В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика, страница 5

Такая трактовка соответствует разложению г)!-оператора в виде ряда по волновым функциям стационарных состояний частицы в нерелятивистском аппарате вторичного квантования (в отличие от последнего, однако, в разложение (2.17) входят как операторы уничтожения, так и операторы рождения частиц; смысл этого различия выяснится в дальнейшем, см. 8 12). Волновая функция (2.26) нормирована условием з 1 (!ш !2 + !Н !2) уз (3.2) Это есть нормировка на один фотон в объеме 1' = 1. Действительно, интеграл в левой стороне равенства представляет собой квантовомеханическое среднее значение энергии фотона в состоянии с данной волновой функцией ') . В правой же стороне равенства (3.2) стоит энергия одного фотона.

Роль «уравнения Шредингера» для фотона играют уравнения Максвелла. В данном случае (для потенциала А(г,б), удовлетворяющего условию (2.1)) это -- волновое уравнение дА АА 0 дб! «Волновые функции» фотона в общем случае произвольных стационарных состояний представ.ляют собой комплексные решения этого уравнения, зависящие от времени посредством множителя е — кл Говоря о волновой функции фотона, подчеркнем лишний раз, что ее отнюдь нельзя рассматривать как амплитуду вероятности ') Обратим внимшгие на то, что коэффициент 1Д4к) в интеграле (3.2) в два раза больше обычного коэффициента 1Д8к) в (2.10). Эта разница связана, в конечном счете, с комплексностью векторов Ек ., На, в отличие от зрмитовых операторов поля Е, Й.

27 кллиБРОВОчнАя инвлгилн Гность пространственной локализации фотона .- в противоположность основному смыслу волновой функции в нерелятивистской квантовой механике. Это связано с тем, что (как было указано в З 1) понятие координат фотона вообще не имеет физического смысла. К математическому аспекту этой ситуации мы вернемся еще в конце следующего параграфа.

Компоненты разложения Фурье функции А(г,1) по координатам образуют волновую функцию фотона в импульсном представлении; обозначим ее А(1с,1) = А(1с)е '~'. Так, для состояния с определенным импульсом 1с и поляризацией е1 ) волновая функция импульсного представления дается просто коэффициентом при экспоненциальном множителе в (2.26): е~ ~ Ай (1с',ок) = ъ'4я бь ~,б~,„. (3.3) ~72ы В соответствии с измеримостью импульса свободной частицы волновая функция импульсного представления имеет более глубокий физический смысл, чем функция координатного представления: она дает возможность вычислить вероятности ьэь„, различных значений импульса и поляризации фотона, находящегося в заданном состоянии. Согласно общим правилам квантовой механики ьэк„дается квадратом модулей коэффициентов разложения функции А(1с') по волновым функциям состояний с определенными к и есч: 2 сс ~~ А1, (1с', о')А(1с') 1с'а' (коэффициент пропорциональности зависит от способа нормировки функций).

Подставив сюда (3.3), получим ю~, сс ~е( 1А(1с)~~. (3 4) После суммирования по двум поляризациям найдем вероятность того, что фотон имеет импульс 1с юй сс ~А(1с)~~. (3.5) я 4.Калибровочная инвариантность Как известно, выбор потенциалов поля в классической электродинамике неоднозначен: компоненты 4-потенциала Ал можно подвергнуть произвольному калибровочному (или градиюипкому) преобразованию вида Ал -э Ал+ д,д, (4.1) где 7~ -- произвольная функция координат и времени (см. П, З 18). 28 ФО'Гон Для плоской волны, если ограничиться преобразованиями, не меняющими вида потенциала (его пропорциональности множителю ехР( — »алхн)), неоднозначность сводитсЯ к возможности прибавления к амплитуде волны любого 4-вектора! пропорционального 4-вектору И.

Неоднозначность потенциала сохраняется, конечно, и в квантовой теории — применительно к операторам поля или к волновым функциям фотонов. Не предрешая способа выбора потенциалов, надо писать вместо (2.17) аналогичное разложение для операторного 4-потенциала А" = Е (Е -А" + ' А'"") (4.2) »со где волновые функции А»,' — 4-векторы вида или в краткой записи, опуская четырехмерные векторные индекС1.1: А1, = Х»4Л вЂ” ес '~', ЕЕ* = — 1.

(4.8) т» 2ы Здесь 4-импульс йд — — (о», 1с) (так что йх = о»1 — 1сг), а е единичный 4-вектор поляризации ') . Если ограничиться калибровочными преобразованиями, не меняющими зависимости функции (4.3) от координат и времени, то они будут состоять в замене ер — у е„ +;фю (4.4) гДе )с =,'б()с") пРоизвольнаЯ фУнкЦиЯ. ПопеРечность полЯРизации означает, что всегда возможна такая калибровка, при которой 4-вектор е имеет вид е" = (О, е), е1с = О (4.5) (такую калибровку мы будем называть трехмерно г!оперенной). В инвариантном четырехмерном виде это требование записывается в виде условия четырехмерной пот»еречност!» ей = О. (4 б) Обратим внимание на то, что это условие (как и нормировочное условие ее* = — 1) не нарушается преобразованием (4.4) ) Выражение (4.3) не имеет вполне релятивистски-ковариантного (4-векторного) вида, что связано с неинвариантным характером принятой нами нормировки на конечный объем М = 1.

Это, однако, не имеет принципиального значения и вполне компенсируется удобствами такого способа нормировки. Мы увидим в дальнейшем, что им обеспечивается простое и автоматическое получение реальных физических величин в должной инвариантной форме. кхлиБРОВОчнля инвлеиАН Гность в силу того, что й = О. С другой стороны, равенство нулю ква- 2 дратв 4-импульса частицы означает равенство нулю ее массы. Тем самым выявляется связь между калибровочной инвариантностью и равенством нулю массы фотона (другис аспекты этой связи будут указаны в з 14).

Никакие измеримые физические величины не должны меняться при калибровочном преобразовании волновых функций фотонов, участвующих в процессе. Это требование калибровочной инвариантпостп играет в квантовой электродипамике даже болыпую роль, чем в классической теории. Мы увидим на многочисленных примерах, что оно является здесь, наряду с требованием релятивистской инвариантности, мощным эвристическим принципом.

В свою очередь калибровочная инвариантность теории тесно связана с законом сохранения электрического заряда; мы остановимся на этим ее аспекте в З 43. Мы упоминали уже в предыдущем параграфе, что координатная волновая функция фотона не может быть истолкована как амплитуда вероятности его пространственной локализации. В математическом аспекте это обстоятельство проявляется в невозможности составить с помощью волновой функции величину, которая уже хотя бы по своим формальным свойствам могла играть роль плотности вероятности.

Такая величина должна была бы выражаться существенно положительной билинейной комбинацией из волновой функции Ал и ее комплексно-сопряженной. Кроме того, она должна была бы удовлетворять определенным требованиям релятивистской ковариантности представлять собой временную компоненту 4-вектора (дело в том, что уравнение непрерывности, выражающее сохранение числа частиц, записывается в четырехмерном виде как равенство нулю дивергенции 4-вектора тока; временнбй компонентой последнего и является в данном случае плотность вероятности локализации частицы, .см. 11, з 29).

С друтой стороны, в силу требования калибровочной инвариантности 4-вектор Ал мог бы входить в ток лишь в виде антисиыметричного тензора Е„, = длА, — д,Ал —— = — г(й„А„— й,Ал). Таким образом, 4-вектор тока должен был бы составляться билинейно из Р„, и Р*, (и компонент 4-вектора йи). Но такой 4-вектор вообще невозможно составить: всякое выражение, удовлетворяющее поставленным условиям (например, й" Е*„Г~~), обращается в нуль в силу условия поперсчности (к Е„л = 0), не говоря уже о том, что оно не было бы существен.л но положительным (так как содержит нечетные степени компонент Йр).

й 5. Электромагнитное поле в квантовой теории Описание поля как совокупности фотонов есть единственное описание, вполне адекватное физическому смыслу электромагнитного поля в квантовой теории. Оно заменяет классическое описание с помощью напряженностей поля. Последние выступают в математическом аппарате фотонной картины как операторы вторичного квантования. Как известно, свойства квантовой системы приближаются к классическим в тех случаях, когда велики квантовые числа, определяющие стационарные состояния системы. Для свободного электромагнитного поля (в заданном объеме) это означает, что должны быть велики квантовые числа осцилляторов, т. е. числа фотонов Лк .

В этом смысле глубокое значение имеет то обстоятельство, что фотоны подчиняются статистике Бозе. В математическом формализме теории связь статистики Бозе со свойствами классического поля проявляется в правилах коммутации операторов ск„, с„. При больших ХкФ, когда велики матричные элементы этих операторов, можно пренебречь единицей в правой стороне перестановочного соотношения (2.16), в результате чего полз чится т. е, эти операторы перейдут в коммутирующие друг с друтом классические величины ск,„с~о, определяющие классические напряженности пОля. Условие квазиклассичности поля требует, однако, еще уточнения. Дело в том, что если велики все числа дГК, то при суммировании по всем состояниям 1го энергия поля во всяком случае окажется бесконечной, так что условие становится беспредметным.

Физически осмысленная постановка вопроса об условиях квазиклассичности основана на рассмотрении значений поля, усредненных по некоторому неболыпому промежутку времени Ы. Если представить классическое электрическое поле Е (или магнитное поле Н) в виде разложения в интеграл Фурье по времени, то при усреднении его по промежу.тку времени Ь1 заметный вклад в среднее значение Е дадут только те из компонент Фурье, частоты которых удовлетворяют условию ьпЫ, ~ 1; в противном случае осциллирующий множитель е пм при усреднении почти обратится в нуль. Поэтому при выяснении условия квазиклассичности усредненного поля надо рассматривать лишь те из квантовых осцилляторов, частоты которых Гн ~ 1/Ь1.