В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика, страница 10

е. спиральности, при этом одинаковы). ) Друтой способ вывода этих результатов — см, задачу 1 к 1 69. ГЛАВА И в озоны й 10. Волновое уравнение для частиц со спином О В гл. 1 было показано, каким образом можно построить квантовое описание свободного электромагнитного поля, отправляясь при этом от известных свойств поля в классическом пределе и опираясь на представления обычной квантовой механики. Полученная таким образом схема описания поля как системы фотонов несет в себе многие черты, которые переносятся и на релятивистское описание частиц в квантовой теории.

Электромагнитное поле представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы. Для нее не существует закона сохранения числа частиц (фотонов), и в ряду его возможных состояний имеются состояния с произвольным числом частиц ') . Но таким же свойством должны, вообще говоря, обладать в релятивистской теории также и системы любых частиц. Сохранение числа частиц в нерелятивистской теории связано с законом сохранения массы: сумма масс (масс покоя) частиц не меняется при их взаимодействии; сохранение жс суммы масс, скажем, в системе электронов означает неизменность также и их числа. В релятивистской же механике закона сохранения массы не существует; должна сохраняться лишь полная энергия системы (включающая в себя также и энергии покоя частиц).

Поэтому число частиц уже не должно сохраняться и тем самым всякая релятивистская теория частиц должна быть теорией систем с бесконечным числом степеней свободы. Другими словами, такая теория частиц приобретает характер теории поля. Адекватным математическим ашзаратом для описания систем с переменным числом частиц является аппарат вторичного квантования (см. П1, з 64, 65). В квантовом описании электромагнитного поля в роли оператора вторичного квантования выступает 4-потенциал А. Он выражается через (координатные) волновые функции отдельных частиц (фотонов) и операторы их рождения и уничтожения.

Аналогичную роль в описании системы частиц играет оператор квантованной волновой функции. Для его построения надо прежде всего знать вид волновой функции ) Фактически, разумеется, число фотонов меняется виспа в результате различных процессов взаимодействия, 51 1 го ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ О одной свободной частицы и уравнения, которому эта функция подчиняется. Следует подчеркнуть вспомогательный характер понятия поля свободных частиц. Реальные частицы взаимодействуют, и задача теории состоит в изучении этих взаимодействий.

Но всякое взаимодействие сводится к столкновению, до и посте которого систему можно рассматривать как совокупность свободных частиц. В ~ 1 отмечалось, что это единственно измеримые обьекты. Поэтому мы пользуемся полями свободных частиц как средством описания начальных и конечных состояний. В4ы начнем релятивистское описание свободных частиц со случая частиц со спином О. Математическая простота этого случая позволит наиболее ясно выявить основные идеи и характерные черты такого описаггия. Состояние свободной частицы (без спина) может быть полностью определено заданием одного лишь ее импульса р. При этом энергия е частицы ') е = р + ш (где т " - масса частицы), или в четырехмерном виде; (10.1) р =т.

Как известно, законы сохранения иьшульса и энергии связаны с однородностью пространства и времени,т. е. с симметрией по отношению к любому параллельному смещению 4-системы координат. В квантовом описании требование этой симметрии означает, что волновая функция частицы с определенным 4-импульсом при указанном преобразовании 4-координат может только умножаться на фазовый множитель (с равным единице модулем). Этому требованию удовлетворяет лишь экспоненциальная функция с линейным по 4-координатам показателеаь Другими словами, волновая функция состояния свободной частицы с определенным 4-импульсом р" = (а, р) должна быть плоской волной: сопэ$ е "", ри = е1 — рг (10.2) (выбор знака в показателе в релятивистской теории сам по себе условен: он сделан в соответствии с нерелятивистским случаем). Волновое уравнение должно иметь функции (10.2) в качестве частных решений при произвольном 4-векторе р, удовлетворяющем условию (10.1).

Оно должно быть линейным как выражение принципа суперпозиции:любая линейная комбинация функций (10.2) тоже описывает возможное состояние частицы и потому тоже должна быть решением. Наконец, оно должно быть по возможности более низкого порядка; более высокий порядок внес бы лишние решения. ') Обозначим энергию отдельной частицы е н отличие от энергии Е систе- мы частиц. 52 возоны гл. и Спин есть момент частицы в системе отсчета, в которой она покоится. Если спин частицы есть з, то ее волновая функция в системе покоя является трехмерным спинороги ранга 2з. Для описаяия же частицы в произвольной системе отсчета ее волновая функция должна быть выражена в виде четырехмерных величин. Частица со спином 0 описывается в системе покоя трехмерным скаляром.

