спиральпостям Л = ~1, то ясно, что в общем случае ~я есть среднее значение спиральности фотона. Отметим также, что в случае чистого состояния с поляризациегй е (з = 4~ее*)п. (8.10) Напомним (скг. П, 8 50), что по отношению к преобразованиям Лоренца инвариаптными величинами являются (я и Д~ + ~з. Мы встретимся также в дальнейшем с вопросом о поведении параметров Стокса по отношению к операции обращения времени. Легко видеть, что они инвариантны по отношению к этому преобразованию.

Это свойство не зависит, очевидно, от природы поляризационного состояния, и потому достаточно убедиться в нем хотя бы в случае чистого состояния. Обращению времени отвечает в кваптовогй механике замена волновой функции ее комплсксно-сопряженной (см. Ш, 8 18). Для плоскополяризованной волны это означает замену э) 1с -+ — 1с, е -+ — е*. (8.11) ') Не смешивать обозначение параметров с обозначением оси 8! ) Дополнительное изменение знака е связано с тем, что обращение времени меняет Знак векторного потенциала электромагнитного поля. Скалярный же потенциал не меняет знака; поэтому геш 4-вектора е обращение времени есть преобразование (ее, е) э (еа, -е*).

(8.11а) полягиЗАция Фотонл При таком преобразовании симметричная часть матрицы плотности (1/2)(еоер + еде'), а тем самым н параметры (~ и ~з не меняются. Неизменность же параметра ~з при том же преобразовании видна из (8.10); она очевидна также уже из смысла ~з как среднего значения спиральности. Действительно, спиральность есть проекция момента 3 на направление п, т. е. произведение 3п: обращение же времени меняет знак обоих этих векторов.

В дальнейших вычислениях нам понадобится матрица плотности фотона, записанная в четырехмерной форме, т. е. в виде некоторого 4-тензора р„„. Для поляризованного фотона, описываемого 4-вектором ер, этот тензор естественно определить как р„, = ере,'. (8.12) При трехмерно поперечной калибровке е = (О,е), если одна из пространственных осей координат выбрана вдоль и, отличные от нуля компоненты этого 4-тензора совпадают с (8.7).

Для неполяризованного фотона трехмерно поперечной калибровке отвечает тензор р„„с компонентами 1 Р1ь = -(о1ь — и М Ро = Ро = Роо = О (813) (если одна из осей совпадает с направлением п, мы возвращаемся к (8.8)). Непосредственно использовать тензор рр, в таком трехмерном виде, однако, неудобно. Но мы можем воспользоваться калибровочным преобразованием; для матрицы плотности это есть преобразование вида Рри 1 Рри + Хрйы + Хийр,, (8.14) где Х„произвольные функции. Положив Хо = — 1П4ы), Х, = й;/(4М ) получим вместо (8.13) простое четырехмерное выражение Рр„— — — 8р /2.

(8.15) Четырехмерное представление матрицы плотности частично поляризованного фотона легко получить, переписав предварительно двумерный тензор (8.9) в трехмерном виде: Р,ь = (1/2)(е( ) е(, ) + е( ) еь( ) ) + ф/2) (е( ) еь( ) + е( ) е~~ ))— — (Щз/2)(е~ )е~~ ) — е~ )е~ )) + (са/2)(е( )е~~ ) — е~ )е~~ )), где е(1), е(з) - единичные векторы, орты осей б и гй Требуемое обобп1ение достигается заменой этих 3-векторов пространственно-подобными единичными вещественными 4-векторами е(1), е1з), ортогональными друг друту и 4-импульсу фотона й: еО)з = с~в)~ = — 1, ер)е1в) = О, еО)й = е1в)й = О. (8.16) 46 ФО'ГОН В трехмерно поперечной калибровке: е1Ц=10, еВ)), е1~)=10, е)2)).