В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика, страница 3

Латтдау, Л. РеветЬ, 1930). В т. 111, ~ 44 было получено соотношение (и' — тт)тлртаг - 6, (1.1) связывающее неопределенность тдр измерения импульса электрона с продолжительностью тдг самого процесса измерения; и и и' скорости электрона до и после измерения. Из этого соотношения следует, что добиться достаточно точного измерения импульса в течение достаточно короткого времени (т. е, малого тдр при малом Ы) можно лишь ценой достаточно большого изменения скорости в резулыате самого процесса измерения.

В нерелятивистской теории это обстоятельство есть проявление неповторимости измерения импульса через короткие промежутки времени,но ни в коей мере не затрагивает принципиальной возможности сколь угодно точного однократного измерения импульса, поскольку разнос> ь г' — и может быть сделана сколь угодно большой. Наличие же предельной скорости меняет положение вепщй коренным образом.

Разность г' — г, как и самые скорости, не может теперь превышать с (точнее, 2с). Заменив в (1.1) о' — и на с, мы получим соотношение т1ртдг й/с, определяющее наилучшую принципиально достижимую точность измерения илтпульса при данной продолжительности измерения Ы. Таким образом, в релятивистской теории оказывается принципиально невозможным сколь угодно точное и быстрое измерение импульса. Точное измерение импульса (Ьр — > О) возможно .лишь в пределе бесконечно болыпой продолжительности измерения. Есть основания считать, что претерпевает изменения также и вопрос об измеримости координаты электрона самой по себе.

В 17 СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННООГИ математическом формализме теории это проявляется в несовместимости точного измерения координаты с утверждением о положительности энергии свободной частицы. Мы увидим в дальнейгпем, что полная система собственных функций релятивистского волнового уравнения свободной частицы включает в себя (наряду с решениями с «правильной» зависимостью от времени) также решения с «отрицательной частотой». Эти функции войдут, в общем случае, и в разложение волнового пакета, отвечающего электрону, локализованному в небольшом участке пространства. Волновые функпии «отрицательной частоты» связаны, как будет показано, с существованием античастиц — позитронов. Появление этих функций в разложении волнового пакета выражает собой неизбежное в общем случае образование электронпозитронных пар в процессе измерения координат электрона.

Неконтролируемое самим процессом возникновение новых частиц лишает смьнла измерения коор„1инат электрона. В системе покоя электрона минимальная погрешность измерения его координат схс7 6/тс. (1.3) Этому значению (единственно допустимому уже из соображений размерности) отвечает неопределенность импульса Ьр ьчс, которая, в оно~о очередь, соответствует минимальной пороговой энергии образования пары. В системе отсчета, в которой электрон движется с энергией е, вместо (1.3) имеем (1А) Ьд - с6/е.

В частности, в предельном ультрарелятивистском случае энер- гия связана с импульсом соотношением е — ср, и тогда (1.5) т. е, погрешность ЬР7 совпадает с дебройлевской длиной волны частицы ') . Для фотонов всегда имеет место ультрарелятивистский случай, так что справедливо выражение (1.5). Это значит, что о координатах фотона имеет смысл говорить только в тех случаях, когда характерные размеры велики по сравнению с длиной волны.

Но это есть не что иное, как «классический» предельный случай, соответствующий геометрической оптике, в которой ') Речь идет об измерениях, для которых из любого результата опыта можно сделать заключение о состоянии электрона, т. е. мы отвлекаемся от измерений координат с помощью столкновений, когда за время наблюдения результат осуществляется не с вероятностью 1. Хотя из факта Отклонения частицы в таком случае »южно сделать заключение о местоположении электрона, из отсутствия отклонения вообще нельзя сделать никаких выводов. 18 ВВВДВПИВ мОжнО говорит! О распространении СВета Вдоль Определенных траекторий лучей.

В квантовом же случае, когда длина волны не может рассматриваться как малая, понятие координат фотона становится беспредметным. Ыы увидим в дальнейшем (см. 8 4), что в математическом формализме теории неизмеримость координат фотона проявляется уже в невозможности составить из его волновой функции величину, .которая могла бы играть роль плотности вероятности, удовлетворяющей необходимым требованиям релятивистской ннвариантности. На основании всего сказанного естественно думать, что будущая теория вообще откажется от рассмотрения временного хода процессов взаимодействия частиц. Она покажет, что в этих процессах не существует точно определяемых характеристик (даже в пределах обычной квантовомеханической точности), так что описание процесса во времени окажется столь же иллюзорным, какими Окйзйлись к.11ассичсскис траскто11ии В нс1к'.Лятивистской квантовой механике.

Единственными наблюдаемыми величинами будут являться характеристики (импульсы, поляризации) свободных частиц — начальных частиц, вступающих во взаимодействие, и конечных частиц, возникших в результате процесса (Л. Д. Ландау, Л. РС1сг1В, 1930). Характерная постановка вопроса в рел5пивистской квантовой теории состоит в определении амплитуд вероятности переходов, связывающих заданные начальные и конечные (т. е. при 1 — > ~оо) состояния системы частиц. Совокупность амплитуд переходов между всеми возможными состояниями составляет матрицу рассеяния, или Я-матрицу. Эта матрица будет носителем всей информации о процессах взаимодействия частиц, имеющей наблюдаемый физический смыс1 ( 1т'.

