А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Из (121,18) следует, что поляризация при упругом рассеянии возможна лишь и том случае, когда амплитуда рассеяния (121,7) содержит как слагаемое А(8), не зависящее от ориентации спина, так и слагаемое (пп)В(8), зависящее от ориентации спина. (121,! 9) ф 122*. Теория рассеяния при наличии взаимодействий двух типов, Приближение искаженных волн В ряде задач теории рассеяния и реакций потенциал взаимодействия можно разбить на два слагаемых. Так, при ядерном взаимодействии заряженных частиц. наряду с ядерным взаимодействием )'ад, надо учитывать кулоновское взаимодействие рч между сталкивающимися и разлетающимися частицами; при столкновении нуклонов со сложными ядрами энергия взаимодействия может быть представлена в виде суммы некоторого ПРИБЛИЖЕНИЕ ИСКАЖЕННЫХ ВОЛН 579 $ «м> эффективного «оптического» потенциала Уаа, определяющего упругое рассеяние и «остаточного» потенциала Уааа.
В таких случаях часто необходимо учесть раздельно влияние обеих частей потенциала. Для исследования возможности такого разделения предположим, что оператор Гамильтона можно записать в виде Н=Но+У, +У.. Согласно обшей формуле (118,11а), вероятность перехода в единицу времени из состояния Ф, в состояние Фь определяется выражением Рьа = д ! Тьа ><б (Еь — Е,), 2л где Тьа = (Фь! 1"А+ Ув! Ч'а+'). (122,1) Волновая функция Ч'<,+> соответствует падающей волне Ф и удовлетворяет интегральному уравнению Ч>а+ = Фа + (Еа Р«о+ (Ч) (УА + 1'в) Ч'"а+ ° (122,2) Введем волновую функцию «р-, описывающую сходящуюся волну при рассеянии только в поле Ув и соответствующую конечному состоянию Фь, т.
е. «р<ь-> = Ф + (Е, — Π— <») ' Ув«р<->. (122,3) Определим из этого уравнения функцию Фь и подставим в (122,1), тогда получим Т„.=(р~- !У„!Ч<+>)+(р;(У,!Ч.+>)— (<рь ! в (Еа РРО + <Ч) (Уя + 1 в)! 1 а )' Подставляя во второе слагаемое полученного уравнения значение Ч'<,+> из (122,2), находим Т,=(р~ >~У„~Ч<+>)+(<р< >~У ~Ф ). (122,4) Используя формулу (119,23), можно написать (Ч~;>~У,~Ф.)=(Ф„~У,~ р<+>)=Ть.(В), (122,3) где функция <р' ' удовлетворяет уравнению (122,3), а «р<+> — интегральному уравнению «р«+> = Фа+ (Е Р<о+ >Ч) Ув<ра<+~ (122*8) Таким образом, матричный элемент Ть,(В) (122,5) определяет переход из состояния Ф, в состояние Фь под влиянием только оператора Ув.
>9« <гл. хш КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ взо Чтобы выяснить физический смысл первого слагаемого в матричном элементе (122,4), преобразуем интегральное уравнение (122,2) к эквивалентному виду Ч<а = Фа + (Еа Но — 1'л — Ув + !т>) ' (Ул + 1"в) Ф,. (122,7) Уравнение (122,7) следует непосредственно из (118,!6а), если учесть, что ТФ, =УЧ<+>(в данном случае У= Ул+ Ув).
Уран. пение (122,6) .также можно заменить эквивалентным уравнением <р<+>=Ф, +(Е, — Н вЂ” !'в+ <Ч) У Ф,. (122,8) Вычитая из уравнения (122,7) уравнение (122,8) и учитывая операторное тождество А —  — А ( — А)В получим Ч«+>=ф<+>+(Š— Но — ӄ— !'в+<т>) У„Х Х[Ф~+(Š— На — Ув+(Ч) УВФа! ° Согласно (!22,8), выражение в квадратных скобках равно ф<+', таким образом получаем интегральное уравнение Ч'<+> = <р<+> + (Е, — Н вЂ” У„ — У + !Ч) ' У„<р<+>.
или эквивалентное ему уравнение Ч'а+' = фа+>+(Еа — Но — 1'е+ ~Ч) 1'л'Р',+'. (122.9) Итак, интегральное уравнение (122,9) определяет расходящуюся волну Ч',, которая возникает в результате рассеяния на УА <+> волн ф<+> являющихся решениями уравнения (!22,6). Поэтому можно сказать, что матричный элемент, входящий в (122,4), Т„(А)— = (ф;!У,!Ч«+>), (122,!0) определяет амплитуду вероятности рассеяния на потенциале Ул волн, рассеянных («искаженных») потенциалом Ув. Все полученные выше соотношения являются точными, так как при их выводе мы не делали никаких дополнительных упрощающих предположений.
Если в' матричном элементе (!22,10) заменить, согласно уравнению (122,9) функцию Ч'<ь> ее нулевым приближением, то получим матричный элемент перехода . Тааа (А) — (ф»<-> ! У ! ф<+>) (122,11) который называют матричным элементом' перехода в приближении «искаженных волн», так как в этом матричном элементе « ~»я днспвгсионные соотношения в тво»нн»хссвяння зз! стоят функции начального и конечного состояний не в виде плоских волн (как в борновском приближении), а в виде решений уравнений (122,6) и (122,3), учитывающих «искажение» волновых функций начальных н конечных состояний потенциалом Ра. Существенно, что функция ~р) 1, входящая в (122,10) и (122,11) и соответствующая конечному состоянию Фь, является решением интегрального уравнения (122,3).
Таким образом, асимптотика функции ~р~-> соответствует суперпозиции плоской волны конечного состояния Фь и сходящейся сферической волны, обусловленной действием потенциала $'э. Если оператор гв соответствует кулоновскому взаимодействию, то уравнение (122,3) допускает точное решение. Тогда действие второго потенциала Рл (наярнмер, ядерного ваанмодействия) может быть учтено методом искаженных волн при вычислении (122,11) или точно, если решить интегральное уравнение (122,9) н подставить значение Ч"„+' в (122,!0). В $ 111 были найдены функции типа ~р'-~, имеющие асимптотику в виде плоской волны Фь и сходящейся сферической волны, обусловленной кулоновским полем, путем решения эквивалентного дифференциального уравнения.
Функции ~р используются прн вычислении фотоэффекта на атомах, когда желают учесть взаимодействие электрона с кулоновским полем ядра, и в теории ядерных реакций, когда учитывают кулоновское взаимодействие продуктов реакции (см. по этому поводу также работу Брейта н Бете !1141). Полный матричный элемент перехода а — Ь согласно (122,4), (122,5) и (122,10), изображается суммой матричных элементов т,. =(Ф,~ Ра ~ Р<+~)+(Р(- ! Р„) Ч.+~). В частном случае, когда можно использовать метод искаженных волн, т.
е. заменить ЧН > функцией <р~+~, удовлетворяющей интегральному уравнению (122,8), имеем Т,"'."=7Ф„~Ра ~ р<+>)+~р<-~[Р„~ч<+>). $123*. Дисперсионные соотношения в теории рассеяния Дисперсионными соотношениями в теории рассеяния называются интегральные соотношения, связывающие действительную н мнимую части амплитуды (или матрицы) рассеяния. В этом .параграфе мы рассмотрим простейшие дисперсионные соотношения для нерелятнвистских энергий относительного движения взаимодействующих частиц.
Днсперсионные соотношения впервые были введены Крамерсом н Кронингом (1927 г.), которые установили интегральные КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [гл. хгу соотношения между мнимой и действительной частями диэлектрической проницаемости вещества. На примере диэлектрической проницаемости легко выяснить физические условия, приводящие к дисперсиоиным соотношениям, поэтому мы кратко остановимся на выводе этих соотношений. В слабых электромагнитных полях вектор индукции Х! = =Г +4ЯР, где Р†электрическ момент единицы объема диэлектрика, линейно связан с напряженностью д' электрического поля, В полях, изменяющихся с течением времени, из-за эффектов запаздывания значение электрического момента Р единицы объема вещества в данный момент времени зависит, вообще говоря, от значений гв во все предыдущие времена.
Эта зависимость выражается интегральным соотношением В(!) =Ж(у)+ ~ Р(т) Ю(! — т) г(т. о В согласии с принципом причинности интегрирование в (123,!) производится лишь по времени. предшествующему времени й В случае изотропных тел Р(т) — конечная вещественная функция временна) и притом такая, что интеграл в (123,1) всегда сходится. Это обстоятельство является следствием того, что значение Р(1) должно быть конечным при 'конечном са и не должно зависеть от значений Ю в очень отдаленные моменты времени. Следовательно, при 1- со функция Р(1) достаточно быстро стремится к нулю. Интервал значений т, в котором функция Р(1) заметно отличается от нуля, определяется временем запаздывания процессов, приводящих к установлению электрической поляризуемости диэлектрика. Перейдем в (123,1) к компонентам Фурье для индукции н напряженности электрического поля, т.
е. положим гл(1) = ) Э(ог) е гвгмгв, Г(г) = ) Ю(вт)е-'вгс(ог. (123,1) (123,2) е) В общем случае г(Г) является симметричным тенаором второго ранга, компоненты которого являются функциями времени. Тогда, вводя диэлектрическую проницаемость в(ог) с помощью соотношения !А(от) = в(св) О (гв), получаем в(гв) = 1+ ~ Р(т) егвтс(т. о Эта формула определяет зависимость диэлектрической проницаемости от частоты, т. е.
закон дисперсии. В общем случае функция в(вг) комплексна. Непосредственно из определения ч ая писце сионныа соотношения в теовнн вессеяния ззз следует, что она удовлетворяет равенству е(в)=е'( — в). (! 23,3) Если выделить действительную и мнимую части с помощью соотношения е(в) = а(в) + га(в), (123,4) то используя (123,3), получим два равенства а( — в) =а(в), а( — в) = — а(в), (123,5) которые показывают, что действительная часть диэлектрической постоянной является четной, а мнимая — нечетной функцией частоты. Соотношение (123,2) определяет диэлектрическую проницаемость как функцию действительной переменной.
Рассмотрим теперь е как функцию комплексной переменной, т. е. положим О е(г) =1+ )г Е(т)е' йт, о (123,6) в котором интегрирование проводится по бесконечно большому замкнутому контуру С, идущему в положительном направлении вдоль всей действительной оси, обходя сверху по бесконечно малой окружности радиуса р точку г= в и замыкающемуся бесконечно удаленной полуокружнастью, лежащей в верхней полуплоскости переменной г. При г- со значение е(г) — 1 стремится к нулю, поэтому подынтегральная функция стремится к нулю быстрее, чем 1/г, и интеграл ! сходится. Поскольку подынтегральная функция не имеет особых точек внутри контура С, то этот интеграл равен нулю. С другой стороны, интегрирование в У по бесконечно удаленной полуокружности дает где г = в+ 1у, у - О.
При у < О интеграл расходится. Поэтому для значений у ( О функция е(г) определяется как аналитическое продолжение формулы (123,6). Поскольку Е(т) конечна во всей области значениий О (т ( оо, то функция е(г) в верхней полуплоскости г, включающей вещественную ось, т. е. при у ~ О, имеет конечное значение. Этот результат является следствием принципа причинности, благодаря которому интегрирование в (123,6) выполняется только для значений т ) О. При стремлении г в верхней полуплоскости к бесконечности функция е(г) стремится к единице.
Рассмотрим теперь интеграл 3=~ ' ) с(г, с КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ )гл. х!'» нулевой вклад, а интегрирование вдоль всей действительной оси приводит к выражению о Р М р-»о Ю о+о где слагаемое — 64е(е) — Ц появилось в результате интегрирования по бесконечно малой полуокружности, обходящей точку г = в по часовой стрелке. Полученное равенство можно записать в виде е(в) — 1= —. г! с(г, У Г е(е) — ! (123,7) где й. указывает на то, что интеграл в (123,7) вычисляется в смысле главного значения.
Отделяя в (123,7) действительную н мнимую части, получаем два равенства, которые называются дисаерсионными соотношениями Крамерса — Кронинга О> »» а (е) — 1 = — ) — !(г, о (в) = — „г! с(г. У Г о(е) У Г а(е) — ! Учитывая, что согласно (123,5) функция о(г) является нечетной, а функция а(г) — четной функцией действительной переменной е, можно преобразовать эти равенства к виду а(в) — 1 = — У г)Г о с(г, 2 Г ее(е) о (123,8) о(е)= — ( о, аг. 2еУ Г а(е) — ! о (123,9) Формулы (!23,8) и (123,9) позволяют вычислить функцию а(в), если известна функция о(в), или вычислить функцию о(в),если известна функция а(е). Поглощение энергии диэлектрическим веществом определяется мнимой частью диэлектрической проницаемости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