Такой скаляр, однако, может иметь различное четырехмерное «происхождениеь: зто может быть четырехмерный скаляр у), но может быть и четвертая компонента 4-вектора ч)л (времениподобного), у которого в системе покоя отлична от нуля лишь составляющая ууе ') . Для свободной частицы единственный оператор, который может войти в волновое уравнение,-. зто оператор 4-импульса р.

Его компонентами являются операторы дифференцирования по координатам и времени: р" = гди = (г —, — г зу) . (10.3) ~ д1 Волновое уравнение должно представлять собой дифференциальную связь между величинами уу и уую осуществляемую с помощью оператора р. Эта связь должна, разумеется, выражаться релятивистски инвариантными соотношениями. Таковыми являются тт)т,„= риз)з, риз)тл = пир., (10.4) где гп размерная постоянная, характеризующая частицу ') . Подставив 1лл из первого уравнения во второе, получим (р — гп~)0 = 0 (10.5) (О.

К1егп, В. А. Фон, 1926; И'. Согт)оп, 1927). В раскрытом виде зто уравнение записывается как -д,„д Р= (- — '+~) ~ =т'~. (10.6) Подставив в него у) в виде плоской волны (10.2), получим рв = = из~, откуда видно, что т, --. масса частицы. Отметим, что вид уравнения (10.5), конечно, заранее ясен из того, что р ---единственный скалярный оператор, который можно составить с помощью р (по втой причине такому же уравнешлю удовлетворяет ') Либо, аналогичным образом, временная компонента 4-тепзора болео высокого ранга; этот случай, однако, привел бы к уравнениям более высокого порядка.

е) Постоянные пз введены в (10.4) так, что ф„и ф имеют одинаковую размернОсть. Вводить в этих двух уравнениях различные поетоянные ги1 и тз было бы бессмысленно, так как их всегда можно было бы сделать одинаковыми путем переопределения 0~ или й„. 53 14а ВОлнОВОе уеавнениь для частиц сО спинОм О каждая из компояент волновой функции частицы с любым спином это мы неоднократно увидим в дальнейшем). Таким образом, частица со спином 0 описывается по суще- СтВУ ВСЕГО ОДНИМ (ЧстЫРЕХМЕРНЫК4) СКаЛЯРОМ гб ПОДЧИНЯКПЦИМСЯ уравнению второго порядка (10.5). В уравнениях же первого порядка (10.4) роль волновой функции играет совокупность величин ф и фю причем 4-вектор фв сводится к 4-градиенту скаляра гр. В системе покоя волновая функция частицы не зависит от координат (пространственных) и поэтому пространственные компоненты 4-вектора г)р обращаются, как и должно быть, в нуль.

Для проведения вторичного квантования полезно выразить энергию и импульс частицы в виде интегралов по пространству от некоторых билинейных (по гр и гр*) комбинаций, представляющих собой как бы пространственную плотность этих величин. Другими словами, надо найти тензор энергии-импульса Т „, соответствующий уравнению (10.5). С помощью этого тензора закон сохранения энергии и импульса выражается уравнением алТН = 0. (10.7) Согласно общим правилам теории поля (см. 11, 3 32), напишем вариационный принцип, следствием которого являлось бы уравнение (10.5).

Такой принцип должен заклгочаться в требовании минимальности «интеграла действияя ~4, (10.8) от некоторого вещественного 4-скаляра Т плотности лагранжевой функции поля ') . С ггомогцью скаляра »Д (и оператора д") можно составить вещественное билинейное скалярное выражение вида Т, = дД~'" диф — т гр'"гр, (10.9) где т размерная постоянная.

Рассматривая гр и гр* как независимые переменные, описывающие поле («обобще|гные координаты» поля д), легко видеть, что уравнения Лагранжа д дЬ дь (10.10) дх~ до,е дэ (д,» эз др9) действительно совпадают с УРавнениЯми (10.5) длЯ гр и ф', причем гп .- масса частицы. Отметим также, что выражение (10.9) написано с таким обгцим знаком, чтобы квадрат ) Соответствующий вторично квантованвый ОпЕратор Х называют лагранлсианом поля. Для упрОщения тсрмипологии будем пользоватьСя этим термином как для «квантованной»,так и для «неквантованной» плотности лагранжевой функции.