В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика, страница 9

Таким образом, четырехмерная матрица плотности фотона рки = (1 12)(е)ЦеН) + е);)е)2)) + ф))2)1е~~)е)') + е)2)е)Ц)— — 11~2,)2)(е~~) е)') — е~~) е)') ) + (~з,)2) (е)~) е)~) — е~~) е)') ). (8.17) Удобство того или иного фактического выбора 4-векторов е! ), !Ц е) ) зависит от конкретных условий рассматриваемой задачи. Надо иметь в виду, что условия (8.16) не фиксируют выбора ей) и е)2) однозначным образом. Если какой-либо 4-вектор ер удовлетворяет этим ус;ювиям, то им же будет удовлетворять н любой 4-вектор вида ер + уйр (в силу того, что к2 = 0).

Эта неоднозначность связана с калибровочной неоднозначностью матрицы плотности. Первый член в (8.17) отвечает неполяризованному состоянию. Поэтому его можно было бы заменить, согласно (8.15), на -8р,))2. Такая замена снова эквивалентна некоторому калибровочному преобразованию. При оперировании с 4-тензорами вида (8.17), разложенными по двум независимым 4-векторам, удобно применять следующий формальный прием. Записав (8.17) в виде з 1аЬ) 1а) 1Ь) рр,— к, р е„е а,Ь=1 представим коэффициенты р)~ь) двухрядной матрнцей /' )1Ц (12)з) Р ) )2Ц (22)) Р Р Как всякую эрмитову двухрядную матрицу, ее можно разложить по четырем независимым двухрядным матрицам матриЦам ПаУли !тк, Гтз, )т, и еДиничной матРиЦе 1: р = (1))2) (1 + ~о ), ~ = ф, ~2, (з), (8.18) в чем легко убедиться прямым сравнением с (8.17) ! использовав известные выражения матриц Паули (18.5) (объединение трех величин Г)! (2, ~з в «вектор» г.

имеет, конечно, чисто формальный смысл, преследующий лишь цель удобства записи). Задача Написать матрицу плотности фотона в представлении, в котором «осями» координат являются циркулярные орты )8.2). Р е ш е н и е. Компоненты тензора р' «в новых осях (а, й = хЦ получаются проецированием тензора (8.9) на орты (8.2)! Н-!)* ГНФ!) ! 2«!) 1 — !) р)! = р ве *е„, р,, = р„зе„е„ 1 ( 1+бз -8»+)8)1 2 1 — 8з — 18! 1 — 8з,) ' системА дВух Фо'гонов й 9.

Система двух фотонов Рассуждения, аналогичные проведенным в 3 6, позволяют произвести подсчет числа возможных состояяий и в более сложном случае системы двух фотонов (Л. Ландау, 1948). Будем рассматривать фотоны в системе их центра инерции; импульсы фотонов 1с1 = — 1сз = 1с ') . Волновую функцию системы двух фотонов (в импульсном представлении) можно представить в виде трехмерного тензора второго ранга А,;ь(п) составленного билипейно из компонент векторных волновых функций обоих фотонов; каждый из индексов этого тензора соответствует одному из фотонов (и единичный вектор в направлении 1с). Поперечность же каждого из фотонов выражается ортогональностью тензора А;й вектору п; Апгй = О, Апп~ = О. (9.1) Взаимная перестановка фотонов означает перестановку индексов тензора А,ь вместе с одновременным изменением знака п.

Поскольку фотоны подчиняются статистике Бозе, то Ал„.( — и) = Аы(п). (9.2) Тензор А,,ы вообще говоря, нс симметричен по своим индексам. Разделим его на симметричную (в,,ь) и антисимметричную (а;ь) части: А;ь = в,ь + а,й. Соотношению (9.2) (а также условиям ортогональности (9.1)) должна, очевидно, удовлетворять каждая из этих частей в отдельности. Отсюда получаем в,ь( — и) = в,ь(п), а.;~( — п) = -а;ь(п). (9.3) (9.4) ) Такая система отсчета существует всегда., за исключением случая двух фотонов, движущихся параллельно друг другу в одну и ту же сторону. Суммарный импульс к1+не и суммарная энергия оп +юг таких фотонов связаны друг с другом таким же соотношением, как и для одного фотона, и потому не существует системы отсчета, в которой было бы 1с1 + ке = О. Инверсия системы координат сама по себе не меняет знака компонент тензора второго ранга, но меняет знак и.

