Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика

В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика, страница 62

DJVU-файл В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика, страница 62 Физика (2685): Книга - 4 семестрВ.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика: Физика - DJVU, страница 62 (2685) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - Квантовая электродинамика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 62 - страница

Пусть Ф„собственные функции невозмущенного гамильтониана; каждая из них отвечает некоторым определенным значениям всех чисел заполнения. Произвольная функция Ф представляется в виде разложения Ф = 2,' С„Ф„. Тогда точное волновое уравнение ! — = (Нв+ Р')Ф д! (724) представится в виде системы уравнений для коэффициентов С„: гС„= ~ 1'„~ ехр(г(Ев — Е„,)11 Сон (72.2) где Ъ~ — не зависящие от времени матричные элементы оператора в', а Ев уровни энергии невозмущенной системы (ср. П1, э 40).

По определению оператор г" не зависит явно от времени. Величины же Ув,вЯ = Ь„в, ехр(!(Ев — Ев,)!) (72.3) 322 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Гл. Ус!! Ф(17) = П ехр( — сй Р(1 )) Ф(бс), с (72.6) где знак П означает предел произведения по всем бесконечно малым интервалам Й„между 1; и 17. Ешси бы И(1) было обычной функцией, то этот предел сводился бы просто к сс ехр — с И(1) с(с с, Ио такое сведение основано на коммутативности множителей (взятых в различные моменты времени), подразуалевающейся при переходе от произведешля в (72.6) к суммированию в экспоненте.

Для оператора 1' (с) такой коммутативности нет, и сведение к обычному интегралу невозесо>кно. с ) Подчеркнем, что в определении (72.4) фигурирует невозмущенный гамильтониасс Йв. Этим оно отличается от гсйзсссбсргввсквгв представления операторов,в котором 12 (С) = ехр(сйС)рэехр( — сйС) (см. П1, ч 13 и ниже, З 102). можно рассматривать как матричные элементы зависящего от времени оператора Р(1) = ехр(сйв1)'у'ехр( — сйоб).

(72.4) О нем говорят как об операторе в предстпавлении взассмодейстнил (в отличие от исходного не зависящего от времени спредингеровского оператора (Г ') ). Обозначив теперь прежней буквой Ф волновую функцию в этом новом представлении, запишем уравнения (72.2) в символическом виде сФ = сг(1)Ф. (72.5) Изменение волновой функции в этом представлении связано лишь с действием возмущения, т. е. отвечает процессам, происходящим благодаря взаимодействию частиц.

Если Ф(1) и Ф(1+ Й) значения Ф в два бесконечно близких момента времени, то в силу (72.5) они связаны друг с другом посредством Ф(1+ Й) = (1 — сйу'(1)1Ф(1) = ехр( — сй уг(1))Ф(1). Соответственно значение Ф в произвольный момент 17 может быть выражено через значение в некоторый начальный момент 1, (11 > бс) как 323 1 72 ХРОНОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ Напишем (72.6) в символическом виде 17 Ф(11) = Т ехр — г Ъ'(1)с11 Ф(1,), (72.7) где Т символ лронологизации, означающий определенную («хронологическуюа) последовательность моментов времени в последовательных множителях произведения (72.6).

В частности, положив 7,, — > — со, 17 — + +ос, получим Ф(+ос) = УФ( — оо), (72.8) де Я = Т ехр — г И(1) о)1 (72.9) Ч е (ХА)с)Зт (72.11) Подставив его в (72.9), получим Я = Тсхр — ге (7А) с1~х (72.12) ) Вывод правил релятивистской теории возмущений с поыоп1ью разложения (72.10) принадлежит Дайсову (Г. )Заузоп, 1949). Смысл записи (72.7) (72.9) формально точного решения волнового уравнения состоит в том, что такая запись позволяет легко написать ряд, представляющий собой разложение по степеням возмущения: со со оо о=с'~" ,) 'ь)о, ..)о„.т1ко)кос ..РВИ1. П21П) в=о Здесь в каждом члене а-я степень интеграла написана в виде )с-кратного интеграла, а символ Т означает, что в каждой области значений переменных 11, 12, ..., 7ь надо располагать соответствующие операторы в хронологическом порядке справа налево в порядке возрастающих значений 1 ') . Из определения (72.8) ясно, что если до столкновения система была в состоянии Ф, (некоторая совокупность свободных частиц), то амплитуда вероятности ее перехода в состояние Фу (другая совокупность свободных частиц) есть матричный элемент 57,.

Другими словами, .эти элементы и составляют Я-матрицу. Оператор электромагнитного взаимодействия был написан уже в 3 43: 324 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ гл. у'1!! Существенно, что оператор (72.12) релятивистски ицвариаптен. Это видно из скалярности подынтегрального выражения, инвариантного характера интегрирования по с5 х и инвариантного характера операции хронологизации. Последнее обстоятельство требует, однако, разъяснения. Как известно, последовательность двух моментов времени ~5 и 42 (знак разности бз — 1~) не зависит от выбора системы отсчета, если эти моменты относятся к мировым точкам хс и х2, разделенным времениподобным интервалом: (х2 — хс) ) О.

В таком слу- 2 чае инвариантность хронологизации автоматична. Если же (х2— — хс)2 ( 0 (пространс5твенноподобный интервал), то в разных системах отсчета может быть как 42 ) сы так и 22 < 15 ') . Но такие две точки отвечают событиям, между которыми не может существовать причинной связи. Очевидно поэтому, что не люгут быть некоммутативными операторы двух физических величин, относящихся к таким точкам; некоммутативность операторов физически означает совместную неизмеримость данных величин, что предполагает наличие физической связи между обоими измерениями.