НС1ве11ае1у, 1938). В настоящее время полной, логически замкнутой релятивистской квантовой теории еще нет. Ыы увидим, что существующая теория вносит новые физические аспекты в характер описания состояния частиц, приобретающего некоторые черты теории поля (см. з 10). Опа строится, однако, в значительной мере по образцу и с помощью понятий обычной квантовой механики.

Такое построение теории привело к успеху в области квантовой электродинамики. Отсутствие полной логической замкнутости в этой тс".ории проявляется в существовании расходящихся выражений при прямом применении ее математического аппарата, но для устранения этих расходимостей существуют вполне однозначные способы. Тем не менее эти способы в значительной степени сохраняют характер полуэмпирических рецептов, и наша уверенность в правильности получающихся таким путем результатов основана в конечном счете на их прекрасном согласии с опытом, а не на внутренней согласованности и логической стройности основных принципов теории.

ГЛАВА 1 ЕОтОН й 2. Квантование свободного электромагнитного поля Поставив своей целью рассмотреть электромагнитное поле как квантовый объект, удобно исходить из такого классического описания поля, в котором оно характеризуется хотя и бесконечным, но дискретным рядом переменных; такое описание позволит непосредственно применить обычный аппарат квантовой механики. Представление же поля с помощью потенциалов, задаваемых в каждой точке пространства, есть по существу описание с помогцью непрерывного множества переменных. Пусть А(г, 1) — векторный потенциал свободного электромагнитного поля, удовлетворякпций «условию поперечностиа «11уА = О. (2.1) При этом скалярный потенциал Ф = О, а поля Е и Н: Е= — А, Н=гоФА. (2.2) Уравнения Максвелла сводятся к волновому уравнению для А: (2.3) Как известно (см. П, ~ 52), в классической электродинамике переход к описанию с помощью дискретного ряда переменных осуществляется путем рассмотрения поля в некотором болыпом, но конечном обьеме пространства Г ') .

Напомним, как это делается, опустив детали вычислений. Поле в конечном об"ьеме может быть разложено на бегущие плоские волны, так что его потенциал изобразится рядом вида А = ~(аке'~" + а>,е '~"), (2.4) где коэффициенты ак зависят от времени по закону а1, е ™, о> = ~1«~. (2.5) В силу условия (2.1) комплексные векторы аи ортогональны соответствующим волновым векторам: ак1« = О. ) Во избежании загромождения формул лишними множителями будем полагать р = 1, 20 ФО'ГОН ГЛ. 1 1 д 6К = — (а~, + а~',), (2.6) Р1, = — ™ (а~, — а1,) = Я~, у'4л (они., очевидно, вещественны). Векторный потенциал выражает- ся через канонические переменные согласно А = х'4я ~ (Я~,сов 1сг — — Ря ейп1сг) .

1 Для нахождения функции Гамильтона Н надо вычислить полную энергию поля — (Е + Н )й~л, 8х Г выразив ег через величины Як, Рь. Представив А в виде разло- жения (2.7), вычислив Е и Н согласно (2.2) и произведя инте- грирование,получим Н = — ~1 (Р~~+и~®. 1с Каждый из векторов Рк и Як перпендикулярен волновому вектору 1с, т. е. имеет по две независимые компоненты.

Направ- ление этих векторов определяет направление поляризации соот- ветствующей волны. Обозначив две компоненты векторов С~к, Рй (в плоскости, перпендикулярной 1с) посредством Я~,, Р~, (ГГ = 1, 2), перепишем функцию Гамильтона в виде Н=У"-М+ Яа',) (2.8) ьа (2.7) Суммирование в (2.4) производится по бесконечному дискретному набору значений волнового вектора (его трех компонент Й,, Йю Й,). Переход к интегрированию по непрерывному распределению можно произвести с помощью выражения д~й/(2я) для числа возможных значений 1с, приходящихся на элемент обьема и-пространства Г1814 = ЙК ЙК ЙИ,.

Заданием векторов аь полностью определяется поле в данном объеме. Таким образом, эти величины можно рассматривать как дискретный набор классических Фпеременных полям Для выяснения способа перехода к квантовой теории, однако, следует произвести еще некоторое преобразование этих переменных, в результате которого уравнения поля приобретают вид, аналогичный каноническим уравнениям (уравнениям Гамильтона) классической механики. Канонические переменные поля определяются посэе ством КВАНТОВАНИЕ СВОВОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 21 РиЯ~ — Як Рй = — г 12.9) Соператоры же с разными 1сст все коммутативны друг с другом). Вместе с ними становятся операторами 1эрмитовыми) также потенциал А и, согласно 12.2), напряженности Е и Н.

Последовательное определение гами.льтониана поля требует вычисления интеграла Й = — / 1Е~ + Н ) с7'~ л, 8я с 12.10) в котором Е и Й выражены через операторы РЕП, Г1к . ГРактически, однако, нскоммутативность последних прн этом не проявляется, так как произведения О» Рь входят с множителем сов 1сг 81п1сг, .обращающимся в нуль при интегрировании по всему обьему. Поэтому в результате для самильтониана по.сучается выражение 12.11) в точности соответствующее классической функции Гамильтона, что и естественно было ожидать. Определение собственных значений этого гамильтониана не требует особых вычислений, так как сводится к известной задаче об уровнях энергии линейных осцилляторов Ссеь П1, 8 23).