Поэтому из (9.3) видно, что волновая функция в,ь симметрична по отношению к инверсии, т. е. соответствует четным состояниям системы фотонов; волновая же функция а,ь отвечает нечетным состояниям. Антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен (дуален) некоторому аксиальному вектору а, компоненты которого выражаются через компоненты тензора согласно а, = ~~~с;цаы, где е,ы антисимметричный единичный тензор (см. П, 3 6).

Ортогональность тензора аы вектору и означает, что векторы а и и параллельны ') . Поэтому можно написать а = пу(п), где ср- сквляр, согласно (9.4) должно быть а( — п) = — а(п), а потому Это равенство означает, что с»каляр;р может быть линейно построен из шаровых функций только четного порядка т (включая порядок нуль). Мы видим, что антисимметричный тензор а»ь по своим транс- формационным (по отношению к вращениям) свойствам эквивалентен одному скаляру (ср. примеч, на с. 34). Сопоставив последнему «спин» О, найдем, что момент состояния,1 = А.

Таким образом, тепзор а,» соответствует нечетным состояниям системы фотонов с четным моментом 7. Обратимся к симметричному тензору в,ьо Поскольку он чется по отношению к изменению знака п, ему отвечают четные состояния системы фотонов. Отсюда же следует, что все компоненты в,» выражаются через шаровые функции четного порядка Л (включая Л = 0). Произвольный симметричный тензор второго ранга в«» сводится, как известно, к скаляру (а„) и к симметричному тензору (в',. ) с равным нулю следом (е',з = 0). Скаляру вн приводится в соответствие «спин» О, а потому момент отвечающих ему состояний 7 = А, т.

е. четен. Тензору же и',ь соответствует «спин» 2 (см. П1, ~ 57). Складывая по правилу сложения моментов этот «спин» с четным «орбитальным моментом» Л, находим, что при заданном четном У ф 0 возможны три состояния (с 1 =,7~2,,1), а при нечетном,7 у'= 1 два состояния (с А =,7 х 1). 14сключение составляет,7 = 0 с одним состоянием (А = 2) и 7 = 1 с одним состоянием (А = 2). В этих подсчетах, однако, еще не учтено условие ортогональности тензора в,» вектору и. Поэтому из полученного числа состояний надо вычесть число состояний, которым соответствует симметричный тензор второго ранга, «параллельный» вектору п. Такой тензор (обозначим его а,"~ можно представить в виде где Ь некоторый вектор.

Согласно (9.3) этот вектор должен удовлетворять условию Ь( — и) = — Ь(п). Таким образом, ответственный за «лишние» состояния тензор а,"~ эквивалентен нечетному вектору. Этот вектор должен, следовательно, выражаться через шаровые функции только нечетных порядков Л. Залсетив ) Имеем: а,» = е,маь и условие ортогоивльиости дает а сп» = е,»са~пс = )па), = О. система дВух Фо'Гонов также, что вектору соответствует «спин» 1, найдем, что для каждого четного момента з ~= 0 возможны два состояния (с .ь = 1 ~ 1), а для каждого нечетного,7 одно состояние (с ь = =,1); особый случай представляет,У = 0 с одним состоянием (ь = 1).

Сведя вместе полученные результаты, получим следуюшую таблицу, указывающую число возможных четных и нечетных состояний системы из двух фотонов (с равной нулю суммой импульсов) для различных значений полного момента,7; (9 б) (а . целое положительное число, отличное от нуля). Мы видим, что при нечетных,У отсутствуют нечетные состояния, а значение ,7 = 1 вообще невозможно ') . Волновая функция с:истемы двух фотонов Аьь определяет корреляцию их поляризаций. Вероятность того, что два фотона одновременно имеют определенные поляризации е1 и ез, пропорциональна Агве1пезь ° Другими словами, если задана поляризация е1 одного фотона, то поляризация второго ег пропорциональна езь сс Асьеп.

(9.6) В нечетных состояниях системы А,ь совпадает с антисимметричным тензором анг При этом езе,* сс пгвепе1ь — — О, т. е. поляризации обоих фотонов взаимно ортогональны. В случае линейной поляризации это означает псрпендикулярность их направлений, а в случае круговых поляризаций противоположность направлений вращения.

Четное состояние с,1 = 0 описывается симметричным тензором, сводящимся к скаляру в,ь = сопв1 (д,ь — п,цв). Поэтому из (9.6) получим е~ = е~. В случае линейной поляризации это означает параллельность их направлений, а в случае крутовых поляризаций снова противоположность направлений вращения. Последнее обстоятельство очевидно: при 1 = 0 во всяком случае должна быть равна нулю сумма проекций моментов фотонов на одно и то же направление 1с (проекции же на противоположные направления 1с1 и 1сьь т.