Следовательно, хронологичность произведения останется инвариантной и в этом случае; хотя преобразование Лоренца может нарушить последовательность моментов времени, но ввиду коммутативпости множителей их можно переставить обратно в хронологический порядок '). Легко видеть, что данное в этом параграфе определение о'-матрицы автоматически удовлетворяет условию унитарности.

Представив О' в виде хронологического произведения, фигурирующего в (72.6), и учитывая эрмитовость )У, найдем, что У~ вы- РажаетсЯ пРоизвеДением таких же множителей ехР(вуббо 'У'(го)) ) Вместо времениподобцых н пространственноподобных интервалов часто говорят для краткости об областях соответственно внутри и вне светового г конуса: все точки т, отделенные от точки т интервалом с (т — я ) > О, находятся внутри двуполостного конуса с вершиной в точке х, а точки, отделенные интервалом с Ст — х~) < О, — вне этого конуса.

) В применении к произведению сг(с5)У ссэ)... это утверждение надо уточнить во избожацие недоразумений. Поскольку сал5 оператор 1З не обладает калибровочной инвариантностью Сон меняется вместе с 55), множители 1г(С5), 1г(СЗ), ..., коммутативные при одной калибровке потенциала, могут окаэаться покоммутативными при другой шлибровко.

Сделанные выше утверждения надо поэтому сформулировать как возможность такого выбора калибровки потенциала, при котором рС55) и г'СГэ) вне светового конуса будут коммутативны. Эта оговорка, очевидно, никак не сказывается на инвариантности Ь'-55атрицы: амплитуды рассеяния как реальные физические величины вообще не могут зависеть от калибровки потенциала сфору5ально эта независимость следует из отмеченной в з 43 калибровочной инвариан гности интеграла действия).

л тз ДИАГРАЕЛММ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАОСКЯНИ51 ЭЛЕКТРОНОВ 323 (с обратным знаком в показателе) в хронологически обратном порядке. Поэтому при перемножении О' и УР все множители попарно сокращаются. Обратим внимание на то, что унитарность оператора У обеспечивается в данном сну.чае эрмитовостью гамильтониана. Но требование унитарности имеет в действительности более общий характер, чем предпосылки, лежащие в основе излагаемой теории. Оно должно было бы выполняться и прн квантовомеханнческом описании, не использующем понятий о гамильтоннане и волновых функциях. 3 73. Диаграммы Фейнмана для рассеяния электронов Покажем на конкретных примерах, каким образом осуществляется вычисление элементов матрицы рассеяния.

Эти примеры облегчат дальнейшую формулировку общих правил инвариантной теории возмущений. Оператор тока л содержит произведение двух электронных ф-операторов. Поэтоелу в первом порядке теории возелущений могли бы возникнуть процессы, в которых участвуют всего (в начальном и конечном состояниях) три частицы — два электрона (оператор л) н один фотон (оператор А). Легко, однако, видеть, что такие процессы между свободными частицами невозможны . -они запрещены законом сохранения энергии и импульса. Если рл и рэ 4-импульсы электронов, а й фотона, то сохранение 4-импульса изображалось бы равенством й = ря — рл или й = рз + рл. Но такие равенства невозможны, так как для фотона й = О, а квадрат (рз ~ рл) заведомо отличен от нуя 2 ля.

Действительно, вычисляя значение инварианта (рз ~ рл) в системе покоя одного нз электронов, получаем (рз:трл) = 2(т ~рлрз) = 2(т ~слез ~ рлрз) = 2т(трез). Поскольку ЕР > т, го (рз + рл) > б, (ря — рл) < б. (73.1) Таким образом, первые неисчезающие (недиагональные) элементы О'-матрицы могут появиться лишь во втором порядке теории возмущений. Все относящиеся сюда процессы содержатся в операторе второго порядка, получающемся при разложении выражения (72.12)1 1 1/' фз) В О ~4,,14 1 Т( 51( ) 1 ( )У( 1)А ( 1)) Поскольку электронные и фотонные операторы коммутативны друг с другом, фигурирующее здесь Т-произведение можно 326 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЛ. У5!! разбить на два Т-произведения: фз) е ~4 ~4 5 Т( р5 ) ~( 5))Т5А ( ) 1 ( 5)) (73 2) В качестве первого примера рассмотрим упругое рассеяние двух электронов: в начальном состоянии имеем два электрона с 4-импульсами р5 и рз, а в конечном два электрона с другими 4-импульсами рэ и р«.

Подразумевается также, что все электроны находятся в определенных спиновых состояниях; индексы спиновых переменных для краткости везде опускаем. Поскольку в обоих состояниях фотоны вообще отсутствуют, нужный пам матричный элемент Т-произведения фотонных операторов есть диагональный элемент (О/... )0), где символ ) 0) обозначает состояние фотонного вакуума. Это среднее по вакууму значение Т-произведения представляет собой определенную (для каждой пары индексов рр) функпи5о координат двух точек л и т'.

При этом в силу однородности 4-пространства координаты могут входить лишь в виде разности л — х'. Тензор Рр,(л — т') = г(0~)ТА55(х)АДх')~)0) (73.3) называют фотонной функцией распространения (или фотонным пропагатором). Явное выражение для нее будет получено в 3 76. Для Т-произведения электронных операторов пам надо вычислить матричный элемент (34)Ту" (л)у~(т'))12)5 (73.4) где символы )12), )34) обозначают состояния с парами электронов с соответствующими импульсами. Этот элемент тоже может быть представлен в виде среднего по вакууму с помощью очевидного равенства (2)г')1) = (0)аг.г'а5 )0), где г" произвольный оператор, а а и а5 операторы соответственно рождения первого и уничтожения второго электрона.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее