В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика, страница 7

Покажем, что этим свойством обладает любаЯ фУнкциЯ вида аУ" ш, где а какой-либо вектор, образованный с помощью единичного вектора п = )с/сс, а 1 ш обычные (скалярные) шаровые функции. Последние будем везде определять согласно П1, 9 28: у ( ) — ( 1) з"'' 121+1Н1 ] ]))О ~( 0) ' т (72) 4я(1-~- ]т])! ) Эти названия соответствуют терминологии классической теории излучеиия: мы увидим в дальиейшем Я 46, 47), что излучение фотонов электрического и магиитпого типов определяется соответствуюшими электрическими и магнитными моментами системы зарядов. ') Этот вопрос был впервые рассмотрен !айгплером ( Иг. НВН1еа 1936).

Излагаемая форма решеиия принадлежит Б. Б. Бгресшеикомр (1947). 36 10, !р --сферические углы, определяя!щис направление и) ') . Для этого вспомним правило коммутации 1П, 129.4)! 11„ав) = ге!в!а,1. Правую сторону этого равенства можно написать в виде ( —,згаь) ! где в -- оператор спина 1 (воздействие этого оператора на вектор- НУЮ ФУНКЦИЮ КаК Раб ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ РаВЕНСтВОМ В!аь = — бс,ма!1 см.

П1, 2 57, задача 2). Поэтому имеем 1!аь — ай1;, = — В,аы Воспользовавшись этим равенством, найдем »г!аь = 111 + В!)аь = ай1!ь Следовательно, '2 2 «1а1'бьч) = а1 1«, «к1аУ;и,) = а)гУ»ии Но шаровая функция 1»п! есть собственная функция операторов 12 и 1х, соответствующая собственным значениям этих величин «1» + 1) и гг!ч так что мы пРиходим к Равенствам 17.1). Мы получим три сучцественно различных типа шаровых векторов, выбирая в качестве вектора а один из следующих векторов '): чу !птг ) (7.3) «1« - 1)' ,«1« - 1)' Таким образом, определяем шаровые векторы следующил! образом: 'Ъ'~~'~ = тььг„! Р = ( — 1)1; тг«1« -ь 1) 17.4) Ъ"~",~ = пУ~, Р = ( — 1)1. ') Отметим для будущих ссылок значение фуакций при В = О 1п — вдоль оси х)! 1! 1п,)=!)1 б е.

21Ф1 17.2а) )! 4л ~) Оператор ч: — !Ц~к и действует на функции, зависящие только от направления и, Он имеет 1в сфорических координатах) всего две составляющие: (дВ' сйпВ ду!» ' Оператор, обозначенный ниже посредством Ь, — угловая часть оператора Лапласа: 1 д д 1 !а„= —, — сйп В— ,ьчВВВ дВ е1 'Вдте' СФВРИЧЕСКИЬ' ВОЛНЫ ФОТОНОВ Р ядом с каждым вектором у.казана его чстпость Р.

Шаровые векторы трех типов взаигяно ортогональны, причем Ъ', про(и) долон, а У.„, и У „, поперечны по отношению к вь (э) (м) Шаровые векторы могут быть выражены через скалярные шаровые функции. При ятом Ъ .,„выражаются через шаровые (м) функции лишь одного порядка 1 = у, а Ъ" и Ъ' через шаро(э) (п) вые функции порядков 1 = у ~ 1. Это обстоятельство очсвидпо: достаточно сравнить указанные в (7.4) четности шаровых векторов с четностью ( — 1)'Р' векторного поля, выраженной через порядок содержащихся в нем шаровых функций. Шаровые векторы каждого из типов взаимно ортогопальпы и нормированы согласно Ъ ЗпэК',„Г)о = 6ТУ дэпэ„.

(7.5) Для векторов Ъ' э„зто очевидно в силу условия нормировки ша(п) ровых функций 1 . Для векторов У „, нормировочный интеграл Г ~п1тут~п1~~ ~<1о = — Уупэ~ЬВЪ)тдо~ зО+1) ' ' уьэ+1) ./ и, посколькУ ЬВУ„, = — )(У + 1)Туп„то мы пРиходим к (7.5). К такому же интегралу сводится Нормировка векторов Ъ'. (и) Заметим, что к шаровым векторам (7.4) можно было бы прийти и без произведенной выше прямой проверки уравнений (7.1)- уже на основании общих соображений о трансформациояных свойствах функций. Такие соображения привели нас в предыдущем параграфе к выводу о том, что векторная функция вида п~р отвечает значению ) момента, совпадающему с порядком шаровых функций, входящих в Вэ; если положить просто ~р = У~~, то функция п~р будет соответствовать также и определенному значению т проекции момента.

Таким образом, мы сразу приходим к шаровым векторам У „„,. Но изложенные в З 6 рассуждения о трансформационных свойствах не изменятся, если заменить множитель п в произведении пр вектором '~7„или [пэуп]; таким образом, мы получим шаровые векторы двух других типов. Вернемся к волновым фупкциям фотона. Для фотона электрического типа (Е~) вектор А()с) должея обладать четностью ( — 1) . Такую четность имеют шаровые векторы Ъ' и У ~; из Т (э) них, однако, лишь первый удовлетворяет условию поперечности. Для фотона магнитпого типа (ЛХ)) вектор А()с) должен иметь Гл. 1 38 ФО'ГОН четность ( — 1)лт', такую четность имеет только шаровой вектор Ъ ( ). Поэтому волновые функции фотона с определенным мо)т' клентом 1 и его проекций гп (и энергией ш) А„,б„л(1с) = — б()1с~ — ш)'Уб~(п), (7.6) при.!ем В качестВе У)т надО писать У или У соотВетствснио )э) )и) в случае фотона электрического или магнитного типа; заданное значение энергии учитывается множителем Б()1с~ — ш).

Функции (7.6) иорлчированы условием (2я)4 шш1А* Я)А„11в()с)с)з)с = шб(ш' — ш)5 5„„, (7.7) с З м'Л' пк Для волновых функций координатного представления условие (7.7) эквивалентно условию ') — 1 )е"э, ) )е, ) )+н';«) )н; ) ))э *= = шб(ш' — ш) Цз б,пп, . (7.8) Действительно, интеграл в левой стороне равенства, выражен- ный через потенциалы, имеет вид — А'... (г)Ам (г)ш'шо)~т,. 2я 9 и Сюда надо подставить А (г) = А, . (11)ееи" (7.9) А, 9,,(г) = б( А 9,,(1с )е (2к)э После этого интегрирование по )1зт дает д-функцию (2я)зо(1с'— — )с), которая устраняется интегрированием по 4 )с, и интеграл з ) приводится к виду (7.7).

До сих пор мы подразумевали поперечную калибровку потенциалов, при которой скалярный потенциал Ф = О. В различных применениях, однако, могу.т оказаться более удобными другие способы калибровки сферической волны. ') Это условие того же типа, что и (2.22). Появление множителя б(ш' — ш) в правой стороне равенства связано с тем, что здесь рассматривается пале (сферическая волна) во всем бесконечном пространстве вместо поля в конечном объеме 1' = 1. СФВРИЧЕОКИЬ' ВОЛНЫ ФОТОНОВ Допустимое преобразование потенциалов в импульсном представлении состоит в замене А — > А+ п7(1с).

Ф вЂ” Р Ф+ 1(1с), где ~(1с) -- произвольная функция. Выберем ее в данном случае таким образом, чтобы новые потенциалы выражались через те же шаровые функции и чтобы они по-прежнему имели определенную четность. Для фотона электрического типа эти условия ограничивают выбор потенциалов следующими функциями: А~'~ (1с) =,б(~1с~ — Вэ)('У~'„~, + СпУ ), ФФ1ээ(1с) = э,эб~~1с~ — Вэ)СУлп (7.10) где С -произвольная постоянная. Для фотона же магнитного типа такая добавка к А™(1с) лишала бы его определенной четности, и поэтому при тех же условиях выбор (7.6) оказывается ОДНОзна 1е1ым. Вероятность того, что фотон с определенными моментом и четностью будет зарегистрирован движущимся в направлении и, лежащем в элементе телесного угла 11О, согласно (3.5) и (7.6) равна э ш(п) по — Ъ'1 ~ 11О. (7.11) Мы написали выражение для фотона Е-типа.

Но поскольку Ъ" = Ъ"у~, РаспРеДелениЯ веРоЯтностей та(п) ДлЯ фо(м) (э) тонов обоих типов одинаковы. Квадрат модуля Ъ' „, не зависит от азимутального угла 1р (Э) ' (множители е ч"'ээ в шаровых функциях сокращаются). Поэтому распределение вероятностей ю(п) симметрично относительно оси ж Далее, поскольку каждый из шаровых векторов обладает определенной четностью, квадраты их модулей четны по отношению к инверсии, т. е. по отношению к замене полярного угла 0 -э я — 0; это значит, что функция ю(0), будучи разложена по полиномам Лежандра, содержит полиномы лишь четного порядка.

Определение коэффициентов такого разложения сводится к вычислению интегралов от произведений трех шаровых функций и дальнейшему суммированию по компонентам. То и другое производится по формулам, полученным в П1, З 107-108, и приводит 40 к следующему результату: (л) ( 1),„э! (2»+ Ц! ~(4 + 1) (»» 2« ! )(»» 2«!) п=е х (~ » й, ) Р2„(сов О).

(7.12) Приведем, наконец, выражения компонент !паровых векторов в виде разложений по шаровым функциям. При этом мы пользуемся «сферическими компонентами» вектора, определенными согласно 1П, 2 107; компоненты 7л вектора 1': »е = г»„ ~ ! = — †(УФ + 1Д~), » ! = — (» — г 1л). (7.13) Если ввести «циркулярные орты»: ещ!= !е!»!, е!' 0= — — (е!Ф!+ гейй), е~ 0= — (е!'! — Гейй) (7.14) лГ2 ~/2 (е~к э ) — орты осей т, у! в), то ~( 1)Г-лг е(л! ~ ( 1)!-л1е(-лй 1е~л) (71б) л Сферические компоненты шаровых векторов выражаются с помощью 3»-символов через шаровые функции следующими формулами: (-')" "" (~»ж)л =-Ъ'» (Гл+Л -Л -'т)'»Ф!,-Фл+ +у + (,Л Л ),—,--л ;.у» — 1 1 + !»» Ч,ГЛ+ Л вЂ” Л вЂ” т) 1» — Г;Гл-~Л.

Эти формулы выводятся следующим образом. Каждый из трех шаровых векторов имеет вид Ъ'» = ау~, где а один из трех векторов (7.3). Поэтому лг» = ~! (1т~~а~»т)1'ы!, ни' и задача сводится к нахождению матричных элементов векторов а относительно собственных функций орбитального момента. Согласно (107.0) (см. П1) имеем (1т'~ал~»т) = »( — 1)л""" '" ! Л» (1~~а2»), полягиЗАцич Фотонл где 1ш, .

- болыпее из чисел 1 и 11 Поэтому достаточно знать от- личные от нуля приведенные матричные элементы (1((а)(Я. Для них имеются формулы: (7.17) 8 8. Поляризация фотона Вектор поляризации е играет для фотона роль «спиновой части» волновой функции (с теми оговорками, которые были высказаны в 2 6 по поводу понятия спина фотона). Различные случаи, которые могут иметь место для поляризации фотона, ничем не отличаются от возможных типов поляризации классической электромагнитной волны (см.

П, 2 48). Произвольную поляризацию е можно представить в виде наложения двух выбранных каким-либо определенным образом взаимно ортогональных поляризаций ер~ и е~в) (е(Пе(2)' = О). В разложении е=е1е( ~+еяе( ~ (8.1) квадраты модулей коэффициентов е1 и е2 определяк>т вероятность того, что фотон имеет поляризацию е~ ~ или е~ ~. В качестве поспедпих можно выбрать две взаимно перпендикулярныс линейные поляризации. Можно также разлагать п1юизвольную поляризацию на две круговые с противоположными направлениями вращения. Векторы правой и левой круговой поляризации обозна |им соответственно е~~ ~ и е~ П; в системе координат Щ с осью ~ вдоль направления фотона и = 1с/о~ е~т ~ = — — (е® + ге('о), у/2 е( 1) = — (е® вЂ” ге(ч)).

(8.2) у/2 Возможность двух различных поляризаций фотона (при заданном импульсе) означает, другими словами, что каждое собственное значение импульса двукратно вырождено. Это обстоятельство тесно связано с равенством массы фотона нулю. Для свободно движущейся частицы с ненулевой массой всегда сугцествует система покоя. Очевидно, что именно в этой системе отсчета выявляются собственные свойства симметрии частицы как таковой.