В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика, страница 4

Поэтому мы можем сразу написать для уровней энергии поля Е= ~~ (АГ~, + — )сн, с2.12) где АГИ целые числа. К обсуждению этой формулы мы вернемся в следующем параграфе, а сейчас выпишем матричные элементы величин Як„, Таким образом, функция Гамильтона распадается на сумму независимых членов, каждый из которых содержит только по одной паре величин Яи, Ри .

Каждый такой член соответствует бегущей волне с определенными волновым вектором и поляризацией, причем имеет вид функции Гамильтона одномерного гармонического осциллятора. Поэтому о полученном разложении говорят как о разложении поля на осцилллторье Перейдем теперь к квантованию свободного электромагнитного поля. Изложенный способ классического описания поля делает очевидным путь перехода к квантовой теории. Мы должны рассматривать теперь канонические переменные —.обобщенные координаты Як н обобщенные импульсы Ре — как операторы с правилом коммутации 22 ФО'ГОН что можно сделать непосредственно с помощью известных формул для матричных элементов координат осциллятора (см.

П1, 2 23). Отличные от нуля матричные элементы равны (А»ь ~Як ~Хк — 1) = (Хк — 1~Як ~Х~, ) = — ". (2.13) Матричные элементы величин Ри„= Як„отличаются от матричных элементов Щ, лишь множителем ~го!. В дальнейших вычислениях, однако, будет удобнее пользоваться вместо величин Як, Рь„их линейными комбинациями ь»ф, ~ »Рь ., которые имеют матричные элементы только для переходов Хь — » А»к„~ 1. Соответственно этому вводим операторы с», = (ь»ф, + гРк ), си = (ь»©, — »Р», ) (2.14) (классические величины скО, с~ совпадают с точностью до множителя ~„»Г2»Г,»ь» с коэффициентами акь, а~ в разложении (2.4)) Матричные элементы этих операторов равны (Хк — 1~си ~7»7~ ) = (ЛГь ~с!", ~7»7к — 1) = Ь»ГУ~ .

(215) Правило коммутации между сип и с„получается с помощью определения (2.14) и правила (2.9): ск с„ — с ск — 1. (2.16) Для векторного потенциала мы возвращаемся к разложению вида (2.4), в котором,. однако, коэффициенты являются теперь операторами. Напишем его в виде А = ~(ск А», + с„» А!, ), (2.17) ка где е"! »КГ (2.18) ~» 2м Мы ввели обозначение е»ь! для единичных векторов, указывающих направление поляризации осцилляторов; векторы е(О) перпендикулярны волновому вектору 1с, причем для каждого 1с имеются две независимые поляризации. Аналогично для операторов Е и Й напишем Е = ~» (с», Е», +си»„Ек„)! Й =~» (с!, Н», +сиь„Нк„), (2.19) !»О ка причем Е!, = иыАкО» Нкь = (пЕк!») (и = 1с!»ь»).

(2.20) КВАНТОВАНИЕ СВОВОЛНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 23 (2.22) этого оператора Р ='>'й(Л„. +-') . (2.25) Представление операторов, осуществляемое матричными элементами (2.15), есть «представление чисел заполнения», оно отвечает описанию состояния системы (поля) путем задания квантовых чисел Х~, ( 7пш7п заполнения). В этом представлении операторы поля (2.19) (а с ними и гамильтопиан (2.1Ц) действуют на волновую функцию системы, выражеяную в функции Векторы Аь взаимно ортогональны в том смысле, что з Аа А,*, Г1зх = — б бье' (2.21) Действительно, если А»а и А,*...

различаются волновыми векторами, то их произведение содержит множитель е'(7« 7Г ~Г, дающий нуль при интегрировании по объему; если же они различаются О лишь поляризациями, то е7а)е7а ' = О, так как два независимых направления поляризации взаимно ортогональны. Аналогичные соотношения справедливы для векторов Ека, Нь . Их нормировку удобно записать в виде — (ЕИ„Е7,, + Н~,ВН~...)дат = а75»ь да 4Я а а Подставив операторы (2.19) в (2.10) и произведя интегрирование с помощью (2.22), получим гамильтониап поля, выраженный через операторы с, с~'; Й = 㻠— а7(с~, с+„+ са са ).

(2.23) ~-~ 2 Иа Этот оператор в рассматриваемом представлении (матричные элементы операторов с, сь нз (2.15)) диагонален, и его собственные значения совпадают, конечно, с (2.12). В классической теории импульс поля определяется как инте~17 ал. Р— — (ЕН|д л. 4Я,/ При переходе к квантовой теории заменяем Е и Н операторами (2.19) и без труда находим Р = ~ — (Р~~ + а7~®, )п (2.24) йа — в соответствии с известным классическим соотношением между энергией и импульсом плоских волн. Собственные значения чисел АГь„; обозначим ее Ф(Х~,Ф,1). Операторы поля 12.19) не зависят явно от времени. Это соответствует обычному в нсрелятивистской квантовой механике шредингеровскому представлению операторов.

Зависящим же от времени является при этом состояние системы Ф(Я~,Ф,1), причем эта зависимость определяется уравнением Шредингера ! — = ЙФ. (!! Такое описание поля по существу релятивистски инвариантно, поскольку оно базируется на инвариантных уравнениях Максвелла. Но эта инвариантность не выявлена явно. — прежде всего потому, что пространственные координаты и время входят в описание крайне несимметричным образом.

В релятивистской теории целесообразно придать описанию внешне более инвариантный вид. Для этой цели надо воспользоваться так называемым гейзенберговским представлением, в котором явная временная зависимость перенесена на сами операторы (сы. 1П, 3 13). Тогда время и координаты будут равноправным образом входить в выражения для операторов поля, а состояние системы Ф будет функцией только от чисел заполнения. Для оператора А переход к гейзенберговскому представлению сводится к замене в каждом члене суммы в (2.17), (2.18) МНОжИтЕЛя Е((5Г На Е(("Г м(1, т. Е. К тОМу, ЧтО6Ы ПОд Аь„ПОНИ- мать зависящие от времени функции ( ! А(, = ъ'455 — е Ц ' ~'~. (2.26) 5((2Ы В этом легко убедиться, заметив, что матричный элемент гейзенберговского оператора для перехода 5, -5 1 должен содержать множитель ехр1 — 5(Е! — Е7)1), где Е, и Е7 энергии начального и конечного состояний (см.

П1, 3 13). Для перехода с умсныпением или увеличением А!ь на 1 этот множитель сводится соответственно к е '"'' или е'"!. Это требование будет соблюдено в результате указанной замены. В дальнейшем 1при рассмотрении как электромагнитного поля! так и полей частиц) мы всегда будем подразумевать гейзенберговское представление операторов. я 3. Фотоны Обратимся к обсуждению полученных формул квантования по'!5!, Прежде всего, формула (2.12) для энергии поля обнаруживает следующую трудность. Наиболее низкому уровню энергии 25 оотоны поля соответствует равенство нулю квантовых чисел Хк всех осцилляторов (это состояние называют состоянием вакуума электромагнитного полл).

Но даже, в этом состоянии каждый осциллятор обладает отличной от нуля енулевой энергией» оз/2. При суммировании же по всему бесконечному числу осцилляторов мы получим бесконечный резулыат. Таким образом, мы сталкиваемся с одной из «расходимостей», к которым приводит отсутствие полной логической замкнутости существующей теории.

Пока речь идет лишь о собственных значениях энергии поля, можно устранить эту трудность простым вычеркиванием энергии нулевых колебаний, т. е. написав для энергии и импульса поля ') Эти формулы позволяют ввести основное для всей квантовой электродинамики понятие о световьт кванпиьш, или фотонигг ') . Именно, мы можем рассматривать свободное электромагнитное поле как совокупность частиц, каждая из которых имеет энергию оз(= йпз) и импульс 1с(= пгюз/с). Соотношение между энергией и импульсом фотона — такое., каким оно должно быть в релятивистской механике для частиц с равной нулю массой покоя, движущихся со скоростью света. Числа заполнения Юк„ приобретают смысл чисел фотонов с данными импульсами 1с и поляризациями е1о).

Свойство |юляризации фотона аналогично понятию спина у других частиц (специфические особенности фотона в этом отношении будут рассмотрены ниже, в 9 6). Легко видеть, что развитый в предыдущем параграфе лиатематический формализм находится в полном соответствии с представлением об электромагнитном поле как о совокупности фотонов; это есть не что иное,как аппарат так называемого вторичного квантования в применении к системе фотонов »).

В этом методе (см. 1П, 9 64) роль независимых переменных играют числа заполнения состояний, а операторы действуют на функции этих чисел. При этом основнуго роль играют операторы «уни- ) Это вычеркивание можно произвести формально не противоречивым образом, условившись понимать произведения операторов в (2.10) как чнормальные», т. е, такие, в которых операторы с располагаются всегда левее операторов с. Формула (2.23) примет тогда вид Й=~~ (шсь сь ). ь ') Представление о фотонах было впервые введено Эйншгиейном (А.

Ешзгегп, 1905). з ) Метод вторичного квантования в применении к теории излучения был развит Дираком (Р. А. М. Рьгас, 1927). 26 гл. ! ФО'гон чтожепия» и «рождения» частиц, соответственно уменьшающие или увеличивающие иа единицу чишга заполнения.

Именно такими операторами и являются с»о, с„: оператор с»о уни !тожает фотон в состоянии 1«гт, а с„- рождает фотон в этом состоянии. Правило коммутации (2.16) соответствует случаю частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Таким образом, фотоны являются бозонами, как этого и следовало ожидать заранее: допустимое число фотонов в любом состоянии может быть произвольным (мы вернемся еще в 8 5 к роли этого обстоятельства). Плоские волны А~,„(2.26), фигурирующие в операторе А (2.17) в качестве коэффициентов перед операторами уничтожения фотонов, можно трактовать как волновые функции фотонов, обладающих определенными импульсами )с и поляризациями е!о).