Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 71

DJVU-файл А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 71 Физика (2684): Книга - 4 семестрА.С. Давыдов - Квантовая механика: Физика - DJVU, страница 71 (2684) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.С. Давыдов - Квантовая механика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 71 - страница

удовлетворяли соотношениям ~ам а1)=(а'~, а1т!1='О, (а, а~~ =б (86,8) а =( — 1)' ~ /. ат=( — 1)"'~ . (86,9) ~О О/' ~1 О/' з-1 где ч,= ~2~ п! — число занятых состояний, предшествующих со- 1 1 стоянию ж Следовательно, знаковый множитель ( — 1)' равен 1 или — 1, в зависимости от тпго, четно или нечетно число занятых состояний, предшествующих ж Действце Операторов а, и а~ на волновые функции (... и, ...), Зависящие ОФ числа частиц в каждом одночастичном состоянии, характеризуется равенствами а,~... п,...) = (-1)" п,(... 1 — п, ...), (86,10) а+ ~ ... п,...) = (- 1)" (1 — п,) ~...

1 — и, ...). Как мы увидим ниже (впервые это показано Иорданом и Вигиером (77)), такие перестаиовочные соотношения приводят к правильному описанию системы фермионов. Если перенумеровать одночастичные состояния в какам-либо порядке и обозначить через п,— число частиц в состоянии з, равное О, или 1. то операторы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям (86,8), можно записать в виде следующих матриц (в представлении, где оператор и; днагонален): 406 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ !ГЛ, Х! Используя (86,10), можно показать, что перестановочные соотношения (86,8) выполняются. Действительно, учитывая, что пз п, и (1 — и )В = =(1 — пз), имеем а,а,(...п ...)=(1 — п))...п ...), аа(...п ...)=п,(...п ...), аза,(...

и, ...)=и,(! — п,)(...п„...) О, азиз(... и, ...) О. Используя полученные равенства, легко убедиться в справедливости (868) при з = 1. Рассыотрим теперь случай з > 1, Тогда аа(...п ...п ...)=( — 1)зпа1...п ...1 — п ...) т.+т ( — 1)з гпп!...1 — и ...1 — п азаг!... и ... и,...) =( — 1) !па,(...

! — п ... и ...)= т+я — ! ( — 1)з ! пп!...1 — и ...1 — и...). ! ''' ! ''' Следовательно, а!а, 1 ... и!... и, ,) = — азаг1 ... и!... и,...). Таким же образоы можно доказать остальйые перестановочные соотношения (86,8). Из равенств (86,10) следует, что результат действия ферми- операторов а, и ат на волновые функции от чисел заполнения зависит не только от числа п, частиц В состоянии з, но и от чисел заполнения всех предшествующих состояний.

Позтому операторы а! и а. нельзя считать полностью независимыми. Если (НЦ) — е,)!р, = 0 — уравнение, определяющее Одночастичные состояния, то полный оператор Гамильтона системы невзанмодействующих фермионов можно записать в виде Н=~Ф'а)НВ)Ч'а) В. (86,11) Здесь н в дальнейшем интегрирование по $ включает суммиро- вание по спиновым переменным. Операторы поля в представле- нии чисел заполнения выражаются через операторы аа равен- ством Ч'($, 1)= ~~'а,<р,(5)а "', ш,= й .

(86,12) Используя (86,8), ортонормируемость и полноту системы функций гр„можно показать, что операторы поля в фиксированный момент времени 1, которое явно не указывается, удовлетворяют перестановочным соотношениям (Ч' (Е')* Ч" (0)) = Х Р, (й) Р; (й),(а„ ат) = й й' — и, (ч (Ь), ч (и)=РР'а). Ф'а)]=о. Здесь и в дальнейшем 6(е' — $) = йоо 6(«' — «), где 6 — спиновая переменная.

Подставляя (86,12) в (86,11), можно найти $ ЗЩ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ФЕРМНОНОВ 4ОТ оператор Гамильтона системы фермионов в представлении чисел заполнения Н= Хз,а",а,= ~з,д,. Энергии е, н Волновые функции д, могут относиться к Одноэлектронным состояниям в атомах, молекулах и твердых телах, когда не учитывается взаимодействие между электронами, или когда взаимодействие учитывается приближенно путем введения дополнительного эффективного поля. Операторы суммарного числа частиц в системе и плотности р(5) числа частиц в точке $ определяются интегралами У=~Ч'а РВ) (В, р(и=~ Р'а)б(а — Ю Ра')а'. Подставляя в эти выражения (86,12), находим их вид в предстявленин чисел заполнения Й= Ха~~а, р(5) = ~2~ а'~а щ'(В) (~,($). 8 яв' Оператор Ж коммутирует с оператором Гамильтона Н, поэтому число частиц в системе является интегралом движения.

В системе с 1У стабильными фермионами (электронами, протонами н т, д.) их общее число имеет определенное значение (мы не рассматриваем взаимодействие данной системы с частицами большой энергии). Следовательно, волновые функции, описывающие состояния такой системы, должны быть собст'венными функциями оператора суммарного числа частиц, соответствующими собственному значению 1У, т.

е. должно выполняться ра- венство 1У=) Ч" В)Ч'6) Ф (86,13) для всех состояний рассматриваемой системы. Операторы любых других физических величин системы фермнонов получаются из операторов координатного представления по следующим правилам: если оператор Р в координатном представлении изображается суммой операторов Р(з), действующих на координаты каждого электрона в отдельности, то этот оператор в представлении вторичного квантования имеет вид Р= ~ Ч" 6)Р(0Ч" й) Ъ. Подставляя далее в это выражение значение Чг(В) из (86,12), находим оператор Р в представлении чисел заполнения Р = ~ аеа, (з ~ Р ~ 1), (86,14) 408 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ.

ХМ Где (з(рй=- ) Ч,'(Юр(е)й~(ЮСЪ вЂ” матричные элементы оператора координатного представления; ~р~(8) — собственные функции оператора Н(8). Если оператор 8 в координатном представлении выражается суммой 8= Х 8(тЛ ",) ~<ч <т «" ° т <и операторов, действующих на координаты р-фермионов, то этот оператор в представлении чисел заполнения имеет вид '8 = — ~ атат ... ат а, .; . а, (з,з ... з ~ 8 ~ з' ... з',), р Зр р1 где (ЕРВ ' р~~~зр''' ~~)= = ) Ч,*, (В ) " У.* (В,) а (Б, " Е,) Р; (В,) " Ч, (В,) с й, " г(В,.

Итак, в системе фермионов операторы физических величин выражаются через ферми-операторы увеличения а, и уменьшения т а, числа частиц в одночастичных состояниях з такими же формулами, как в системах бозонов Операторы физических величин выражались через бозе-операторы б+ и й (см, (86,14), (86,!5)). Если система состоит из фермионов разного сорта, то каждому типу фермионов сопоставляется свой оператор Ф и свои операторы рождения и уничтожения, которые действуют на числа заполнения фермионов данного сорта.

Операторы Ф, относящиеся к разным сортам фермионов, антикоммутируют между собой. Если в системе имеются фермионы и бозоны, то операторы фермионов коммутируют с операторами бозонов. Основное состояние системы Й' невзаимодействующих одинаковых фермионов соответствует состоянию, при котором л1 состояний зь зм ..., зн наименьшей энергии заполнены электронами, а остальные состоянйя свободны. Наибольшая энергия зр уровней, занятых в основном состоянии, называется энергией Ферми.

Основное состояние системы будет соответствовать состоянию, прн котором все уровни з с энергией з, ~ ер заполнены фермионами, а уровни с энергией е,) ер свободны. Волновая функция основного состояния с точностью до знакового множителя определяется выражением Фо= П а~10), (86,15) р(<р1 $86) ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ФЕРМИОНОВ 4зз где в произведении участвуют все состояния з с энергией е,~зе, 10) — волновая функция состояния, в котором нег частиц ни на одном уровне. Очевидно, что функция (86,15) удовлетворяет условию (86,16) где )ч' — общее число фермионов. Сумма ~ здесь и в даль»«ю нейшем обозначает суммирование по всем состояниям с энергией а,~ зе.

Полная энергия системы фсрмионов в основном состоянии (нулевая энергия) определяется равенством Е =(Ф ~ ~ а~а,а,1Ф)= ~ е,. '.«Р1 ' '' ' .«й' (86,17) ~Р а „~,= а~,, если а,(з„. (86,18) Состояние слабо возбужденных систем, состоящих из большого числа фермионов, мало отличается от состояния ФФ Изменение начального состояния сводится к освобождению некото-' рых уровней с энергией а. ( Зе и заполнению соответствующего числа уровней с энергией з,) ае. Состояния остальных фермионов остаются при этом неизменными. Поэтому слабо возбужденные состояния системы неззаимодействующих фермионов можно характеризовать указанием состояний частиц с энергией е. ) Зе и освободившихся состояний †«дырок» при е, ( егн Такое описание системы одинаковых фермионов называют «дырочным-представлением».

В дырочном представлении состояние Фе (86,15) называют «вакуумным состоянием». Вакуумное состояние обладает нулевой энергией й» (86,17), от которой можно отсчитывать энергию возбуждения. Возбуждение системы соответствует рождению пары частиц — частицы в состоянии з (е, > ее) и «дырки» в состоянии з'(з,,~~а„).Другие состояния возбуждения характеризуются рождением нескольких пар частиц. Переход системы из состояний большей энергии в состояния меньшей энергии соответствует «аннигиляции» пар. Чтобы описать такие процессы, введем наряду с ферми-операторами ат, а, (при е, ) з ) новые операторы бт, р, (з,(~е„)рождения и уничтожения «дырок» в состоянии з.

Пусть состояние з характеризуется импульсом р и проекцией спина О, тогда уничтожение частицы в состоянии з эквивалентно рождению дырки в состоянии — р, — О, которые мы будем кратко обозначать « — з». Следовательно, операторы рождения н уничтожения дырок связаны с операторами частиц соотношениями ао вто»ичнов квантование систем из ев мионов (гл. х) Естественно, что операторы р, и р~ удовлетворяют перестано.

вочным соотношениям <й, й))=б.( антикоммутаторы между другими комбинациями операторов р. и между операторами р, и операторами а, равны нулю. Вакуумное состояние в дырочном представлении определяется условиями а,Ф« = О (если а, > ар); р,Ф« — — О (если е, ер).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее